行政职业能力测试数学运算分类精讲

行政职业能力测试数学运算分类精讲
一、数学运算
【经典真题详解】
1．互补数法
如果两个数的和正好可以凑成整十、整百、整千时，就可以认为这两个加数互为补数，其中一个加数叫做另一个加数的补数。

【例题11(2007年浙江)
5764－1532－2468＝( )。

A．764 B．1467 C．1674 D．1764
【解析】**为D。

此题可先将两个减数相加，1532＋2468＝4000，然后再用被减数减去这两个减数之和，即5764－4000＝1764。

【例题21(2004年国家)
8742÷8÷125＝( )。

A．7．092 B．8．742 C．87．42 D．874．2
【解析】**为B。

此题可以转化为8742÷(8×125)＝( )。

先运算括号，得1000，然后再除8742，得8．742。

2．凑整法
凑整法是简便运算中最常用的方法，即根据交换律、结合律把可以凑成10、20、30、50、100、1000…的数字放在一起先凑成整数，再进行运算，从而提高运算速度。

【例题1】(2002年国家)
999×5＋99×6＋9×8＝( )。

A．5660 B．5661 C．5662 D．5663
【解析】**为B。

这是一道乘法凑整的题。

如果直接将两数相乘则较为复杂、费时间，如果用凑整法，则大大简化了计算的繁琐程度。

本题可以转化为∶(1000－1)×5＋(100－1)×6＋(10－1)×8＝5000－5＋600－6＋80－8＝5661。

【例题2】(2006年广东)
8．721＋3．618＋6．382＋5．279＋4．763＝( )。

A．23．472 B．25．921 C．28．763 D．32．478
【解析】**为C。

本题为小数凑整法。

认真观察题目，可以发现8．721＋5．279＝14，3．618＋6．382＝10，即本题可以转化为14＋10＋4．763＝28．763。

【例题3】(2006年江苏)1996＋1997＋1998＋2004＋2003＝( )
A．11996 B．11997 C．11998 D．11999
【解析】**为C。

此题可以转化为(1996＋2004)＋(1997＋2003)＋1998＋2000＝( )。

即4000＋4000＋1998＋2000＝1998。

3．尾数估算法
尾数估算法是简便运算中常用的一种排除备选项的方法。

在四则运算中，如果几个数的数值较大，运算复杂，又没有发现运算规律时，可以先利用个位或小数部分进行运算得到尾数，再与选项中的尾数部分进行对比，如果有唯一的对应项，就可立即找到**。

考生如果遇到备选**的尾数都不相同的题目时，可以首先考虑此种方法，快速找出**。

考生应该掌握的尾数变化的基本常识有∶
2n是以“4”为周期变化的，即尾数分别是2，4，8，6…
3n是以“4”为周期变化的，即尾数分别是3，9，7，1…
4n是以“2”为周期变化的，即4，6…
5n、6”尾数不变。

7n是以“4”为周期变化的，即7，9，3，1…
8n是以“4”为周期变化的，即8，4，2，6…
9n是以“2”为周期变化的，即9，1…
【例题1】(2004年国家)
19991999的末尾数字是( )。

A．1 B．4 C．7 D．9
【解析】**为D。

该题目不需要考生逐次进行计算。

考生只要运用尾数估算法就能不费吹灰之力得到**。

因为9的奇数次幂的尾数是9，偶数次幂的尾数是1，1999为奇数次幂，故19991999的末尾数字是9。

【例题2】(2002年国家)
(1．1)2＋(1．2)2＋(1．3)2＋(1．4)2的值是( )。

A．5．04 B．5．49 C．6．06 D．6．30
【解析】**为D。

各项的最后一位小数相加∶8＋0＋1＋3＋0＝12，即尾数之和的尾数为2，所以84．78＋59．50＋121．61＋12．43＋66．50的尾数应该为2，故选D。

4．基准数法
当有两个以上的数相加且这些数相互接近时，可以取一个中间数作为基准数，然后用基准数乘以项数，再加上每个加数与基准数的差，从而求得它们的和。

【例题1】(2007年国家)
78＋81＋76＋85＋80＋83＝( )。

A．481 B．482 C．483 D．484
【解析】**为C。

仔细观察，可知算式中的各个加数都接近80，所以把80作为基准数，即原题目变为∶80×6－2＋1－4＋5＋3＝483。

【例题IJ题2】(2008年山东)
1997＋1998＋1999＋2000＋2001＋2002的值是( )。

A．11995 B．11996 C．11997 D．11998
【解析】**为C。

观察该题，发现算式中的数字都接近2000，则可以选取2000作为基准数，即原题目变为∶2000×6－3－2－1＋1＋2＝11997。

5．数学公式法
数学公式法是运用数学公式进行运算的一种简便运算方法。

灵活运用一些数学公式可以大大提高运算效率，节约答题时间，因此，考生需要掌握因式分解、前n项和公式等基本公式(见“知识要点清单”)。

【例题1】(2007年北京)
32×73＋32×16的值是( )。

A．2838 B．2848 C．2148 D．2158
【解析】**为B。

此题中含有相同因数32，可用公式a×6＋a×C＝a×(6＋c)来计算，即32×(73＋16)＝32X89＝2848。

【例题2】(2006年福建)
462－828－162的值是( )。

A．932 B．936 C．1032 D．1036
【解析】**为C。

这种类型的题目可以运用平方差公式，即a2－62＝(a＋6)(a－6)计算。

462
－162＝(46＋16)(46－16)＝1860，则1860－828＝1032。

【例题3】(2004年广东)
2＋4＋6＋…＋22＋24的值是( )。

A．153 B．154 C．155 D．156
【解析】**为D。

在该题中，项数＝(24－2)÷2＋1＝12，数列之和＝(2＋24)×12÷2＝156。

6．替换法
【例题】(2004年国家)
2002×20032003－2003×20022002的值是( )。

A．－60 B．0 C．60 D．80
【解析】**为B。

原式一2002×2003×10001－2003×2002×10001＝2002×2003×(10001－10001)＝0。

故选B。

7．排除法
【例题】(2005年北京)
117580÷15的值是( )。

A．7375 B．7545 C．7457 D．未给出
【解析】**为D。

这道除法题的被除数尾数是0，除数的尾数是5，因此，其商数的尾数必然是双数，但是四个选项中的A、B、C三项尾数皆为单数，所以都应排除，本题选项中实际上没有给出正确**。

二、大小判断
这种类型的题目一般不需要进行具体的数字计算，只要能找到某个判断标准就可以进行判断了。

比较数大小的方法很多，在解题时，要根据所给试越的特点，选择合适的比较方法。

一般来说，有下列几种判断方法∶
(1)对于任意两个数，如果a－6>0，则a>6；如果a－6<0，则a<6；如果a－b＝0，则a＝b。

(2)对于任意两个数，如果不是很方便比较大小时，常选取中间值C，然后口、b分别与c比较，进而比较口、b的大小。

(3)当a、6为任意两个正数时，如果a/b>1，则a>6；如果b/2<1，则a<6；如果a/b＝1，则a ＝6。

当a、6为任意两个负数时，如果a/b>1，则a<6；如果a/b<1，则a>6；如果a/b＝1，则a＝b。

(4)当a、b为任意两个正数时，如果a2－b2>0，则a>b。

(5)当a、b为任意两个正数时，如果1/a>1/b，则a<b。

【经典真题详解】
【例题1】(2005年国家)
分数4/9、17/35、101/203、3/7、151/301中最大的一个是( )。

A．4/9 B．17/35 C．101/203 D．151/301
【解析】答案为D。

通过目测可以知道4/9、3/7和17/35都远远小于1/2，而101/203和151/301都非常接近1/2，通过计算，151/301较大，故答案为D。

【例题2】(2005年国家)
a＝1234567890/2345678901，b＝(1234567890－1993)/(2345678901－1993)，二者的大小关系是( )。

A．a>b B．a<b C．a＝b D．无法判断
【解析】答案为A。

因为(1234567890－1993)/(2345678901－1993)＝1234565897/2345676908，所以原题实际上就是比较1234567890/2345678901与1234565897/2345676908的大小。

因为∶
1－1234567890/2345678901＝1111111011/2345678901
1－1234565897/2345676908＝1111111011/2345676908
由于上面两个分数的分子相同，而分母不同，并且2345678901>2345676908，所以a>b。

【例题3】(2005年国家)
π，3．14，√10，10/3四个数的大小顺序是( )。

A．10/3>π>√10>3．14
B．10/3>π>3．14>√10
C．10/3>√10>π>3．14
D．10/3>3．14>π>√10
【解析】答案为C。

本题中的三个数的大小关系显然为10/3>π>3．14。

因此本题的关键是判断√10的大小。

我们可以方便地计算出3．152为9．9225<10，由此可知本题的答案为C。

三、工程问题
工程问题指的大都是两个人以上合作完成某一项工作，有时还将内容延伸到向水池注水等。

解答工程问题时，一般都是把总工作量看作单位“1”，用单位“1”除以工作时间作为工作效率，也就是说，工作效率就是工作时间的倒数。

一般情况下，工程问题是公务员考试的必考题型之一。

一般常用的数量关系式是∶工作总量＝工作效率×工作时间；工作时间＝工作总量÷工作效率；工作时间＝工作总量÷工作效率；工作总量＝各分工作量之和。

【经典真题详解】
【例题1】(2009年国家)
一条隧道，甲单独挖要20天完成，乙单独挖要10天完成。

如果甲先挖1天，然后乙接替甲挖1天，再有甲接替乙挖1天……，两人如此交替工作，那么，挖完这条隧道共用多少天?( ) A．14 B．16 C．15 D．13
【解析】答案为A。

根据题意，甲用20天的时间可以挖完，说明甲每天完成工程总量的1／20，乙用10天的时间可以挖完，那么乙每天完成工程总量的1／10。

甲、乙两人各挖1天，共完成∶1／20＋1／10＝3／20。

所以，6次交替工作后，可以完成工程总量的18／20，则还剩余2／20。

甲再挖一天完成1／20，还剩余1／20，乙再挖半天才能完成。

因此共需要6×2＋1＋1＝14天。

因此，正确答案为A。

【例题2】(2008年国家)
编一本书的书页，用了270个数字(重复的也算，如页码115用了2个1和1个5，共3个数字)，问这本书一共有多少页?( )
A．117 B．126 C．127 D．189
【解析】答案为B。

本书的页码使用数字应该有三种情况∶1～9页，每页用1个数字，共使用数字9个；10～99页，共90页，每页使用2个数字，共使用数字90×2＝180(个)；这本书的页码一共使用了270个数字，270－9－180＝81，则这剩余的81个数字都是由页码是三位数的页码组成的，三位数的页码有∶81÷3＝27(页)。

这本书的总页码为∶9＋90＋27＝126(页)。

【例题3】(2007年国家)
一篇文章，现有甲乙丙三人，如果由甲乙两人合作翻译，需要10小时完成，如果由乙丙两人合作翻译，需要12小时完成。

现在先由甲丙两人合作翻译4小时，剩下的再由乙单独去翻译，需要12小时才能完成，则这篇文章如果全部由乙单独翻译，要( )小时完成。

A．15 B．18 C．20 D．25
【解析】答案为A。

设甲、乙、丙单独完成这篇文章的翻译各自需要的时间为x、y、z，则可得出∶1/x＋1/y＝1/10、1/y＋1/z＝1/12，4/x＋12/y＋4/z＝1，可求得y＝15(小时)。

故本题的正确答案为A。

四、路程问题
路程问题是数量关系题中常见的典型问题，涉及距离、速度和时间三者之间的关系。

其中，距离＝速度×时间。

这种问题主要有三种基本类型∶相遇问题、追及问题和流水问题。

【经典真题详解】
1．相遇问题
“相遇问题”(或相背问题)是两个物体以不同的速度从两地同时出发(或从一地同时相背而行)，经过若干小时相遇(或相离)。

若把两物体速度之和称之为“速度和”，从同时出发到相遇(或相距)时止，这段时间叫“相遇时间”；两物体同时走的这段路程叫“相遇路程”，那么，它们的关系式是∶相遇路程＝速度和×相遇时间；相遇时间＝相遇路程÷速度和；速度和一相遇路程÷相遇时间。

【例题1】(2007年国家)
A、B两站之间有一条铁路，甲、乙两列火车分别停在A站和B站，甲火车4分钟走的路程等于乙火车5分钟走的路程，乙火车上午8时整从B站开往A站，开出一段时间后，甲火车从A站出发开往B站，上午9时整两列火车相遇，相遇地点离A、B两站的距离比是15∶16，那么，甲火车在( )从A站出发开往B站。

A．8时12分B．8时15分C．8时24分D．8时30分
【解析】答案为B。

由题意可知，甲、乙两列火车的速度比为5∶4，两列火车相遇时，各自走过的距离比为15∶16，那么这两列火车所用时间比很容易算出，为3∶4，进而得出甲所用的时间为3/4×60＝45(分钟)。

由此可知，甲火车应该是在8时15分从A站出发的。

【例题2】(2006年国家)
A、B两地以一条公路相连。

甲车从A地，乙车从B地以不同的速度沿公路匀速率相向开出。

两车相遇后分别掉头，并以对方的速率行进。

甲车返回A地后又一次掉头以同样的速率沿公路向B地开动。

最后甲、乙两车同时到达B地。

如果最开始时甲车的速率为x米／秒，则最开始时乙车的速率为( )。

A．4x米／秒
B．2x米／秒
C．0．5x米／秒
D．无法判断
【解析】答案为B。

甲车从A点到B点时，乙车已经从B点到A点再返回B点，即两车相同时间内以乙车速率走过以甲车速率的两倍路程。

已知甲车的速率为x米／秒，则乙车的速率为2x米／秒。

故答案为B。

2．追及问题
追及问题是两物体以不同速度向同一方向运动，核心是“速度差”的问题。

两物体同时运动，一个在前，一个在后，前后相隔的路程可以称之为“追及的路程”，那么，在后的追上在前的时间叫“追及时间”。

公式为∶追及时间一追及的路程÷速度差。

【例题1】(2006年国家)
从12时到13时，钟的时针与分针可成直角的机会有( )。

A．1次B．2次C．3次D．4次
【解析】答案为B。

一个小时内，分针转一圈，与时针构成直角的机会有2次。

【例题2】(2003年国家)
两点到三点钟之间，分针与时针什么时候重合?( )
A．2点10分B．2点30分C．2点40分D．2点50分
【解析】答案为A。

时钟问题属于行程问题中的追及问题。

钟面上按“时”分为12大格，按“分”分为60小格。

每小时，时针走1大格合5小格，分针走12大格合60小格，时针
的转速是分针的1／12。

此题中，两点钟的时候，分针指向12，时针指向2，分针在时针后(5×2)小格。

而分针每分钟可追及1－1/12＝11/12(小格)，要两针重合，分针必须追上10小格，这样所需要时间应为(10÷11/12)≈10(分钟)，因此，2点10分时两针重合。

3．流水问题
船速是船在静水中航行的速度；水速是水流动的速度；顺水速度，即船顺水航行的实际速度，等于船速加水速；同理，逆水速度等于船速减水速。

流水问题具有行程问题的一般性质，即速度、时间、路程，可参照行程问题解法。

【例题】(2005年国家)
一只船从甲地开往乙地，逆水航行，每小时行24千米，到达乙地后，又从乙地返回甲地，比逆水航行提前2．5小时到达。

已知水流速度是每小时3千米，甲、乙两地问的距离是多少千米?( )
A．200 B．250 C．300 D．350
【解析】答案为C。

逆水每小时行24千米，水速每小时3千米，那么顺水速度为∶24＋3×2＝30(千米)；比逆水提前2．5小时，若行逆水那么多时间，就可多行30×2．5＝75(千米)，因每小时多行3×2＝6(千米)，几小时才多行75千米，这就是逆水时间。

24＋3×2＝30(千米)，24×[30×2．5÷(3×2)]＝24×[30×2．5÷6]＝24×12．5＝300(千米)，因此，甲、乙两地间的距离是300千米。

五、比例分配问题
比例分配问题是公务员考试的必考题型，最基本的比例问题是求比或求比值，即从已知一些比或者其他数量关系求出新的比。

其关键和核心是弄清楚相互变化的关系。

【经典真题详解】
【例题1】(2009年国家)
某公司甲、乙两个营业部共有50人，其中32人为男性。

已知甲营业部的男女比例为5∶3，乙营业部的男女比例为2∶1，问甲营业部有多少名女职员?( )
A．18 B．16 C．12 D．9
【解析】答案为C。

该题要用整除法。

甲营业部的人数可以整除8，乙营业部的人数可以整除3，所以可以有两种情况∶一，甲营业部的人数为8人，乙营业部的人数为42人，则男性共有5＋28＝33人，不符合题目给出的情况；二，甲营业部有32人，乙营业部的人数为18人，则男性共有20＋12＝32人，符合题目的情况。

所以，甲营业部有女性32×(3／8)＝12(人)。

故选C。

【例题2】(2007年国家)
某高校2006年度毕业学生7650名，比上年度增长2％，其中本科毕业生比上年度减少2％，而研究生毕业数量比上年度增加10%，那么，这所高校今年毕业的本科生有( )。

A．3920人B．4410人C．4900人D．5490人
【解析】答案为C。

相对去年，该校今年增加的毕业生的人数为∶7650×2%/(1＋2%)＝150(人)，上年度的毕业生人数为∶7650－150＝7500(人)。

设2006年度本科毕业生人数为x 人，根据题意，可列方程式∶(7650－x)×10%/(1＋10%)－2%/(1－2%)x＝150，解得x＝4900。

【例题3】(2007年国家)
甲、乙两个容器均有50厘米深，底面积之比为5∶4，甲容器水深9厘米，乙容器水深5厘米，再街两个容器各注入同样多的水，直到水深相等，这时两容器的水深是( )。

A．20厘米B．25厘米C．30厘米D．35厘米
【解析】答案为B。

由于倒入两容器的水量相同，设倒入水后，两容器的水深为h，则可得(h－9)/(h－5)＝4/5，求得h＝25(厘米)。

六、植树和方阵问题
【经典真题详解】
1．植树问题
一般的出题模式是给一段路，在路的一旁或两边种树(或其他一些事物)，原理其实和小学数学中在线段中标点一样，在做题时也可以画一个线段，然后数一下自己所标的点的数量就可以了。

关于植树问题，主要的关系有∶
(1)如果题目中要求在植树的路线两端都植树，则棵数比段数多1，等于全长除以株距再加上1。

(2)如果题目中要求在路线的一端植树，则棵数与段数相等，等于全长除以株距。

(3)如果植树路线的两端都不植树，则棵数＝段数－1。

【例题1】(2009年国家)
甲、乙、丙、丁四个队共同植树造林，甲队造林的亩数是另外三个队造林总亩数的1／4，乙队造林的亩数是另外三个队造林总亩的1／3，丙队造林的亩数是另外三个队造林总亩数的一半。

已知丁队共造林3900亩，问甲队共造林多少亩?( )
A．9000 B．3600 C．6000 D．4500
【解析】答案为B。

根据题意，把植树的总亩数看做单位1，则甲、乙、丙植树亩数分别占总亩数的1／5，1／4，1／3，那么丁的植树的亩数占总亩数的1－(1／5＋1／4＋1／3)＝13／60，所以植树总亩数为3900／(13／60)＝18000亩，甲的植树亩数为18000×(1／5)＝3600亩。

故选B。

【例题2】(2006年国家)
为了把2008年北京奥运办成绿色奥运，全国各地都在加强环保，植树造林。

某单位计划在通往两个比赛场馆的两条路的(不相交)两旁栽上树，现运回一批树苗，已知一条路的长度是另一条路长度的两倍还多6000米。

若每隔4米栽一棵，则少2754棵；若每隔5米栽一棵，则多396棵，则共有树苗( )。

A．8500棵B．12500棵C．12596棵D．13000棵
【解析】答案为D。

设两条路共长z米，共有树苗Y棵，则有方程组为∶x÷4＋4＝y＋2754，x÷5＋4＝y－396，解出y＝13000。

2．方阵问题
士兵排队，横着排叫行，竖着排叫列，若行数与列数都相等，正好排成一个正方形，这就是一个方队，这种方队也叫做方阵(亦叫乘方问题)。

(4)空心方阵的总人(或物)数＝[最外层每边人(或物)数－空心方阵的层数]×空心方阵的层数×4。

【例题1】(1006年国家)
三年级一班参加运动会人场式，排成一个方阵，最外层一周的人数为20人，问方阵最外层每边的人数是多少?这个方阵共有多少人?( )
A．6，36 B．6，48 C．7，49 D．7，56
【解析】答案为A。

根据四周人数与每边人数的关系，可以求出这个方阵最外层每边的人数，即方阵最外层每边的人数∶20÷4＋1＝5＋1＝6(人)；整个方阵共有学生人数∶6×6＝36(人)。

【例题21(2006年北京)
康杰小学五年级原准备排成一个正方形队列参加广播操表演，由于服装不够，只好横竖各减少一排，这样共需去掉27人，问四年级原来准备多少人参加表演?( )
A．185 B．190 C．196 D．198
【解析】答案为C。

根据正方形队列的特点可知∶原每行人数＝(去掉一行一列的人数＋1)÷2，即，原来每行人数是14人，则原来准备参加表演的人数是196人。

七、日历和年龄问题
【经典真题详解】
1．日历问题
计算月日要记住以下三条法则∶
(1)每年的1、3、5、7、8、10、12这七个月是31天；
(2)每年的4、6、9、11这四个月是30天；
(3)每年的2月，如果年份能被4整除，则该年的2月是29天(如2008年)，如果该年的年份不能被4整除，则是28天(如2007年)。

【例题1】(2009年国家)
用6位数字表示日期，如980716表示的是1998年7月16日。

如果用这种方法表示2009年的日期，则全年中六个数字都不相同的日期有多少天?( )
A．12 B．29 C．0 D．1
【解析】答案为C。

根据题意可知，表示2009年的日期，前两个数字表示年份，必然为09；中间的两个数字表示月份，表示前10个月都必须用到0，与表示年份的数字相重复，排除，表示u月必须用到两个1，自身重复，排除，所以，中间的两个数字只能为12；最后的两个数字表示天数，要表示一个月中31天的每一天，其数字中必然含有0、1、2中的一个，从而必然－9表示年份、月份的数字重复。

由此可知，全年中六个数字都不同的日期一个也没有。

故选C。

【例题21(2005年国家)
假如今天是2004年的11月28日，那么再过105天是2005年的几月几日?( )
A．2005年2月28日
B．2005年3月11日
C．2005年3月12日
D．2005年3月13日
【解析】答案为D。

11月是小月，有30天，题目中是11月28日，还剩2天；12月、1月都是大月，有31天；2004年不是闰年，2月有28天，那么可得出2＋31＋31＋28＝92(天)，105－92＝13(天)，即再过105天是2005年的3月13日。

2．年龄问题
解答年龄问题，一般要抓住以下三条规律∶
(1)在任何情况下，两个人的年龄差总是确定不变的；
(2)随着时间向前(过去)或向后(将来)推移，两个人或两个以上人的年龄一定减少或增加相等的数量；
(3)随着时间的变化，两个人年龄之间的倍数关系一定会改变。

【例题1】(2008年国家)
5年前甲的年龄是乙的三倍，10年前甲的年龄是丙的一半，若用Y表示丙当前的年龄，下列哪一项能表示乙的当前年龄?( )
A．y/6＋5
B．5y／3＋10
C．(y－10)／3
D．3y－5
【解析】答案为A。

根据丙的当前年龄是Y岁，可知甲10年前的年龄是(y－10)／2；则甲
5年前的年龄是[(y－10)／2＋53；则乙5年前的年龄就是[(y－10)／2＋5]÷3；那么，乙当前的年龄就是∶[(y－10)／2＋5]÷3＋5＝(y－10)／6＋5／3＋5＝y／6－10／6＋10／6＋5＝y／6＋5。

【例题2】(2005年国家)
甲对乙说∶当我的岁数是你现在岁数时，你才4岁。

乙对甲说∶当我的岁数到你现在岁数时，你将有67岁。

甲、乙现在各有( )。

A．45岁，26岁
B．46岁，25岁
C．47岁，24岁
D．48岁，23岁
【解析】答案为B。

第一种方法∶设甲为x岁，乙为y岁，则有方程组为∶y－(x－y)＝4，x＋(x－y)＝67，解得x＝46，y＝25。

第二种方法∶可以用代入法，即将四个答案分别代入题中进行计算。

八、牛顿问题
牛顿问题，俗称“牛吃草问题”。

牛每天吃草，草每天在不断均匀地生长。

这种类型题目的解题环节主要有四步∶
(1)求出每天长草量；
(2)求出牧场原有草量；
(3)求出每天实际消耗原有草量(牛吃的草量一生长的草量一消耗原有草量)；
(4)最后求出可吃天数。

【经典真题详解】
【例题1】(2009年国家)
一个水库在年降水量不变的情况下，能够维持全市12万人20年的用水量，在该市新迁入3万人之后，该水库只够维持15年的用水量，市政府号召节约用水，希望能将水库的使用寿命提高到30年。

那么，该市市民平均需要节约多少比例的水才能实现政府制定的目标?( ) A．2／5 B．2／7 C．1／3 D．1／4
【解析】答案为A。

本题属于“牛吃草问题”。

设水库水量增长的速度为X，居民平均需要节约用水量的比例是y，则可列方程∶
12×20－20x＝(12＋3)×15－15x
(12＋3)(1－y)－30×3＝12×20－20×3
解得x＝3，y＝2／5。

故选A。

【例题2】(2007年浙江)
牧场上有一片青草，草每天以均匀的速度生长，这些草供给20头牛吃，可以吃20天；供给100只羊吃，可以吃12天。

如果每头牛每天的吃草量相当于4只羊一天的吃草量，那么20头牛、100只羊同时吃这片草，可以吃几天?( )
A．3 B．4 C．5 D．6
【解析】答案为B。

1头牛一天的吃草量相当于4只羊一天的吃草量，那么20头牛一天的吃草量就相当于4×20＝80只羊一天的吃草量。

每天长草量∶(80×20－100×12)÷(20－12)＝400÷8＝50(单位量)
原有草量∶(80－50)×20＝30×20＝600(单位量)
20头牛和100只羊同时吃的天数∶600÷(80＋100－50)＝600÷130＝4(天)。

【例题3】(2006年北京)
由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长，反而以固定的速度在减少。

如果某块草地上的
草可供20头牛吃5天，或可供15头牛吃6天，那么可供多少头牛吃10天?( )
A．3 B．4 C．5 D．6
【解析】答案为C。

20头牛5天吃草∶20X 5＝100(单位量)，15头牛6天吃草∶15×6＝90(单位量)；
青草每天减少∶(100－90)÷(6－5)＝10(单位量)；
牛吃草前牧场有草∶100＋10×5＝150(单位量)；
150单位量草吃10天本可供∶150÷10＝15(头)；
但因每天减少10份草，相当于10头牛吃掉，所以只能供牛∶15－10＝5(头)。

九、鸡兔问题
鸡兔问题是我国古代著名数学问题之一，也叫“鸡兔同笼”问题。

解答鸡兔同笼问题，一般采用假设法，假设全部是鸡，算出脚数，与题中给出的脚数相比较，看差多少，每差2(4－2)只脚，就说明有1只兔，将所差的脚数除以(4－2)，就可求出兔的只数。

同理，假设全部是兔，可求出鸡的只数。

【经典真题详解】
【例题1】(2005年国家)
小红把平时节省下来的全部五分硬币先围成一个正三角形，正好用完，后来又改围成一个正方形，也正好用完。

如果正方形的每条边比三角形的每条边少用5枚硬币，则小红所有五分硬币的总价值是( )。

A．1元B．2元C．3元D．4元
【解析】答案为C。

设三角形每条边的硬币数为x，正方形每条边的硬币数为y，得方程组如下∶y＝x－5，3x＝4y；解得x＝20，则硬币共有3×20＝60个，硬币为5分硬币，那么总价值是5×60＝300(分)。

【例题2】(2002年国家)
一笼中的鸡和兔共250条腿，已知鸡的只数是兔的只数的3倍，笼中共有多少只鸡?( ) A．50 B．75 C．100 D．125
【解析】答案为B。

设鸡的只数为x，按腿计算，鸡的腿数为2x，鸡的只数是兔的只数的3倍，即兔是鸡的1／3，兔子是4条腿，兔子的腿数为x／3×4，根据题意可列出的方程式是∶2x＋x／3×4＝250，解得x＝75。

十、和、差问题和倍数问题
【经典真题详解】
1．和、差问题
和、差问题是已知大小两个数的和与这两个数的差，求大小两个数各是多少的应用题。

解答这一类问题一般用假设的方法。

和、差应用题的解题要点是∶
(和＋差)÷2＝较大数，较大数－差＝较小数；或(和－差)÷2＝较小数，较小数＋差＝较大数。

【例题】(2007年国家)
549是甲、乙、丙、丁四个数的和。

如果甲数加上2，乙数减少2，丙数乘以2，丁数除以2以后，则这四个数相等。

那么，甲数是多少?( )
A．61 B．120 C．124 D．244
【解析】答案为B。

由题意可知，丙数最小，甲数加上2后是丙数的2倍，乙数减去2是丙数的2倍，丁数是丙数的4倍。

设丙数为x，根据这些倍数关系，可得方程式∶2x－2＋2x ＋2＋x＋4x＝549，解得x＝61，进而可算出甲数为120。

2．倍数问题
倍数应用题的解题要点是∶和÷(倍数＋1)＝小数(较小的数，即1倍数)；小数×倍数＝大数
(较大的数，即几倍数)；或和－小数＝大数。

【例题】(2006年北京)
三年级一班和二班少先队员共做好事360件，二班做好事的件数是一班的2倍，三年级一班和二班少先队员各做多少件好事?( )
A．100，260 B．110，250
C．120，240 D．130，230
【解析】答案为C。

如果我们把一班做好事的件数作为1倍，“二班做好事的件数是一班的2倍”，那么一班和二班做好事件数的和，相当于一班做好事件数的3倍，则一班做好事的件数∶360÷(2＋1)＝120(件)；二班做好事的件数∶360－120＝240(件)。

十一、盈亏问题
数字盈亏问题是指在一定范围内的多组数字间存在一定的数量关系，其中一组数字如发生变化，就必然会引起另一组数字的变化。

这种题型的解题关键是∶找出这几组数字间的关系，然后假设其中一组达到最大值，最后根据它们之间的关系和所得的结果，来推算出其他组的数字。

【例题2】(2004年广东)
顺昌面粉加工广要生产一批面粉，如果第一车间单独完成需要20天，第二车间单独完成需要30天，两个车间一起生产15天，超过任务定额150吨，这批生产任务是多少吨?( ) A．420 B．560 C．600 D．720
【解析】答案为C。

第一、第二车间一起生产这批面粉需要∶1÷(1/20＋1/30)＝12(天)，如果两个车间一起完成15天，可以多生产150吨，由此可知，两个车间平均每天生产∶150÷3＝50(吨)。

那么原计划的生产任务是∶50×12＝600(吨)。

十二、几何问题
【经典真题详解】
1．周长问题
周长问题关键是要学会“转化”。

转化也就是把题中的某个图形转变成我们平时标准的长方形、正方形、圆形或其他规则图形，以方便计算它们的周长。

【例题】(2005年国家)
甲、乙、丙三人沿着400米环形跑道进行800米跑比赛，当甲跑l圈时，乙比甲多跑1／7圈。

丙比甲少跑1／7圈。

如果他们各自跑步的速度始终不变，那么，当乙到达终点时，甲在丙前面( )。

A．85米B．90米C．100米D．105米
【解析】答案为C。

设单位为圈，即S＝2，那么v甲＝1＝7/7，v乙＝1＋1/7＝8/7，v丙＝1－1/7＝6/7，当乙到终点时，s乙＝2，那么所需的时间t＝S乙／V乙＝2÷8/7＝7/4，那么S甲＝1×7/4，s丙＝6/7×7/4＝6/4，则s甲－S丙＝1/4圈，而一圈有400米，所以相差的距离是100米。

2．面积问题
要解决面积问题，关键是要会正确地“割、补”。

通常使用的方法就是添加辅助线，即通过引入新的辅助线将图形分割或者补全成我们熟悉的规则图形，从而快速求得面积。

【例题1】(2009年国家)
如右图所示，X、Y、Z分别是面积为64、180、160的三张不同形状的纸片。

它们部分重叠放在一起盖在桌面上，总共盖住的面积为290。

且X与Y、Y与Z、Z与X重叠部分面积分别为24、70、36。

问阴影部分的面积是多少?( )。