2020年数学九年级上册期末试题及答案(2)

2020年数学九年级上册期末试题及答案(2)
一、选择题
1．已知3
sin 2
α=，则α∠的度数是（ ） A ．30° B ．45°
C ．60°
D ．90°
2．若关于x 的一元二次方程240ax bx ++=的一个根是1x =-，则2015a b -+的值是
（ ） A ．2011
B ．2015
C ．2019
D ．2020
3．若25x y =，则x y y
+的值为（ ） A ．
25 B ．
72
C ．
57
D ．7
5
4．如图，已知正五边形ABCDE 内接于O ，连结,BD CE 相交于点F ，则BFC ∠的度
数是（ ）
A ．60︒
B ．70︒
C ．72︒
D ．90︒
5．为了比较甲乙两足球队的身高谁更整齐，分别量出每人身高，发现两队的平均身高一样，甲、乙两队的方差分别是1.7、2.4，则下列说法正确的是（ ） A ．甲、乙两队身高一样整齐 B ．甲队身高更整齐
C ．乙队身高更整齐
D ．无法确定甲、乙两队身高谁更整齐
6．二次函数()2
0y ax bx c a =++≠的图像如图所示，它的对称轴为直线1x =，与x 轴交点
的横坐标分别为1x ，2x ，且110x -<<.下列结论中：①0abc <；②223x <<；③421a b c ++<-；④方程()2
200ax bx c a ++-=≠有两个相等的实数根；⑤13
a >
.其中正确的有（ ）
A ．②③⑤
B ．②③
C ．②④
D ．①④⑤
7．如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A ，B ，C ，D 都在格点上，点E 在AB 的延长线上，以A 为圆心，AE 为半径画弧，交AD 的延长线于点F ，且弧EF 经过点C ，则扇形AEF 的面积为（ ）
A ．
58
π B ．58
π
C ．54
π
D ．
54
π 8．如图，点P 为⊙O 外一点，PA 为⊙O 的切线，A 为切点，PO 交⊙O 于点B ，∠P=30°，OB=3，则线段BP 的长为（ ）
A ．3
B ．33
C ．6
D ．9 9．已知二次函数y ＝（a ﹣1）x 2﹣x+a 2﹣1图象经过原点，则a 的取值为（ ） A ．a ＝±1 B ．a ＝1 C ．a ＝﹣1 D ．无法确定 10．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A ．2321x x =+
B ．3230x x --
C ．221x y -=
D ．20x y +=
11．生产季节性产品的企业，当它的产品无利润时就会及时停产.现有一生产季节性产品的企业，一年中获得利润y 与月份n 之间的函数关系式是y ＝－n 2＋15n －36，那么该 企业一年中应停产的月份是( ) A ．1月，2月 B ．1月，2月，3月 C ．3月，12月
D ．1月，2月，3
月，12月
12．一元二次方程230x x k -+=的一个根为2x =，则k 的值为（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
13．如图，BC 是A 的内接正十边形的一边，BD 平分ABC ∠交AC 于点D ，则下列结
论正确的有（ ）
①BC BD AD ==；②2BC DC AC =⋅；③2AB AD =；④51
BC AC -=
．
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
14．如图，△AOB 为等腰三角形，顶点A 的坐标（25），底边OB 在x 轴上．将△AOB 绕点B 按顺时针方向旋转一定角度后得△A′O′B ，点A 的对应点A′在x 轴上，则点O′的坐标
为（ ）
A ．（
203，103
） B ．（
163，45） C ．（203，45） D ．（16
3，43） 15．已知在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6cm ，BC ＝8cm ，CM 是它的中线，以C 为圆心，5cm 为半径作⊙C ，则点M 与⊙C 的位置关系为( ) A ．点M 在⊙C 上
B ．点M 在⊙
C 内
C ．点M 在⊙C 外
D ．点M 不在⊙C 内
二、填空题
16．如图是测量河宽的示意图，AE 与BC 相交于点D ，∠B=∠C=90°，测得BD=120m ，DC=60m ，EC=50m ，求得河宽AB=______m ．
17．已知矩形ABCD ，AB=3,AD=5,以点A 为圆心，4为半径作圆，则点C 与圆A 的位置关系为 __________.
18．若记[]
x 表示任意实数的整数部分，例如：[]4.24=，21=，…，则
123420192020⎡⎡⎡⎤⎡⎡⎡⎤-+-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-⎣⎣⎣⎦⎣⎣⎣⎦
（其中“+”“－”依次相间）的值
为______. 19．若
a b b -＝23，则a
b
的值为________． 20．抛物线2
1
(5)33
y x =--+的顶点坐标是_______．
21．如图（1），在矩形ABCD 中，将矩形折叠，使点B 落在边AD 上，这时折痕与边AD 和BC 分别交于点E 、点F ．然后再展开铺平，以B 、E 、F 为顶点的△BEF 称为矩形ABCD 的“折痕三角形”．如图（2），在矩形ABCD 中，AB=2，BC=4，当“折痕△BEF”面积最大时，点E 的坐标为_________________________．
22．如图，抛物线214311515
y x x =
--与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，⊙B 的圆心为B ，半径是1，点P 是直线AC 上的动点，过点P 作⊙B 的切线，切点是Q ，则切线长PQ 的最小值是__．
23．如图，ABO 三个顶点的坐标分别为(24),(60),(00)A B ，
，，，以原点O 为位似中心，把这个三角形缩小为原来的1
2
，可以得到A B O ''△，已知点B '的坐标是30（，），则点A '的坐标是______.
24．如图，在边长为1的小正方形网格中，点A 、B 、C 、D 都在这些小正方形的顶点上，AB 、CD 相交于点O ，则tan ∠AOD=________.
25．当21x -≤≤时，二次函数2
2
()1y x m m =--++有最大值4，则实数m 的值为
________．
26．如图，点C 是以AB 为直径的半圆上一个动点（不与点A 、B 重合），且AC+BC=8，若AB=m （m 为整数），则整数m 的值为______．
27．如图，港口A在观测站 O的正东方向，OA＝4km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达 B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船与观测站之间的距离（即OB的长）为 _____km.
28．如图，在⊙O中，分别将弧AB、弧CD沿两条互相平行的弦AB、CD折叠，折叠后的弧均过圆心，若⊙O的半径为4，则四边形ABCD的面积是__________________．
29．如图，点O为正六边形ABCDEF的中心，点M为AF中点，以点O为圆心，以OM的长为半径画弧得到扇形MON，点N在BC上；以点E为圆心，以DE的长为半径画弧得到扇形DEF，把扇形MON的两条半径OM，ON重合，围成圆锥，将此圆锥的底面半径记为r1；将扇形DEF以同样方法围成的圆锥的底面半径记为r2，则r1：r2=_____．
30．如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”，在△ABC中，AB=AC，若△ABC是“好玩三角形”，则tanB____________。

三、解答题
31．从﹣1，﹣3，2，4四个数字中任取一个，作为点的横坐标，不放回，再从中取一个数作为点的纵坐标，组成一个点的坐标．请用画树状图或列表的方法列出所有可能的结果，并求该点在第二象限的概率．
32．如图，小明在一块平地上测山高，先在B处测得山顶A的仰角为30°，然后向山脚直行60米到达C处，再测得山顶A的仰角为45°，求山高AD的长度．（测角仪高度忽略不计）
33．一家医院某天出生了3个婴儿，假设生男生女的机会相同，那么这3个婴儿中，出现1个男婴、2个女婴的概率是多少？
34．在“慈善一日捐”活动中，为了解某校学生的捐款情况，抽样调查了该校部分学生的捐款数（单位：元），并绘制成下面的统计图．
（1）本次调查的样本容量是________，这组数据的众数为________元；
（2）求这组数据的平均数；
（3）该校共有600学生参与捐款，请你估计该校学生的捐款总数．
35．已知二次函数y=a2x−4x+c的图象过点(−1，0)和点(2，−9)，
(1)求该二次函数的解析式并写出其对称轴；
(2)当x满足什么条件时，函数值大于0？(不写求解过程)，
四、压轴题
36．在平面直角坐标系xOy中，对于任意三点A，B，C，给出如下定义：
若矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且A，B，C三点都在矩形的内部或边界上，则称该矩形为点A，B，C的外延矩形．点A，B，C的所有外延矩形中，面积最小的矩形称为点A，B，C的最佳外延矩形．例如，图中的矩形，，都是点A，B，C的外延矩形，矩形是点A，B，C的最佳外延矩形．
（1）如图1，已知A（－2，0），B（4，3），C（0，）．
①若，则点A，B，C的最佳外延矩形的面积为；
②若点A，B，C的最佳外延矩形的面积为24，则的值为；
（2）如图2，已知点M（6，0），N（0，8）．P（，）是抛物线
上一点，求点M，N，P的最佳外延矩形面积的最小值，以及此时点P的横坐标的取值范围；
（3）如图3，已知点D（1，1）．E（，）是函数的图象上一点，矩形
OFEG是点O，D，E的一个面积最小的最佳外延矩形，⊙H是矩形OFEG的外接圆，请直接
写出⊙H 的半径r 的取值范围．
37．如图，在矩形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，连接AC 、EC 、EF 、FC ，且EC EF ⊥.
（1）求证：AEF BCE ∽； （2）若23AC =，求AB 的长；
（3）在（2）的条件下，求出ABC 的外接圆圆心与CEF △的外接圆圆心之间的距离？ 38．如图，Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，4AC =，3BC =.点P 从点A 出发，沿着
A C
B →→运动，速度为1个单位/s ，在点P 运动的过程中，以P 为圆心的圆始终与斜边AB 相切,设⊙P 的面积为S ，点P 的运动时间为t （s ）（07t <<）. （1）当47t <<时，BP = ；（用含t 的式子表示） （2）求S 与t 的函数表达式；
（3）在⊙P 运动过程中，当⊙P 与三角形ABC 的另一边也相切时，直接写出t 的值.
39．如图，AB 是⊙O 的直径，AF 是⊙O 的弦，AE 平分BAF ∠，交⊙O 于点E ，过点E 作直线ED AF ⊥，交AF 的延长线于点D ，交AB 的延长线于点C .
(1)求证:CD 是⊙O 的切线; (2)若10,6AB AF ==，求AE 的长.
40．某校网球队教练对球员进行接球训练，教练每次发球的高度、位置都一致．教练站在球场正中间端点A 的水平距离为x 米，与地面的距离为y 米，运行时间为t 秒，经过多次测试，得到如下部分数据： t 秒 0 1.5 2.5 4 6.5 7.5 9 … x 米 0 4 8 10 12 16 20 … y 米
2
4.56
5.84
6
5.84
4.56
2
…
（2）网球落在地面时，与端点A 的水平距离是多少？ （3）网球落在地面上弹起后，y 与x 满足()
2
56y a x k =-+
①用含a 的代数式表示k ；
②球网高度为1.2米，球场长24米，弹起后是否存在唯一击球点，可以将球沿直线扣杀到A 点，若有请求出a 的值，若没有请说明理由．
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一、选择题 1．C 解析：C 【解析】 【分析】
根据特殊角三角函数值，可得答案． 【详解】
解：由sin 2
α=，得α=60°， 故选：C ． 【点睛】
本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．
2．C
解析：C 【解析】 【分析】
根据方程解的定义，求出a-b ，利用作图代入的思想即可解决问题． 【详解】
∵关于x 的一元二次方程240ax bx ++=的解是x=−1， ∴a−b+4=0， ∴a−b=-4，
∴2015−(a−b)=2215−（-4）=2019. 故选C. 【点睛】
此题考查一元二次方程的解，解题关键在于掌握运算法则.
3．D
解析：D 【解析】 【分析】
由已知可得x 与y 的关系，然后代入所求式子计算即可. 【详解】
解：∵25
x y =，
∴2
5
x y =
， ∴2
755
y y
x y y y ++==.
故选：D. 【点睛】
本题考查了比例的性质，属于基础题型，熟练掌握比例的性质是解题关键.
4．C
解析：C 【解析】 【分析】
连接OA 、OB 、OC 、OD 、OE ，如图，则由正多边形的性质易求得∠COD 和∠BOE 的度数，
然后根据圆周角定理可得∠DBC 和∠BCF 的度数，再根据三角形的内角和定理求解即可. 【详解】
解：连接OA 、OB 、OC 、OD 、OE ，如图，则∠COD =∠AOB =∠AOE =360725
︒
=︒， ∴∠BOE =144°， ∴1362DBC COD ∠=
∠=︒，1
722
BCE BOE ∠=∠=︒， ∴18072BFC DBC BCF ∠=︒-∠-∠=︒. 故选：C.
【点睛】
本题考查了正多边形和圆、圆周角定理和三角形的内角和定理，属于基本题型，熟练掌握基本知识是解题关键.
5．B
解析：B 【解析】 【分析】
根据方差的意义可作出判断，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 【详解】
∵S 2甲=1.7，S 2乙=2.4， ∴S 2甲＜S 2乙， ∴甲队成员身高更整齐； 故选B. 【点睛】
此题考查方差，掌握波动越小，数据越稳定是解题关键
6．A
解析：A 【解析】 【分析】
利用抛物线开口方向得到a ＜0，利用对称轴位置得到b ＞0，利用抛物线与y 轴的交点在x 轴下方得c ＜0，则可对①进行判断；根据二次函数的对称性对②③进行判断；利用抛物线与直线y=2的交点个数对④进行判断，利用函数与坐标轴的交点列出不等式即可判断⑤. 【详解】
∵抛物线开口向下，
∴a ＜0，
∵对称轴为直线1x =
∴b=-2a ＞0
∵抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，
∴c ＜-1，
∴abc ＞0，所以①错误；
∵110x -<<，对称轴为直线1x =
∴1212
x x +=故223x <<，②正确； ∵对称轴x=1，∴当x=0，x=2时，y 值相等，
故当x=0时，y=c ＜0，
∴当x=2时，y=421a b c ++<-，③正确；
如图，作y=2，与二次函数有两个交点，
故方程()2
200ax bx c a ++-=≠有两个不相等的实数根，故④错误； ∵当x=-1时，y=a-b+c=3a+c ＞0，
当x=0时，y=c ＜-1
∴3a ＞1，
故13
a >
，⑤正确； 故选A.
【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0），二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小．当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置． 当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左； 当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右；常数项c 决定抛物线与y 轴交点位置：抛物线与y 轴交于（0，c ）．也考查了二次函数的性质．
7．B
解析：B
【解析】
【分析】
连接AC ，根据网格的特点求出r=AC 的长度，再得到扇形的圆心角度数，根据扇形面积公式即可求解.
【详解】
连接AC ，则r=AC=22251=+
扇形的圆心角度数为∠BAD=45°，
∴扇形AEF 的面积=
()2455360π⨯⨯=58
π 故选B.
【点睛】
此题主要考查扇形面积求解，解题的关键是熟知勾股定理及扇形面积公式.
8．A
解析：A
【解析】
【分析】
直接利用切线的性质得出∠OAP=90°，进而利用直角三角形的性质得出OP 的长．
【详解】
连接OA ，
∵PA 为⊙O 的切线，
∴∠OAP=90°，
∵∠P=30°，OB=3，
∴AO=3，则OP=6，
故BP=6-3=3．
故选A ．
【点睛】
此题主要考查了切线的性质以及圆周角定理，正确作出辅助线是解题关键．
9．C
解析：C
【解析】
【分析】
将（0，0）代入y ＝（a ﹣1）x 2﹣x+a 2﹣1 即可得出a 的值．
解：∵二次函数y ＝（a ﹣1）x 2﹣x+a 2﹣1 的图象经过原点，
∴a 2﹣1＝0，
∴a ＝±1，
∵a ﹣1≠0，
∴a≠1，
∴a 的值为﹣1．
故选：C ．
【点睛】
本题考查了二次函数，二次函数图像上的点满足二次函数解析式，熟练掌握这一点是解题的关键，同时解题过程中要注意二次项系数不为0.
10．A
解析：A
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的定义逐一判断即可．
【详解】
解：A ． 2321x x =+是一元二次方程，故本选项符合题意；
B ． 3230x x --是一元三次方程，故本选项不符合题意；
C ． 221x y -=是二元二次方程，故本选项不符合题意；
D ． 20x y +=是二元一次方程，故本选项不符合题意；
故选A ．
【点睛】
此题考查的是一元二次方程的判断，掌握一元二次方程的定义是解决此题的关键．
11．D
解析：D
【解析】
【分析】
【详解】
当－n 2＋15n －36≤0时该企业应停产，即n 2-15n+36≥0，n 2-15n+36=0的两个解是3或者12，根据函数图象当n ≥12或n ≤3时n 2-15n+36≥0，所以1月，2月，3月，12月应停产．
故选D
12．B
解析：B
【解析】
【分析】
将x=2代入方程即可求得k 的值，从而得到正确选项．
解：∵一元二次方程x2-3x+k=0的一个根为x=2，
∴22-3×2+k=0，
解得，k=2，
故选：B．
【点睛】
本题考查一元二次方程的解，解题的关键是明确一元二次方程的解一定使得原方程成立．13．C
解析：C
【解析】
【分析】
①③，根据已知把∠ABD，∠CBD，∠A角度确定相等关系，得到等腰三角形证明腰相等
即可;②通过证△ABC∽△BCD,从而确定②是否正确,根据AD=BD=BC,即BC AC BC AC BC
-
=解
得AC，故④正确.
【详解】
①BC是⊙A的内接正十边形的一边,
因为AB=AC,∠A=36°,
所以∠ABC=∠C=72°,
又因为BD平分∠ABC交AC于点D,
∴∠ABD=∠CBD=1
2
∠ABC=36°=∠A,
∴AD=BD,∠BDC=∠ABD+∠A=72°=∠C,
∴BC=BD,∴BC=BD=AD,正确;
又∵△ABD中，AD+BD＞AB
∴2AD＞AB,故③错误.
②根据两角对应相等的两个三角形相似易证△ABC∽△BCD,
∴BC CD
AB BC
=,又AB=AC,
故②正确,
根据AD=BD=BC,即BC AC BC AC BC
-
=,
解得AC,故④正确,
故选C．
【点睛】
本题主要考查圆的几何综合,解决本题的关键是要熟练掌握圆的基本性质和几何图形的性质. 14．C
【解析】
【分析】
利用等面积法求O'的纵坐标，再利用勾股定理或三角函数求其横坐标．【详解】
解：过O′作O′F⊥x轴于点F，过A作AE⊥x轴于点E，
∵A的坐标为（2，5），∴AE=5，OE=2．
由等腰三角形底边上的三线合一得OB=2OE=4，
在Rt△ABE中，由勾股定理可求AB=3，则A′B=3，
由旋转前后三角形面积相等得OB AE A'B O'F
22
⋅⋅
=，即453O'F
2
⋅⋅
=，
∴O′F=45．
在Rt△O′FB中，由勾股定理可求BF=
2
2
458
4
33
⎛⎫
-=
⎪
⎪
⎝⎭
，∴OF=
820
4
33
+=．
∴O′的坐标为（2045
,
3
）．
故选C．
【点睛】
本题考查坐标与图形的旋转变化；勾股定理；等腰三角形的性质；三角形面积公式．15．A
解析：A
【解析】
【分析】
根据题意可求得CM的长，再根据点和圆的位置关系判断即可．
【详解】
如图，
∵由勾股定理得，
∵CM是AB的中线，
∴CM=5cm，
∴d=r，
所以点M在⊙C上，
故选A．
【点睛】
本题考查了点和圆的位置关系，解决的根据是点在圆上⇔圆心到点的距离=圆的半径．二、填空题
16．100
【解析】
【分析】
由两角对应相等可得△BAD∽△CED，利用对应边成比例即可得两岸间的大致距离AB的长．
【详解】
解：∵∠ADB=∠EDC，∠ABC=∠ECD=90°，
∴△ABD∽△E
解析：100
【解析】
【分析】
由两角对应相等可得△BAD∽△CED，利用对应边成比例即可得两岸间的大致距离AB的长．
【详解】
解：∵∠ADB=∠EDC，∠ABC=∠ECD=90°，
∴△ABD∽△ECD，
∴AB BD EC CD
=，
即
BD EC AB
CD
⨯
=，
解得：AB=12050
60
⨯
=100（米）．
故答案为100．
【点睛】
本题主要考查了相似三角形的应用，用到的知识点为：两角对应相等的两三角形相似；相似三角形的对应边成比例．
17．点C在圆外
【解析】
【分析】
由r和CA，AB、DA的大小关系即可判断各点与⊙A的位置关系．
【详解】
解：∵AB＝3厘米，AD＝5厘米，
∴AC＝厘米，
∵半径为4厘米，
∴点C在圆A外
【点
解析：点C在圆外
【解析】
【分析】
由r和CA，AB、DA的大小关系即可判断各点与⊙A的位置关系．
【详解】
解：∵AB＝3厘米，AD＝5厘米，
∴AC＝22
+=厘米，
3534
∵半径为4厘米，
∴点C在圆A外
【点睛】
本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内．
18．-22
【解析】
【分析】
先确定的整数部分的规律，根据题意确定算式的运算规律，再进行实数运算. 【详解】
解：观察数据12=1，22=4，32=9，42=16，52=25,62=36的特征，得出数
解析：-22
【解析】
【分析】
2020
的整数部分的规律，根据题意确定算式
-+-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-的运算规律，再进行实数运算. 【详解】
解：观察数据12=1，22=4，32=9，42=16，52=25,62=36的特征，得出数据1,2,3,4……2020中，算术平方根是1的有3个，算术平方根是2的有5个，算数平方根是3的有7个，算
数平方根是4的有9个，…其中432=1849，442=1936,452=2025
，所以在
、
⋅⋅⋅⋅⋅⋅中，算术平方根依次为1,2,3……43的个数分别为3,5,7,9……个，均为奇数个，最大算数平方根为44的有85
个，所以
-+-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-=1-2+3-4+…+43-44= -22 【点睛】
本题考查自定义运算，通过正整数的算术平方根的整数部分出现的规律，找到算式中相同加数的个数及符号的规律，方能进行运算.
19．【解析】
【分析】
根据条件可知a 与b 的数量关系，然后代入原式即可求出答案．
【详解】
∵＝，
∴b=a,
∴=,
故答案为：.
【点睛】
本题考查了分式，解题的关键是熟练运用分式的运算法则． 解析：53
【解析】
【分析】
根据条件可知a 与b 的数量关系，然后代入原式即可求出答案．
【详解】 ∵a b b -＝23
， ∴b=
35a, ∴a b =5335
a a =,
故答案为：
53
. 【点睛】 本题考查了分式，解题的关键是熟练运用分式的运算法则．
20．(5,3)
【解析】
【分析】
根据二次函数顶点式的性质直接求解．
【详解】
解：抛物线的顶点坐标是（5，3）
故答案为：（5，3）．
【点睛】
本题考查二次函数性质其顶点坐标为（h ，k ），题目比较
解析：(5,3)
【解析】
【分析】
根据二次函数顶点式2()y a x h k =-+的性质直接求解．
【详解】 解：抛物线2
1(5)33y x =--+的顶点坐标是（5，3）
故答案为：（5，3）．
【点睛】
本题考查二次函数性质2()y a x h k =-+其顶点坐标为（h ，k ），题目比较简单． 21．（，2）．
【解析】
【分析】
【详解】
解：如图，当点B 与点D 重合时，△BEF 面积最大，
设BE=DE=x ，则AE=4-x ，
在RT△ABE 中，∵EA2+AB2=BE2，
∴（4-x ）2+22=
解析：（
32
，2）． 【解析】
【分析】
【详解】
解：如图，当点B 与点D 重合时，△BEF 面积最大，
设BE=DE=x ，则AE=4-x ，
在RT △ABE 中，∵EA 2+AB 2=BE 2， ∴（4-x ）2+22=x 2，
∴x=52
， ∴BE=ED=52
，AE=AD-ED=32， ∴点E 坐标（32
，2）． 故答案为：（32
，2）． 【点睛】 本题考查翻折变换（折叠问题），利用数形结合思想解题是关键．
22．【解析】
【分析】
先根据解析式求出点A 、B 、C 的坐标，求出直线AC 的解析式，设点P 的坐标，根据过点P 作⊙B 的切线，切点是Q 得到PQ 的函数关系式，求出最小值即可.
【详解】
令中y=0，得x1=
26
【解析】
【分析】
先根据解析式求出点A 、B 、C 的坐标，求出直线AC 的解析式，设点P 的坐标，根据过点P 作⊙B 的切线，切点是Q 得到PQ 的函数关系式，求出最小值即可.
【详解】
令2143115y x =-中y=0，得x 13x 23 ∴直线AC 的解析式为31y =-，
设P （x ，
3
13
x ）， ∵过点P 作⊙B 的切线，切点是Q ，BQ=1 ∴PQ 2=PB 2-BQ 2，
2+（3
1x ）2-1， =
24283
753x x ， ∵4
3
a =
0<， ∴PQ 2有最小值
2
42834
75()33
2644
3
，
∴PQ 【点睛】
此题考查二次函数最小值的实际应用，求动线段的最小值，需构建关于此线段的函数解析式，利用二次函数顶点坐标公式求最值，此题找到线段PQ 、BQ 、PB 之间的关系式是解题的关键.
23．（1，2） 【解析】
解：∵点A 的坐标为（2，4），以原点O 为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，∴点A′的坐标是（2×，4×），即（1，2）．故答案为（1，2）．
解析：（1，2） 【解析】
解：∵点A 的坐标为（2，4），以原点O 为位似中心，把这个三角形缩小为原来的1
2
，∴点A ′的坐标是（2×
12，4×1
2
），即（1，2）．故答案为（1，2）． 24．2 【解析】 【分析】
首先连接BE ，由题意易得BF=CF ，△ACO ∽△BKO ，然后由相似三角形的对应边成比例，易得KO ：CO=1：3，即可得OF ：CF=OF ：BF=1：2，在Rt △OBF 中，即可求
解析：2 【解析】
【分析】
首先连接BE，由题意易得BF=CF，△ACO∽△BKO，然后由相似三角形的对应边成比例，易得KO：CO=1：3，即可得OF：CF=OF：BF=1：2，在Rt△OBF中，即可求得tan∠BOF的值，继而求得答案．
【详解】
如图，连接BE，
∵四边形BCEK是正方形，
∴KF=CF=1
2
CK，BF=
1
2
BE，CK=BE，BE⊥CK，
∴BF=CF，
根据题意得：AC∥BK，
∴△ACO∽△BKO，
∴KO：CO=BK：AC=1：3，∴KO：KF=1：2，
∴KO=OF=1
2
CF=
1
2
BF，
在Rt△PBF中，tan∠BOF=BF
OF
=2，
∵∠AOD=∠BOF，
∴tan∠AOD=2．
故答案为2
【点睛】
此题考查了相似三角形的判定与性质，三角函数的定义．此题难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，注意转化思想与数形结合思想的应用．
25．2或
【解析】
【分析】
求出二次函数对称轴为直线x=m，再分m＜-2，-2≤m≤1，m＞1三种情况，根据二次函数的增减性列方程求解即可．
【详解】
解：二次函数的对称轴为直线x=m，且开口向下，
解析：2或3
【解析】
【分析】
求出二次函数对称轴为直线x=m ，再分m ＜-2，-2≤m≤1，m ＞1三种情况，根据二次函数的增减性列方程求解即可． 【详解】
解：二次函数2
2
()1y x m m =--++的对称轴为直线x=m ，且开口向下， ①m ＜-2时，x=-2取得最大值，-（-2-m ）2+m 2+1=4， 解得74
m =-
， 7
24
->-， ∴不符合题意，
②-2≤m≤1时，x=m 取得最大值，m 2+1=4，
解得m =
所以m =，
③m ＞1时，x=1取得最大值，-（1-m ）2+m 2+1=4， 解得m=2，
综上所述，m=2或时，二次函数有最大值．
故答案为：2或 【点睛】
本题考查了二次函数的最值，熟悉二次函数的性质及图象能分类讨论是解题的关键．
26．6或7 【解析】 【分析】
因为直径所对圆周角为直角，所以ABC 的边长可应用勾股定理求解，其中，且AC+BC=8，即可求得，根据基本不等式，可得的范围，再根据题意要求AB 为整数及三角形三边关系，即可
解析：6或7 【解析】 【分析】
因为直径所对圆周角为直角，所以ABC 的边长可应用勾股定理求解，其中
222AB =AC BC +，且AC+BC=8，即可求得22
AB =(AC+BC)2AC BC -⋅，根据基本不等
式AC BC=AC+(8-AC)+≥2AB 的范围，再根据题意要求AB 为整数及三角形三边关系，即可得出AB 可能的长度． 【详解】
解：∵直径所对圆周角为直角，故ABC 为直角三角形，
∴根据勾股定理可得，222AB =AC BC +，即2
2
AB =(AC+BC)2AC BC -⋅，
又∵AC+BC=8，根据基本不等式AC BC=AC+(8-AC)+≥
∴0<AC BC 16⋅≤，代入22AB =(AC+BC)2AC BC -⋅ ∴232AB 64≤≤，同时AB 要满足整数的要求，
∴AB=6或7或8，但是三角形三边关系要求，任意两边之和大于第三边，故AB ≠8， ∴AB=6或7， 故答案为：6或7． 【点睛】
本题主要考察了直径所对圆周角为直角、勾股定理、三角形三边关系、基本不等式，解题的关键在于找出AB 长度的范围．
27．2＋2 【解析】 【分析】
作AD⊥OB 于点D ，根据题目条件得出∠OAD＝60°、∠DAB＝45°、OA ＝4km ，再分别求出AD 、OD 、BD 的长，从而得出答案． 【详解】
如图所示，过点A 作AD⊥O
解析：23＋2 【解析】 【分析】
作AD ⊥OB 于点D ，根据题目条件得出∠OAD ＝60°、∠DAB ＝45°、OA ＝4km ，再分别求出AD 、OD 、BD 的长，从而得出答案． 【详解】
如图所示，过点A 作AD ⊥OB 于点D ，
由题意知，∠AOD ＝30°，OA ＝4km ， 则∠OAD ＝60°， ∴∠DAB ＝45°，
在Rt △OAD 中，AD ＝OAsin ∠AOD ＝4×sin30°＝4×1
2
＝2（km ）， OD ＝OAcos ∠AOD ＝4×cos30°＝43
3km ）， 在Rt △ABD 中，BD ＝AD ＝2km ， ∴OB ＝OD ＋BD ＝32（km ）， 故答案为：32．
【点睛】
本题主要考查解直角三角形的应用−方向角问题，解题的关键是构建合适的直角三角形，并熟练运用三角函数进行求解．
28．【解析】
【分析】
作OH⊥AB，延长OH交于E，反向延长OH交CD于G，交于F，连接OA、OB、OC、OD，根据折叠的对称性及三角形全等，证明AB=CD，又因AB∥CD，所以四边形ABCD是平行
解析：163
【解析】
【分析】
作OH⊥AB，延长OH交O于E，反向延长OH交CD于G，交O于F，连接OA、OB、OC、OD，根据折叠的对称性及三角形全等，证明AB=CD，又因AB∥CD，所以四边形ABCD 是平行四边形，由平行四边形面积公式即可得解．
【详解】
如图，作OH⊥AB，垂足为H，延长OH交O于E，反向延长OH交CD于G，交O于F，连接OA、OB、OC、OD，则OA=OB=OC=OD=OE=OF=4，
∵弧AB、弧CD沿两条互相平行的弦AB、CD折叠，折叠后的弧均过圆心，
∴OH=HE=1
×4=2
2
，OG=GF=
1
×4=2
2
，即OH=OG，
又∵OB=OD，
∴Rt△OHB≌Rt△OGD，
∴HB=GD，
同理，可得AH=CG= HB=GD
∴AB=CD
又∵AB∥CD
∴四边形ABCD是平行四边形，
在Rt△OHA中，由勾股定理得：
2222
4223 OA OH
-=-=
∴AB=43
∴四边形ABCD的面积=AB×GH=434=163
⨯．
故答案为：163．
【点睛】
本题考查圆中折叠的对称性及平行四边形的证明，关键是作辅助线，本题也可通过边、角关系证出四边形ABCD是矩形．
29．【解析】
分析：根据题意正六边形中心角为120°且其内角为120°．求出两个扇形圆心角，表示出扇形半径即可．
详解：连OA
由已知，M为AF中点，则OM⊥AF
∵六边形ABCDEF为正六边形
∴
解析：3:2
【解析】
分析：根据题意正六边形中心角为120°且其内角为120°．求出两个扇形圆心角，表示出扇形半径即可．
详解：连OA
由已知，M为AF中点，则OM⊥AF
∵六边形ABCDEF为正六边形
∴∠AOM=30°
设AM=a
∴AB=AO=2a，3a
∵正六边形中心角为60°
∴∠MON=120°
∴扇形MON 120323
a
a π⋅⋅
=
则r1
3
同理：扇形DEF的弧长为：12024
1803
a
a
π
π
⋅⋅
=
则r2=2 3 a
r1：r2=32：
故答案为32：
点睛：本题考查了正六边形的性质和扇形面积及圆锥计算．解答时注意表示出两个扇形的半径．
30．2或
【解析】
【分析】
分两种情形分别求解即可解决问题．
【详解】
①如图1中，取BC的中点H，连接AH．
∵AB=AC，BH=CH，
∴AH⊥BC，设BC=AH=2a，则BH=CH=a，
∴t
解析：2或15
【解析】
【分析】
分两种情形分别求解即可解决问题．
【详解】
①如图1中，取BC的中点H，连接AH．
∵AB=AC，BH=CH，
∴AH⊥BC，设BC=AH=2a，则BH=CH=a，
∴tanB=
2
AH a
BH a
=2．
②取AB的中点M，连接CM，作CN⊥AM于N，如图2．设CM=AB=AC=4a，则BM=AM=2a，
∵CN⊥AM，CM=CA，
∴AN=NM=a，
在Rt△CNM中，，
∴tanB=
33
a
=，
故答案为2或
3
．
【点睛】
本题考查解直角三角形、等腰三角形的性质、“好玩三角形”的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
三、解答题
31．表见解析，1 3
【解析】
【分析】
列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再利用概率公式求解可得．【详解】
解：列表如下：
∴该点在第二象限的概率为
4
12
＝
1
3
．
【点睛】
本题主要考查了列表法或树状图法求概率，熟练的用列表法或树状图法列出所有的情况数是解题的关键.
32．301)米
【解析】
【分析】
设AD＝xm，在Rt△ACD中，根据正切的概念用x表示出CD，在Rt△ABD中，根据正切的概念列出方程求出x的值即可．
【详解】
由题意得，∠ABD＝30°，∠ACD＝45°，BC＝60m，
设AD＝xm，
在Rt△ACD中，∵tan∠ACD＝AD CD
，
∴CD＝AD＝x，
∴BD＝BC+CD＝x+60，
在Rt△ABD中，∵tan∠ABD＝AD BD
，
∴
3
(60)
x x
=+，
∴30(31)
x=+米，
答：山高AD为30(31)
+米．
【点睛】
本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
33．3
8
【解析】
【分析】
本题先利用树状图，求出医院某天出生了3个婴儿的8中等可能性，再求出出现1个男
婴、2个女婴有三种，概率为3 8 .
【详解】
解：用树状图来表示出生婴儿的情况，如图所示．
在这8种情况中，一男两女的情况有3种，则概率为3
8
．
【点睛】
本题利用树状图比较合适，利用列表不太方便．一般来说求等可能性，只有两个层次，既
可以用树状图，又可以用列表；有三个层次时，适宜用树状图求出所有的等可能性．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
34．（1）30，10；（2）平均数为12元；（3）学生的捐款总数为7200元. 【解析】 【分析】
（1）由题意得出本次调查的样本容量是6118530+++=，由众数的定义即可得出结果；
（2）由加权平均数公式即可得出结果； （3）由总人数乘以平均数即可得出答案． 【详解】
（1）本次调查的样本容量是6118530+++=，这组数据的众数为10元； 故答案为30，10； （2）这组数据的平均数为
651110815520
1230
⨯+⨯+⨯+⨯=（元）；
（3）估计该校学生的捐款总数为600127200⨯=（元）． 【点睛】
此题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．本题也考查了平均数、中位数、众数的定义以及利用样本估计总体的思想．
35．（1）2
45y x x =--，2x =；（2）当x ＜1-或x ＞5时，函数值大于0． 【解析】 【分析】
（1）把（-1，0）和点（2，-9）代入y=ax 2-4x+c ，得到一个二元一次方程组，求出方程组的解，即可得到该二次函数的解析式，然后求出对称轴； （2）求得抛物线与x 轴的交点坐标后即可确定正确的答案． 【详解】
解：（1）∵二次函数2
4y ax x c =-+的图象过点(−1，0)和点(2，−9)，
∴40
449a c a c ++=⎧⎨
-+=-⎩
，
解得：1
5a c =⎧⎨
=-⎩
， ∴2
45y x x =--； ∴对称轴为：4
222
b x a -=-
=-=； （2）令2
450x y x --==， 解得：11x =-，25x =， 如图：。