(新教材)高中数学人教A必修第一册同步练习：3.4函数的应用(一)

能获得最大利润 ?
解 设对甲种商品投资
x 万元 ,则对乙种商品投资
(3-x )万元 ,总利润为

万元
,则
Q1=
1
3
5x,Q2 =5
√3-??.
所以
y=
1
5 x+
3 5
√3-??(0≤
x≤
3).
令 t= √3 -??(0≤ t≤ √3 ),则 x= 3-t2,
所以
y=
1 5
(3
-t
2)+
3 5
t=-
1 5
则投资 A 类产品为 (32-x) 万元 ,
则
f(x)
=
1 8
(32-x
)
+
√??=
4-
1
8x+
√??.
∵f(x)=-
1 8
(
√??-4)2 +
6,
∴当 x= 16 时 ,f(x) max= 6. 答 :投资 A,B 两类产品各 16 万元时 ,能使资金获得最大收益 ,最大收益为 6 万元 .
2
1
1
1
= 2 ×(1 + 2) ×1- 2×(1+x- 2)×1
3 111 5
= - x+ =- x+ .
4 222 4
1
2 ??(0 < ??≤ 1),
∴y=f (x)=
1
3
- ??+
4
(1 <
4
??≤ 2),
{
- 1 ??+
2
5
4 (2
<
??≤
5 2
)
.
再结合题图知应选 A.
答案 A
2.( 多选题 )(2020 全国高一课时练习 )某市出租车收费标准如下 :起步价为 8 元 ,起步里程为 3 km(不超 过 3 km 按起步价付费 );超过 3 km 但不超过 8 km 时 ,超过部分按每千米 2.15 元收费 ;超过 8 km 时 ,超
L(Q)取得最大值
250 万元 . 答案 250 300
5.如图所示 ,已知边长为 8 m 的正方形钢板有一个角被锈蚀 ,其中 AE= 4 m,CD= 6 m.为了合理利用这 块钢板 ,将在五边形 ABCDE 内截取一个矩形块 BNPM ,使点 P 在边 DE 上 . (1) 设 MP=x m,PN=y m,将 y 表示成 x 的函数 ,求该函数的解析式及定义域 ; (2) 求矩形 BNPM 面积的最大值 .
,投资 A 类产品的收益与投资额成正比 (f1( x)=k 1x),投 ( f2(x) =k 2√??).已知投资 16 万元时 ,A,B 两类产品的收
(1) 分别写出 A,B 两类产品的收益与投资额的函数关系式 ;
(2) 该家庭有 32 万元资金 ,全部用于理财投资 A,B 两类产品 ,问 :怎么分配资金能使投资获得最大收益
成本增加 1 万元 ,又知总收入
R 是生产数量
Q 的函数
R(Q)
=
4
Q-
1 200
Q2,则总利润
L (Q)的最大值是
万元 ,这时产品的生产数量为
.( 总利润 = 总收入 -成本 )
解析 由题意可得
L
(
Q
)=
4Q-
1 200
Q
2-
(200
+Q
)
=-
1 200
(
Q-
300)
2+
250,
则当
Q= 300 时 ,总利润
解 (1)如图所示 ,延长 NP 交 AF 于点 Q, 则 PQ= 8-y ,EQ=x- 4.
在 △EDF
中
,
????
????=
????
???,?
∴
??-4 =
8- ??
4
2.
∴
y=-
1 2
x+
10,
定义域为
[4,8] .
(2)设矩形 BNPM 的面积为 S,
则
S=xy=x
(10
-
??
2) =-
1 2
1
C.当 0≤ x≤ 30 时 ,y 与 x 的关系式为 y= 15 x
1
D.当 30≤ x≤ 60 时 ,y 与 x 的关系式为
y= x-2
10
解析 由题中图象知 ,A 正确 ; 甲同学从家到公园所用的时间比从公园到乙同学家所用的时间长
到公园的速度比从公园到乙同学家的速度慢 ,B 正确 ;
,而距离相等 ,所以甲同学从家
当
0≤x≤ 30 时 ,设
y=kx (k≠0),则
2= 30k,解得
1
k= ,C
15
正确
;
当 30≤ x≤ 40 时 ,题中图象是平行于 x 轴的线段 ,D 错误 . 答案 ABC
2.用长度为 24 m 的材料围成一个矩形场地 ,并且中间加两道隔墙 ,要使矩形的面积最大 ,则隔墙的长度 为( )
A.3 m
(x-
10)
2+
50.又
x∈ [4,8],
所以当
x= 8 时 ,S 取最大值
48.所以当
MP= 8 m 时 ,矩
形 BNPM 的面积取得最大值 ,且为 48 m 2.
能力提升练
1.如图 ,点 P 在边长为 1 的正方形边上运动 ,设 M 是 CD 的中点 ,则当 P 沿 A-B-C-M 运动时 ,点 P 经过 的路程 x 与 △APM 的面积 y 之间的函数 y=f (x)的图象大致是 ( )
y= 8+ 2.15×5+ 2.85(x- 8)+ 1= 22.6,解得 x= 9,D 正确 . 答案 BCD
3.有甲、乙两种商品 ,经营销售这两种商品所能获得的利润依次为
Q1 万元和 Q2 万元 ,它们与投入的
资金 x 万元的关系是
Q1=
1
5x,Q2=
3 5
√??.今年有
3 万元资金投入使用
,则对甲、乙两种商品如何投资才
(f(x)=f 1(x)+f 2( x)),其最大收益是多少万元 ?
解 (1)由题意得
,f1(16)= 16k1= 2,解得
1
k1= 8,
由 f2(16) =4k2= 4,解得 k2= 1.
∴
f1(
x)
=
1 8
x,x∈
[0,
+
∞),
f
2(x)=
√?,?x∈
[0,
+
∞).
(2)设投资 B 类产品 x 万元 ,
在 B 中,出租车行驶 10 km, 乘客需付费 8+ 2.15×5+ 2.85×(10-8)+ 1= 25.45(元 ),B 正确 ;
在 C 中,乘出租车行驶 5 km,乘客需付费 8+ 2×2.15+ 1= 13.30(元 ),乘坐两次需付费 26.6
元,26.6> 25.45,C 正确 ;
在 D 中 ,设出租车行驶 x km 时,付费 y 元 ,由 8+ 5×2.15+ 1= 19.75< 22.6 知 x> 8,因此由
过部分按每千米 2.85 元收费 ,另每次乘坐需付燃油附加费 1 元 .下列结论正确的是 ( )
A. 出租车行驶 2 km,乘客需付费 8 元
B.出租车行驶 10 km, 乘客需付费 25.45 元
C.某人乘出租车行驶 5 km 两次的费用超过他乘出租车行驶 10 km 一次的费用 D.某人乘坐一次出租车付费 22.6 元 ,则此次出租车行驶了 9 km 解析 在 A 中 ,出租车行驶 2 km,乘客需付起步价 8 元和燃油附加费 1 元,共 9 元 ,A 错误 ;
,变化情况 ()
A. 升高 7.84%
B. 降低 7.84%
C.降低 9.5%
D.不增不减
解析 设该商品原价为 a,四年后的价格为 a(1+0.2) 2·(1-0.2)2= 0.921 6a.∴(1-0.921 6)a= 0.078
4a= 7.84%a,即比原来降低 7.84%. 答案 B
4.(2020 山东潍坊高一检测 ) 某工厂生产某种产品的固定成本为 200 万元 ,并且生产量每增加 1 单位 ,
3
t- 2
2
+
21 20
.
当
t=
3 2
时
,ymax=
21
20 =
1.05,
这时
x=
3 4
=
0.75,
所以 3-x= 2.25. 由此可知 ,为获得最大利润 ,对甲、乙两种商品的资金投入分别为 得利润为 1.05 万元 .
0.75 万元和 2.25 万元 ,总共获
素养培优练
某家庭进行理财投资 ,根据长期收益率市场预测 资 B 类产品的收益与投资额的算术平方根成正比 益分别为 2 万元和 4 万元 .
解析
依题意
,当
0<x
≤
1
时
,S△APM
=
1
2×1×
1
x=2x;
当 1<x ≤ 2 时 ,S△APM =S 梯形 ABCM -S△ABP-S△PCM
=
1 2
×(1
+
1
2)
×1-
1
2×1×(x-1)-
1 2
×
1
2×(2-x)=-
1
4 x+
3
4;
当 2<x ≤ 5 时 ,S△APM =S 梯形 ABCM-S 梯形 ABCP
3.4 函数的应用 (一 )
课后篇 巩固提升
基础达标练
1.( 多选题 )甲同学家到乙同学家的途中有一座公园 ,甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离
都是 2 km.如图所示表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程
y(单位 :km) 与时间 x(单位 :min) 的关
系,下列结论正确的是 ( )
A. 甲同学从家出发到公园的时间是 30 min B.甲同学从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度慢
B.4 m
C.5 m
D.6 m
解析 设隔墙长为
x m,则矩形场地长为
24 -4??
2 = (12-2x)m.所以矩形面积为
S=x (12-2x)=- 2x2+ 12x=- 2( x-
3)2+ 18,即当 x= 3 m 时,矩形面积最大 . 答案 A
3.某商品价格前两年每年递增 是
20%,后两年每年递减 20%,则四年后的价格与原来价格相比