新课标2023版高考数学一轮总复习第5章平面向量复数第2节平面向量基本定理及坐标表示教师用书

第二节 平面向量基本定理及坐标表示
考试要求：1．理解平面向量基本定理及其意义． 2．掌握平面向量的正交分解及坐标表示．
3．能用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算． 4．理解用坐标表示的平面向量共线的条件．
一、教材概念·结论·性质重现 1．平面向量基本定理与基底
平面向量基本定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2．
若e 1，e 2不共线，我们把{e 1，e 2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．
理解基底应注意以下两点
(1)基底e 1，e 2必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底． (2)基底给定，同一向量的分解形式唯一．
对于一组基底e 1，e 2，若a ＝λ1e 1＋λ2e 2＝μ1e 1＋μ2e 2，则⎩
⎪⎨
⎪⎧
λ1＝μ1，
λ2＝μ2.
2．平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模
设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λ
a ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 21＋y 2
1．
(2)向量坐标的求法
①一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标．
②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2
．
1．向量坐标表示的本质是向量的代数表示，其中坐标运算法则是运算的关键． 2．要区分点的坐标与向量坐标，尽管在形式上它们类似，但意义完全不同，向量坐标中既有方向的信息，也有大小的信息．
3．平面向量共线的坐标表示
设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0，a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0．
若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件不能表示成x 1x 2＝y 1
y 2
．因为x 2，y 2有可能等于0，所以应表示为x 1y 2－x 2y 1＝0．
4．常用结论
(1)若a 与b 不共线，且λa ＋μb ＝0，则λ＝μ＝0．
(2)已知P 为线段AB 的中点，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则点P 的坐标为⎝
⎛⎭
⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22．
(3)已知△ABC 的顶点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，则△ABC 的重心G 的坐标为
⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 1＋x 2＋x 33，y 1＋y 2＋y 33．
二、基本技能·思想·活动经验
1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”． (1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．
( × )
(2)若a ，b 不共线，且λ1a ＋μ1b ＝λ2a ＋μ2b ，则λ1＝λ2，μ1＝μ2．
( √ ) (3)平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可被这组基底唯一表示．
( √ )
(4)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件是x 1x 2＝y 1
y 2
．
( × )
(5)当向量的起点在坐标原点时，该向量的坐标等于向量终点的坐标．
( √ )
2．如图，设O 是平行四边形ABCD 两对角线的交点，给出下列向量组：
①AD →与AB →；②DA →与BC →；③CA →与DC →；④OD →与OB →
．其中可作为该平面内其他向量的基底的是( )
A ．①②
B ．①③
C ．①④
D ．③④
B 解析：①中AD →，AB →不共线；③中CA →，D
C →
不共线，故①③能作为基底． 3．如图，AB →＝2CA →，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →
＝c ，下列等式中成立的是( )
A ．c ＝32b －12a
B ．c ＝32a －12b
C ．c ＝2a －b
D ．c ＝2b －a
B 解析：因为AB →＝2CA →，OA →＝a ，OB →＝b ，O
C →＝c ，所以OB →－OA →＝2(OA →－OC →)，所以OC →＝32OA
→
－12OB →，即c ＝32a －12
b ． 4．已知向量OA →＝(k,12)，OB →＝(4,5)，OC →
＝(－k,10)，且A ，B ，C 三点共线，则k 的值是( )
A ．－23
B ．43
C ．12
D ．13
A 解析：A
B →＝OB →－OA →＝(4－k ，－7)，A
C →＝OC →－OA →
＝(－2k ，－2)．因为A ，B ，C 三点共线，所以AB →，AC →
共线，所以－2×(4－k )＝－7×(－2k )，解得k ＝－23
．
5．若向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－1,2)，则用a ，b 表示c 为__________．
c ＝12a －32
b 解析：设
c ＝x 1a ＋x 2b ，因为向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－1,2)，
所以(－1,2)＝(x 1＋x 2，x 1－x 2)．
由⎩⎪⎨⎪⎧
x 1＋x 2＝－1，x 1－x 2＝2，
解得⎩⎪⎨
⎪
⎧
x 1＝1
2
，
x 2
＝－32
，
所以c ＝12a －3
2
b ．
考点1 平面向量基本定理及坐标运算——基础性
1．(2021·厦门外国语学校模拟)已知点A (－1,1)，B (0,2)，若向量AC →
＝(－2,3)，则向量BC →
＝( )
A ．(3，－2)
B ．(2，－2)
C ．(－3，－2)
D ．(－3,2)
D 解析：由已知，得AB →＝OB →－OA →＝(1,1)，则BC →＝AC →－AB →
＝(－2,3)－(1,1)＝(－3,2)． 2．(多选题)设{e 1，e 2}是平面内所有向量的一个基底，下列四组向量中能作为基底的是( )
A ．e 2和e 1＋e 2
B ．2e 1－4e 2和－e 1＋2e 2
C ．e 1和e 1－e 2
D ．e 1＋2e 2和2e 1＋e 2
ACD 解析：由于e 2和e 1＋e 2，e 1 和e 1－e 2，e 1＋2e 2 和2e 1＋e 2这三组向量均不共线，故可以作为基底； 2e 1－4e 2＝－2(－e 1＋2e 2)，故2e 1－4e 2和－e 1＋2e 2共线，不可以作为基底．故选ACD ．
3．已知O 为坐标原点，点C 是线段AB 上一点，且A (1,1)，C (2,3)，|BC →|＝2|AC →
|，则向量OB →
的坐标是________．
(4,7) 解析：因为点C 是线段AB 上一点，且|BC →|＝2|AC →|，所以BC →＝－2AC →
．设点B (x ，
y )，则(2－x,3－y )＝－2(1,2)．所以⎩
⎪⎨
⎪⎧
2－x ＝－2，
3－y ＝－4，解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝4，
y ＝7.所以向量OB →
的坐标是
(4,7)．
解答有关平面向量的坐标运算时要注意：
(1)掌握好向量加、减、数乘运算法则，否则易出错．
(2)运用 “向量相等，则坐标相同”这一结论，建立方程(组)求解，要特别注意运算的准确性．
(3)建立坐标系将线性运算转化为坐标运算将使解题更便捷，如第3题．
利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．
(2)解题过程中，常利用“向量相等，则坐标相同”这一结论，由此可列方程(组)进行求解．
考点2 平面向量共线的表示——应用性
考向1 利用向量共线求参数
已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－2)，c ＝(1，λ)．若c ∥(2a ＋b )，则λ＝________．
12 解析：因为2a ＋b ＝(4,2)，c ∥(2a ＋b )，所以4λ＝2，解得λ＝12
．
利用两向量共线求参数
已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件是x 1y 2＝x 2y 1”解题比较方便．
考向2 利用向量共线求向量或点的坐标
已知点A (4,0)，B (4,4)，C (2,6)，则AC 与OB 的交点P 的坐标为________．
(3,3) 解析：方法一：由O ，P ，B 三点共线，可设OP →＝λOB →＝(4λ，4λ)，则AP →＝OP →－OA →
＝(4λ－4,4λ)．又AC →＝OC →－OA →＝(－2,6)，由AP →与AC →
共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)
＝0，解得λ＝34，所以OP →＝34
OB →
＝(3,3)，所以点P 的坐标为(3,3)．
方法二：设点P (x ，y )，则OP →＝(x ，y )，因为OB →＝(4,4)，且OP →与OB →
共线，所以x 4＝y 4
，
即x ＝y ．又AP →＝(x －4，y )，AC →＝(－2,6)，且AP →与AC →
共线，所以(x －4)×6－y ×(－2)＝0，解得x ＝y ＝3，所以点P 的坐标为(3,3)．
一般地，在求与一个已知向量a 共线的向量时，可设所求向量为λa (λ∈R )，然后结合其他条件列出关于λ的方程组，求出λ的值后代入λa 即可得到所求的向量．
1．若三点A (1，－5)，B (a ，－2)，C (－2，－1)共线，则实数a 的值为________． －54 解析：AB →＝(a －1,3)，AC →＝(－3,4)，因为点A ，B ，C 共线，所以AB →∥AC →
，所以4(a －1)－3×(－3)＝0，即4a ＝－5，所以a ＝－5
4
．
2．设向量a ，b 满足|a |＝25，b ＝(2,1)，且a 与b 的方向相反，则a 的坐标为________． (－4，－2) 解析：因为a 与b 的方向相反，所以可设a ＝λb (λ<0)，所以a ＝λ(2,1)＝(2λ，λ)．由|a |＝5λ2
＝25，解得λ＝－2或λ＝2(舍去)，故a ＝(－4，－2)．
考点3 平面向量基本定理及应用——综合性
考向1 用已知基底表示向量
如图，以向量OA →＝a ，OB →＝b 为邻边作平行四边形OADB ，BM →＝13BC →，CN →＝13
CD →
，用
a ，
b 表示OM →，ON →，MN →
．
解：因为BA →＝OA →－OB →＝a －b ，BM →＝13BC →＝16BA →＝16a －16b ，所以OM →＝OB →＋BM →＝b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫16a －16b ＝
16a ＋5
6
b ． 因为OD →＝a ＋b ，所以ON →＝OC →＋CN →＝OC →＋13CD →＝12OD →＋16OD →＝23OD →＝23a ＋23b ，
所以MN →＝ON →－OM →＝23a ＋23b －16a －56b ＝1
2a －16b ．
综上，OM →＝16a ＋56b ，ON →＝23a ＋23b ，MN →＝12a －1
6
b ．
用已知基底表示向量的关注点
(1)理论依据：平面向量基本定理．
(2)方法：利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算． 考向2 解析法(几何法)在向量中的应用
已知在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝1，AC ＝2，D 是△ABC 内一点，且∠DAB
＝60°，设AD →＝λAB →＋μAC →
(λ，μ∈R )，则λμ
＝( )
A ．233
B ．
33
C ．3
D ．2 3
A 解析：如图，以A 为原点，A
B 所在直线为x 轴，A
C 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，
则点B 的坐标为(1,0)，点C 的坐标为(0,2)．因为∠DAB ＝60°，所以设点D 的坐标为(m ，3m )(m ≠0)．
AD →
＝(m ，3m )＝λAB →＋μAC →
＝λ(1,0)＋μ(0,2)＝(λ，2μ)，则λ＝m ，且μ＝
32
m ，所以λμ＝233
．
应用平面向量基本定理解题的两种思路
(1)基向量法．(2)坐标法．
能用坐标法解决的问题，一般不用基向量法． 考向3 利用平面向量基本定理求参数或参数范围问题
(2021·江苏苏北模拟)在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝33，∠ABC ＝30°，AD 为BC
边上的高．若AD →＝λAB →＋μAC →
，则λ－μ＝________．
1
3
解析：根据题意画出图象，如图，
因为AD 为BC 边上的高，所以AD ⊥BC ．因为AB ＝2，∠ABC ＝30°，则BD ＝3，所以
BD ＝1
3
BC ，
所以AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋13BC →＝AB →＋13(AC →－AB →)＝23AB →＋13
AC →．又因为AD →＝λAB →＋μAC →
，所以
λ＝23，μ＝13，故λ－μ＝13
．
用平面向量基本定理解决问题的一般思路
(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决．
(2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理．
四边形ABCD 是等腰梯形，E ，F 分别是腰AD ，BC 的中点，点P 是EF (靠近点F )的一个三等分点，AB →＝2DC →．若AP →＝λAB →＋μBC →
，则λ＋μ＝( )
A ．14
B ．54
C ．34
D ．12
B 解析：取AB 的中点F ，连接CF ，则四边形AFCD 是平行四边形，所以CF ∥AD ，且CF ＝AD ．
因为AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋12BC →＝AB →＋12(FC →－FB →)＝AB →＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →－12AB →＝34AB →＋12AD →
，所以λ＝34
，
μ＝12，所以λ＋μ＝54
．
拓展考点 极化恒等式
a ·
b ＝1
4
[(a ＋b )2－(a －b )2]．
(1)极化恒等式的几何意义是：设点D 是△ABC 中边BC 的中点，则AB →·AC →＝|AD →|2－14|BC
→
|2
＝AD →2－BD →2，即向量的数量积可转化为中线长与半底边长的平方差．
(2)具有三角几何背景的数学问题利用极化恒等式考虑尤为简单，让“秒杀”向量数量积问题成为一种可能，此恒等式的精妙之处在于建立向量与几何长度(数量)之间的桥梁，实现向量与几何、代数的巧妙结合．
(3)遇到共起点的两向量的数量积问题，常取第三边的中点，从而运用极化恒等式加以解决．
在△ABC 中，AC ＝2BC ＝4，∠ACB 为钝角，M ，N 是边AB 上的两个动点，且MN ＝1．若
CM →·CN →
的最小值为34
，则cos ∠ACB ＝________．
1－358 解析：取MN 的中点P ，则由极化恒等式得CM →·CN →＝|CP →|2－14|MN →|2＝|CP →|2－1
4． 因为CM →·CN →的最小值为34，所以|CP →
|min ＝1．由平面几何知识知，当CP ⊥AB 时，CP 最小，
作CH ⊥AB (图略)，H 为垂足，则CH ＝1．又AC ＝2BC ＝4，所以∠B ＝30°，sin A ＝1
4，所以
cos ∠ACB ＝cos(150°－A )＝
1－35
8
．
由于极化恒等式建立了向量与几何长度(数量)之间的关系，作为代数与几何的桥梁，具
有化动(动点)为定(定点)、化动(动态)为静(静态)、化曲(曲线)为直(直线)、化普通为特殊之功效，应用十分灵活，例题取MN 的中点P ，由极化恒等式将“CM →·CN →
的最小值为34”转化
为AB 边上的高CH ＝1，然后利用两角差的余弦公式结合已知条件，构建创造运用极化恒等式的条件，运用极化恒等式解决问题．
1．已知平面向量a ，b ，c 满足|a |＝1，a ·b ＝1
2，a ·c ＝2，|2b －c |＝2，那么b ·c
的最小值为________．
58 解析：由a ·b ＝1
2
，a ·c ＝2，得2a ·b ＋a ·c ＝3， 即a ·(2b ＋c )＝3，又a ·(2b ＋c )＝|a ||2b ＋c |cos θ(其中θ为向量a 与2b ＋c 的夹角)．
所以|2b ＋c |＝3cos θ
，
所以b ·c ＝18[(2b ＋c )2－(2b －c )2
]＝18⎝ ⎛⎭⎪⎫9cos 2θ≥58
．
2．如图，矩形ABCD 的边AB ＝4，AD ＝2，以点C 为圆心，CB 长为半径的圆与CD 交于点E ．若点P 是圆弧EB ︵ (含端点B ，E )上的一点，则PA →·PB →
的取值范围是________．
[8－82，0] 解析：取AB 的中点设为O ，则PA →·PB →＝|PO →|2－14
|AB →|2＝|PO →|2
－4，当O ，
P ，C 共线时，PO 取得最小值为PO ＝22－2；当P 与B (或E )重合时，PO 取得最大值为PO
＝2，所以PA →·PB →
的取值范围是[8－82，0]．。