高考数学2轮复习专题5解析几何第3讲圆锥曲线的综合问题课时规范练文51

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第3讲 圆锥曲线的综合问题
一、选择题
1．F 1 ,F 2是椭圆x 2
4＋y 2
＝1的左、右焦点 ,点P 在椭圆上运动 ,那么PF 1→
·PF 2→
的最|大值
是( )
A ．－2
B ．1
C ．2
D ．4
解析：设P (x ,y ) ,依题意得点F 1(－ 3 ,0) ,F 2( 3 ,0) ,PF 1→
·PF 2→
＝(－3－x )(3－x )＋y 2
＝x 2
＋y 2
－3＝34x 2－2 ,因为－2≤x ≤2 ,所以－2≤34
x 2
－2≤1 ,因此PF 1→·PF 2→
的最|大值
是1.
答案：B
2．(2021·沈阳二模)假设点P 为抛物线y ＝2x 2
上的动点 ,F 为抛物线的焦点 ,那么|PF |的最|小值为( )
A ．2 B.12 C.1
4
D.18
解析：根据题意 ,点P 在抛物线y ＝2x 2
上 ,设P 到准线的距离为d ,那么有|PF |＝d ,抛物线的方程为y ＝2x 2 ,即x 2
＝12y ,其准线方程为y ＝－18 ,所以当点P 在抛物线的顶点
时 ,d 有最|小值18 ,即|PF |min ＝1
8
.
答案：D
3．(2021·北京西城区调研)过抛物线y 2
＝43x 的焦点的直线l 与双曲线C ：x 2
2－y 2
＝1
的两个交点分别为(x 1 ,y 1) ,(x 2 ,y 2) ,假设x 1·x 2＞0 ,那么k 的取值范围是( )(导学号 55410132)
A.
⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫－12 12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－∞ －12∪⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫12 ＋∞ C.
⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫－22 22 D.⎝
⎛⎭⎪⎪⎫－∞ －22∪⎝ ⎛⎭
⎪
⎪⎫
22 ＋∞ 解析：易知双曲线两渐近线y ＝±22x ,当k ＞22或k ＜－2
2
时 ,l 与双曲线的右支有两个交点 ,满足x 1x 2＞0.
答案：D
4．(2021·全国卷Ⅰ改编)椭圆C ：x 23＋y 2
m
＝1的焦点在x 轴上 ,点A ,B 是长轴的两端点 ,
假设曲线C 上存在点M 满足∠AMB ＝120° ,那么实数m 的取值范围是( )
A ．(3 ,＋∞)
B ．[1 ,3)
C ．(0 ,3)
D ．(0 ,1]
解析：依题意 ,当0＜m ＜3时 ,焦距在x 轴上 ,要在曲线C 上存在点M 满足∠AMB ＝120° ,
那么a b
≥tan 60° ,即3
m
≥ 3.解得0＜m ≤1.
答案：D
5．在直线y ＝－2上任取一点Q ,过Q 作抛物线x 2
＝4y 的切线 ,切点分别为A ,B ,那么直线AB 恒过的点的坐标为( )
A ．(0 ,1)
B ．(0 ,2)
C ．(2 ,0)
D ．(1 ,0)
解析：设Q (t ,－2) ,A (x 1 ,y 1) ,B (x 2 ,y 2) ,抛物线方程变为y ＝14x 2 ,那么y ′＝1
2x ,
那么在点A 处的切线方程为y －y 1＝12x 1(x －x 1) ,化简得y ＝－1
2
x 1x －y 1 ,
同理 ,在点B 处的切线方程为
y ＝－12
x 2x －y 2 ,
又点Q (t ,－2)的坐标适合这两个方程 , 代入得－2＝－12x 1t －y 1 ,－2＝－1
2x 2t －y 2 ,
这说明A (x 1 ,y 1) ,B (x 2 ,y 2)都满足方程 －2＝－1
2
xt －y ,
那么直线AB 的方程为y －2＝－1
2tx ,直线AB 恒过点(0 ,2)．
答案：B 二、填空题
6．设双曲线C ：x 2a 2－y 2b
2＝1(a ＞0 ,b ＞0)的一条渐近线与抛物线y 2
＝x 的一个交点的横
坐标为x 0 ,假设x 0＞1 ,那么双曲线C 的离心率e 的取值范围是________．
解析：双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线为y ＝b
a
x ,
联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2
＝x
y ＝b a
x 消去y ,得b 2a 2x 2
＝x .
由x 0＞1 ,知b 2a
2＜1 ,b 2＜a 2
.
所以e 2
＝c 2a 2＝a 2＋b 2
a
2＜2 ,因此1＜e ＜ 2.
答案：(1 ,2)
7．抛物线C ：x 2
＝8y 的焦点为F ,动点Q 在C 上 ,圆Q 的半径为1 ,过点F 的直线与圆Q 切于点P ,那么FP →·FQ →
的最|小值为________．
解析：如图 ,FP →·FQ →＝|FP →|2＝|FQ →
|2
－1.
由抛物线的定义知：|FQ →
|＝d (d 为点Q 到准线的距离) ,易知 ,抛物线的顶点到准线的距离最|短 ,所以|FQ →|min ＝2 ,所以FP →·FQ →
的最|小值为3.
答案：3
8．(2021·济南模拟)抛物线y 2
＝4x ,过焦点F 的直线与抛物线交于A ,B 两点 ,过A ,B 分别作x 轴 ,y 轴的垂线 ,垂足分别为C ,D ,那么|AC |＋|BD |的最|小值为________．
解析：不妨设A (x 1 ,y 1)(y 1＞0) ,B (x 2 ,y 2)(y 2＜0)． 那么|AC |＋|BD |＝x 2＋y 1＝y 22
4＋y 1.
又y 1y 2＝－p 2
＝－4.
所以|AC |＋|BD |＝y 22
4－4
y 2
(y 2＜0)．
利用导数易知y ＝y 22
4－4
y 2
在(－∞ ,－2)上递减 ,在(－2 ,0)上递增．所以当y 2＝－2
时 ,|AC |＋|BD |的最|小值为3.
答案：3 三、解答题
9．(2021·西安调研)椭圆E ：x 2
a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为3
2
,点P ⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫
1 32在椭圆E
上．
(1)求椭圆E 的方程；
(2)过点P 且斜率为k 的直线l 交椭圆E 于点Q (x Q ,y Q )(点Q 异于点P ) ,假设0＜x Q ＜1 ,求直线l 斜率k 的取值范围．
解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝3
2
1a 2
＋34b
2
＝1 a 2
＝b 2
＋c 2
解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2
b ＝1
c ＝ 3
故椭圆E 的方程为x 2
4
＋y 2
＝1.
(2)设直线l 的方程为y －32＝k (x －1) ,代入方程x 2
4＋y 2
＝1 ,
消去y ,得(1＋4k 2
)x 2
＋(43k －8k 2
)x ＋(4k 2
－43k －1)＝0 , 所以x Q ·1＝4k 2
－43k －1
1＋4k 2
. 因为0＜x Q ＜1 ,
所以0＜4k 2
－43k －1
1＋4k 2
＜1 , 即⎩
⎪⎨⎪⎧4k 2
－43k －1
1＋4k
2
＞0 4k 2
－43k －1
1＋4k
2
＜1.
解得－
36＜k ＜3－22或k ＞3＋2
2
,经检验 ,满足题意． 所以直线l 斜率k 的取值范围是－
36＜k ＜3－22或k ＞3＋2
2
. 10．(2021·新乡三模)抛物线C ：x 2
＝2py (p ＞0)的焦点为F ,直线2x －y ＋2＝0交抛物线C 于A ,B 两点 ,P 是线段AB 的中点 ,过P 作x 轴的垂线交抛物线C 于点Q .(导学号 55410133)
(1)D 是抛物线C 上的动点 ,点E (－1 ,3) ,假设直线AB 过焦点F ,求|DF |＋|DE |的最|小值；
(2)是否存在实数p ,使|2QA →＋QB →|＝|2QA →－QB →
| ?假设存在 ,求出p 的值；假设不存在 ,说明理由．
解：(1)因为直线2x －y ＋2＝0与y 轴的交点为(0 ,2) , 所以F (0 ,2) ,那么抛物线C 的方程为x 2
＝8y ,准线l ：y ＝－2. 设过D 作DG ⊥l 于G ,那么|DF |＋|DE |＝|DG |＋|DE | , 当E ,D ,G 三点共线时 ,|DF |＋|DE |取最|小值为2＋3＝5.
(2)假设存在实数p ,满足条件等式成立． 联立x 2
＝2py 与2x －y ＋2＝0 , 消去y ,得x 2
－4px －4p ＝0.
设A (x 1 ,y 1) ,B (x 2 ,y 2) ,那么x 1＋x 2＝4p ,x 1x 2＝－4p ,所以Q (2p ,2p )． 因为|2QA →＋QB →|＝|2QA →－QB →| , 所以QA ⊥QB ,那么QA →·QB →
＝0.
因此(x 1－2p )(x 2－2p )＋(y 1－2p )(y 2－2p )＝0. (x 1－2p )(x 2－2p )＋(2x 1＋2－2p )·(2x 2＋2－2p )＝0 , 5x 1x 2＋(4－6p )(x 1＋x 2)＋8p 2
－8p ＋4＝0 ,
把x 1＋x 2＝4p ,x 1x 2＝－4p 代入得4p 2
＋3p －1＝0 ,解得p ＝14或p ＝－1(舍去)．
因此存在实数p ＝1
4
,使得|2QA →＋QB →|＝|2QA →－QB →
|成立．
11．(2021·唐山一模)椭圆C ：x 2
a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为2
2
,点Q ⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫
b a b 在椭圆上 ,O
为坐标原点．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)点P ,M ,N 为椭圆C 上的三点 ,假设四边形OPMN 为平行四边形 ,证明四边形OPMN 的面积S 为定值 ,并求该定值．
解：(1)因为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为2
2 ,
所以e 2
＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝12
,得a 2＝2b 2
,①
又点Q ⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫
b a b 在椭圆C 上 ,
所以b 2a 2＋a 2
b
4＝1 ,②
联立①、②得a 2
＝8 ,且b 2
＝4.
所以椭圆C 的方程为x 28＋y 2
4
＝1.
(2)当直线PN 的斜率k 不存在时 ,PN 的方程为
x ＝2或x ＝－ 2 ,从而有|PN |＝2 3 ,S ＝12|PN |·|OM |＝1
2
×23×22＝26；
当直线PN 的斜率k 存在时 ,
设直线PN 的方程为y ＝kx ＋m (m ≠0) ,
P (x 1 ,y 1) ,N (x 2 ,y 2)；
将PN 的方程代入C 整理得(1＋2k 2
)x 2
＋4kmx ＋2m 2
－8＝0 , 所以x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2 ,x 1·x 2＝2m 2－81＋2k
2 ,
y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2m ＝
2m
1＋2k
2. 由OM →＝OP →＋ON →
, 得M
⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫－4km
1＋2k 2 2m 1＋2k 2
. 将M 点坐标代入椭圆C 方程得m 2＝1＋2k 2
. 又点O 到直线PN 的距离为d ＝|m |1＋k
2
,
|PN |＝1＋k 2
|x 1－x 2| ,
S ＝d ·|PN |＝|m |·|x 1－x 2|＝1＋2k 2·|x 1－x 2|＝16k 2－8m 2＋32＝2 6.
综上可知 ,平行四边形OPMN 的面积S 为定值2 6.
[典例] (本小题总分值12分)设圆x 2
＋y 2
＋2x －15＝0的圆心为A ,直线l 过点B (1 ,0)且与x 轴不重合 ,l 交圆A 于C ,D 两点 ,过B 作AC 的平行线交AD 于点E .
(1)证明|EA |＋|EB |为定值 ,并写出点E 的轨迹方程；
(2)设点E 的轨迹为曲线C 1 ,直线l 交C 1于M ,N 两点 ,过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ,Q 两点 ,求四边形MPNQ 面积的取值范围．
标准解答：(1)因为|AD |＝|AC | ,EB ∥AC , 所以∠EBD ＝∠ACD ＝∠ADC ,所以|EB |＝|ED | , 故|EA |＋|EB |＝|EA |＋|ED |＝|AD |.
又圆A 的标准方程为(x ＋1)2
＋y 2
＝16 ,从而圆心A (－1 ,0) ,|AD |＝4. 所以|EA |＋|EB |＝4.(2分)
又因为B (1 ,0) ,所以|AB |＝2 ,
由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为x 24＋y 2
3
＝1(y ≠0)．(4分)
(2)解：当l 与x 轴不垂直时 ,设l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0) ,M (x 1 ,y 1) ,N (x 2 ,y 2)．
由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1 ) x 24＋y 23
＝1得(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0 ,
那么x 1＋x 2＝8k 2
4k 2＋3 ,x 1x 2＝4k 2
－124k 2＋3
,
所以|MN |＝1＋k 2
|x 1－x 2|＝12 (k 2
＋1 )
4k 2
＋3
.(6分) 过点B (1 ,0)且与l 垂直的直线m ：y ＝－1
k
(x －1) ,点A 到直线m 的距离为
2
k 2
＋1
,
所以|PQ |＝2
42
－⎝ ⎛⎭
⎪⎫2k 2＋12＝4
4k 2
＋3
k 2＋1
.(8分) 故四边形MPNQ 的面积S ＝1
2
|MN || PQ |＝12
1＋1
4k 2＋3
.(9分) 可得当l 与x 轴不垂直时 ,四边形MPNQ 面积的取值范围为(12 ,83)．(10分) 当l 与x 轴垂直时 ,其方程为x ＝1 ,|MN |＝3 ,|PQ |＝8 , 故四边形MPNQ 的面积为12.
综上可知 ,四边形MPNQ 面积的取值范围为[12 ,83)．(12分)
1．正确使用圆锥曲线的定义：牢记圆锥曲线的定义 ,能根据圆锥曲线定义判断曲线类型 ,如此题第(1)问就涉及椭圆的定义．
2．注意分类讨论：当用点斜式表示直线方程时 ,应分直线的斜率存在和不存在两种情况求解 ,易出现忽略斜率不存在的情况 ,导致扣分 ,如此题第(2)问中的得分10分 ,导致失2分.
3．写全得分关键：在解析几何类解答题中 ,直线方程与圆锥曲线方程联立后得到的一元二次方程 ,根据一元二次方程得到的两根之和与两根之积、弦长、目标函数等一些关键式子和结果都是得分点 ,在解答时一定要写清楚．
解题程序 第|一步：利用条件与几何性质 ,求|EA |＋|EB |＝4. 第二步：由定义 ,求点E 的轨迹方程x 24＋y 2
3＝1(y ≠0)．
第三步：联立方程 ,用斜率k 表示|MN |.
第四步：用k 表示出|PQ | ,并得出四边形的面积．
第五步：结合函数性质 ,求出当k 存在时S 的取值范围． 第六步：求出斜率不存在时面积S 的值 ,正确得出结论．
[跟踪训练] (2021·郴州三模)抛物线E ：y 2
＝8x ,圆M ：(x －2)2
＋y 2
＝4 ,点N 为抛物线E 上的动点 ,O 为坐标原点 ,线段ON 的中点P 的轨迹为曲线C .(导学号 55410057)
(1)求曲线C 的方程；
(2)点Q (x 0 ,y 0)(x 0≥5)是曲线C 上的点 ,过点Q 作圆M 的两条切线 ,分别与x 轴交于A ,B 两点 ,求△QAB 的面积的最|小值．
解：(1)设P (x ,y ) ,那么点N (2x ,2y )在抛物线E ：y 2
＝8x 上 ,所以4y 2
＝16x ,所以曲线C 的方程为y 2
＝4x ；
(2)设切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)． 令y ＝0 ,得x ＝x 0－y 0
k
.
圆心(2 ,0)到切线的距离d ＝|2k ＋y 0－kx 0|k 2＋1＝2 ,
整理得(x 2
0－4x 0)k 2
＋(4y 0－2x 0y 0)k ＋y 2
0－4＝0. 设两条切线的斜率分别为k 1 ,k 2 , 那么k 1＋k 2＝2x 0y 0－4y 0x 20－4x 0 ,k 1k 2＝y 2
0－4
x 20－4x 0
.
所以△QAB 面积S ＝12⎪
⎪⎪
⎪⎪⎪x 0－y 0k 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－y 0k 2y 0＝
2·
x 20
x 0－1
.
设t ＝x 0－1∈[4 ,＋∞) ,那么f (t )＝
2⎝
⎛⎭
⎪⎫t ＋1t
＋2在[4 ,＋∞)上单调递增 , 所以f (t )≥252 ,即△QAB 面积的最|小值为25
2
.。