【东城二模】北京市东城区高三下学期综合练习(二)理科数学 Word版含答案.pdf

东城区2013-2014学年第二学期综合练习（二）
高三数学（理科）
学校_____________班级_______________姓名______________考号___________
本试卷共5页，共150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共8小题每小题5分共分在每小题出的四个选项中题目要求的，集合，则=（A）
（B）
（C） （D）
（2）在复平面内，对应的点位于
（A）第一象限 （B）第二象限
（C）第三象限 （D）第四象限值为
（A）或
（B）或
（C）或
（D）或
(4) 如果实数，满足条件 则的最大值为
（A） （B）
（C） （D）
（5）设为等差数列的前项和，若，公差，，则 （A） （B）
（C） （D）
（6）A） （B）
（C） （D）
（7）（为参数）被圆（为参数）所截的弦长为，则的值为
（A） 或 （B） 或
（C） 或 （D） 或
（8）对任意实数，定义运算“⊙”：设，若函数的图象与轴恰有三个交点，则的取值范围是
（A） （B）
（C） （D）
第二部分（非选择题9）已知，那么），，若，，，则 ；向量，夹角的大小为 ．）上随机取两个实数，,则事件“”的概率为_________．）与圆相切于，直线交圆于，两点，，垂足为，且是的中点，若，则 ．
（13）若直线与抛物线相交于，两点，且，两点在抛物线的准线上的射影分别是，，若，则的值是 ． （14）在棱长为的正方体中，点是正方体棱上一点（不包括棱的端点），，
①若，则满足条件的点的个数为________；
②若满足的点的个数为，则的取值范围是________．
三、解答题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（15）（本小题共13分）
已知函数.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）当时，求函数的最大值和最小值．
（16）（本小题共13分）
“你低碳了吗？”这是某市为倡导建设资源节约型社会而发布的公益广告里的一句话.活动组织者为了解这则广告的宣传效果，随机抽取了名年龄段在，，，的市民进行问卷调查，由此得到样本的频率分布直方图如图所示.
（Ⅰ）求随机抽取的市民中年龄段在的人数；
（Ⅱ）从不小于岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取人，求年龄段抽取的人数；
（Ⅲ）从按（Ⅱ）中方式得到的人中再抽取3人作为本次活动的获奖者，记为年龄在年龄段的人数，求的分布列及数学期望．
（17）（本小题共14分）
如图，四棱锥中，平面平面,// ,,
（I）求证：平面；
（II）求和平面所成角的正弦值；
（III）在线段上是否存在一点使得平面平面，请说明理由.
（18）（本小题共13分）
已知，函数，.
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）求证：对于任意的都有19）（本小题共13分）
已知椭圆的一个焦点为，且离心率为．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）斜率为的直线过点，且与椭圆交于两点，为直线上的一点，若△为等边三角形，求直线的方程. （20）（本小题共14分）
设是一个自然数，是的各位数字的平方和，定义数列：是自然数，（，）．
（Ⅰ）求，；
（Ⅱ）若，求证：；
（Ⅲ）当时，求证：存在，使得．
东城区2013-2014学年第二学期综合练习（二）
高三数学参考答案及评分标准 （理科）
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
（1）B （2）A （3）C （4） （10）
（11） （12）
（13） （14）
注：两个空的填空题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分．
三、解答题（共6小题，共80分）
（15）（共13分）
解：（Ⅰ）
．
所以． …………………7分
（Ⅱ）当时，．
所以，当时，即时，函数取得最小值；
当时，即时，函数取得最大值．…………………13分
（16）（共13分）
解：（Ⅰ），
，
即随机抽取的市民中年龄段在的人数为．………………………4分
（Ⅱ），，
所以，
即抽取的人中年龄段抽取的人数为． ……………………7分
（Ⅲ）的所有可能取值为，，．
；
；
．
所以的分布列为
的数学期望为．………………………13分
（17）（共14分）
解：（I）由，.,
可得．
由，且，
可得．
又．
又平面平面，
平面 平面 ，
平面，
所以平面． ……………５分
（II）如图建立空间直角坐标系，
则，，，，
，，．
设是平面的一个法向量，则，，
即
令，则．
设直线与平面所成的角为，
则．
所以和平面所成的角的正弦值． ……………1０分
（III）设，．
，，.
则．
设是平面一个法向量，则，，
即
令，则．
若平面平面，则，即，.
所以，在线段上存在一点使得平面平面.……………14分
（18）（共13分）
解：（Ⅰ）函数的定义域为,，
所以，当，或时，；
当时，．
所以，的单调递增区间为,单调递减区间为,在区间上单调递增，在区间上单调递减， 又，，
所以，当时，．
由，可得．
所以当时，函数在区间上是增函数，
所以，当时，．
所以，当时，
对于任意的都有，所以．
当时，函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，
所以，当时，．
所以，当时，
对于任意的都有，所以．
综上，对于任意的都有19）（共13分）
解（Ⅰ）依题意有，．
可得，．
故椭圆方程为． ………………………………………………５分
的方程为．
联立方程组
消去并整理得．
设，．
故，．
则
．
设的中点为．
直线的斜率为，又 ，
所以．
当△为正三角形时，，
可得，
解得．
即直线的方程为，或．………………………………13分20）（共14分） 解：（Ⅰ）；
． ………………5分是一个位数（），
那么可以设，
其中且（），且．
由可得，．
所以．
因为，所以．
而，
所以，即． ………………9分，即，可知．
同理，可知．
由数学归纳法知，对任意，有．
即对任意，有．
因此，存在（），有．
则，，…，，
可得对任意，，有．
设，即对任意，有．
若，取，，则有．
若，由，可得，
取，，则有． ………………14分
：
：
E
B
C
D
组距
频率
0.005
0.015
10 20 30 40 50 60
0.025
0.020
·
O
D
P
C
B
A
结束
输入
否
是 输入 开始 A
D
B
A
C
E
z
x
y。