辽宁省葫芦岛市一中2019-2020学年高二下学期拓展训练数学试卷Word版含答案

辽宁省葫芦岛市一中2019-2020学年下学期拓展训练
高二数学试卷
一.选择题：（每题只有一个选项是正确的）
1、 曲线12-=x y 与31x y +=在x =0x 处的切线互相垂直，则0x 等于（ ）
A.6363
B. –6363
C.32
D. 32或0
2、 设n n n n a x a x a x a x f ++++=--1110)(Λ (n ∈N*)，则)0('f =（ ） A ． n a B ．1-n a C ．0a D ．0 3.已知函数
则
（ ）
A. -2
B. 2
C.a 0
D. 0
4.已知
定义域是R ，
对任意的
,则不等式的解集是
B.
C.
D.
5..与定积分相等的是 （ ）
B.
C.
D. 以上结论都不对
6. 如图所示，曲线y ＝x 2
－1，x ＝2，x ＝0，y ＝0围成的阴影部分的面积为( ) A ．ʃ2
0|x 2
－1|d x B ．|ʃ2
0(x 2
－1)d x |
C ．ʃ2
0(x 2
－1)d x D ．ʃ1
0(x 2
－1)d x ＋ʃ2
1(1－x 2
)d x 7..若不等式对
恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）
A.
B . (-∞,4] C.
D. [4,+∞)
8.函数的定义域为R ，=2.对任意的解集为（ ）
A. (-1,1)
B.
C.(-∞,-1)
D. (-∞,+∞)
9..若 函数f (x )＝log a (x 3
－ax )(a >0，a ≠1)在区间(－12
，0)内单调递增，则a 的取值范围是( )
A.[1
4
，1) B．[
3
4
，1) C．(
9
4
，＋∞) D．(1，
9
4
)
10..若函数，下列结论中错误的是（）
A.x0∈R,f(x0)=0
B.函数f(x)的图象是中心对称图形;
C.若x0是f(x)的极小值点,则f(x)在区间(-∞,x0)上单调递减;
D.若x0是f(x)的极值点,则f(x0)=0;
11.若函数有极值点,且=,则关于x的方程+2a的不同实根个数是（）
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
12.若点在函数的图像上，点在函数的图像上，的最小值为（）
A. B. 2 C. D. 8
二．填空题：
13．已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为________．
14.已知P,Q是抛物线上的两点，点P, Q的横坐标分别为4，-2，过P,Q分别作抛物线的切线,两切线交于点A，则点A的纵坐标为
15.已知函数的导数若在处取得极大值，则a的取值范围是
16. 已知函数f(x)＝mx3＋nx2的图象在点(－1,2)处的切线恰好与直线3x＋y＝0平行，若f(x)在区间[t，t ＋1]上单调递减，则实数t的取值范围是__________．
三．解答题
17．已知函数f(x)＝x
4
＋
a
x
－ln x－
3
2
，其中a∈R，且曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝
1
2
x.
(1)求a的值；
(2)求函数f(x)的单调区间与极值．
18. 已知函数f(x)＝ln x＋2a
x
，a∈R.
(1)若函数f(x)在[2，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围；
(2)若函数f(x)在[1，e]上的最小值为3，求实数a的值
19. 已知函数f(x)＝x2
8
－ln x，x∈[1,3]．
(1)求f(x)的最大值与最小值；
(2)若f(x)<4－at对任意的x∈[1,3]，t∈[0,2]恒成立，求实数a的取值范围；
20. 已知函数f(x)＝2x3－3x.
(1)求f(x)在区间[－2,1]上的最大值；
(2)若过点P(1，t)存在3条直线与曲线y＝f(x)相切，求t的取值范围；
21. 已知f(x)＝x2＋3x＋1，g(x)＝a－1
x－1
＋x.
(1)a＝2时，求y＝f(x)和y＝g(x)图象的公共点个数；
(2)a为何值时，y＝f(x)和y＝g(x)的公共点个数恰为两个
22.设函数f (x )＝a e x
(x ＋1)(其中，e ＝2.718 28……)，g (x )＝x 2
＋bx ＋2，已知它们在x ＝0处有相同的切线．
(1)求函数f (x )，g (x )的解析式；
(2)求函数f (x )在[t ，t ＋1](t >－3)上的最小值；
(3)若对∀x ≥－2，kf (x )≥g (x )恒成立，求实数k 的取值范围．
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高二数学试卷答案
BBCAB ABBBC AD
13 2 14 -4 15 16
17. 解 (1)对f (x )求导得f ′(x )＝14－a x 2－1
x
，
由f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x 知f ′(1)＝－34－a ＝－2，解得a ＝5
4.
(2)由(1)知f (x )＝x
4＋54x －ln x －32，则f ′(x )＝x 2
－4x －5
4x 2
. 令f ′(x )＝0，解得x ＝－1或x ＝5.
因为x ＝－1不在f (x )的定义域(0，＋∞)内，故舍去． 当x ∈(0,5)时，f ′(x )<0，故f (x )在(0,5)内为减函数； 当x ∈(5，＋∞)时，f ′(x )>0， 故f (x )在(5，＋∞)内为增函数．
由此知函数f (x )在x ＝5时取得极小值f (5)＝－ln 5. 18. 解 (1)∵f (x )＝ln x ＋
2a
x
，∴f ′(x )＝1x －2a x 2.∵f (x )在[2，＋∞)上是增函数，∴f ′(x )＝1x －2a
x
2≥0
在[2，＋∞)上恒成立，即a ≤x 2在[2，＋∞)上恒成立．令g (x )＝x
2，则a ≤[g (x )]min ，x ∈[2，＋∞)，
∵g (x )＝x
2在[2，＋∞)上是增函数，∴[g (x )]min ＝g (2)＝1.∴a ≤1.所以实数a 的取值范围为(－∞，1]．
(2)由(1)得f ′(x )＝
x －2a
x 2
，x ∈[1，e]．
①若2a <1，则x －2a >0，即f ′(x )>0在[1，e]上恒成立，
此时f (x )在[1，e]上是增函数．所以[f (x )]min ＝f (1)＝2a ＝3，解得a ＝3
2(舍去)．
②若1≤2a ≤e ，令f ′(x )＝0，得x ＝2a .当1<x <2a 时，f ′(x )<0，
所以f (x )在(1,2a )上是减函数，当2a <x <e 时，f ′(x )>0，所以f (x )在(2a ，e)上是增函数． 所以[f (x )]min ＝f (2a )＝ln(2a )＋1＝3，解得a ＝e
2
2
(舍去)．
③若2a >e ，则x －2a <0，即f ′(x )<0在[1，e]上恒成立，此时f (x )在[1，e]上是减函数． 所以[f (x )]min ＝f (e)＝1＋
2a
e
＝3，得a ＝e.适合题意．综上a ＝e. 19. 解 (1)∵函数f (x )＝x 2
8－ln x ，∴f ′(x )＝x 4－1
x
，令f ′(x )＝0得x ＝±2，
∵x ∈[1,3]，当1<x <2时，f ′(x )<0；当2<x <3时，f ′(x ) >0；∴f (x )在(1,2)上是单调减函数， 在(2,3)上是单调增函数，∴f (x )在x ＝2处取得极小值f (2)＝12－ln 2；又f (1)＝18，f (3)＝9
8－ln 3，
∵ln 3>1，∴18－(9
8－ln 3)＝ln 3－1>0，∴f (1)>f (3)，
∴x ＝1时f (x )的最大值为18，x ＝2时函数取得最小值为1
2
－ln 2.
(2)由(1)知当x ∈[1,3]时，f (x )≤1
8，故对任意x ∈[1,3]，f (x )<4－at 恒成立，
只要4－at >18对任意t ∈[0,2]恒成立，即at <31
8
恒成立，记g (t )＝at ，t ∈[0,2]．
∴⎩⎪⎨⎪⎧
g
0<31
8g
2<
318
，解得a <
3116
， ∴实数a 的取值范围是(－∞，
31
16
)． 20. 解 (1)由f (x )＝2x 3
－3x 得f ′(x )＝6x 2
－3. 令f ′(x )＝0，得x ＝－
22或x ＝22
. 因为f (－2)＝－10，f ⎝
⎛⎭⎪⎫－
22＝2，f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
22＝－2，f (1)＝－1， 所以f (x )在区间[－2,1]上的最大值为f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－
22＝ 2. (2)设过点P (1，t )的直线与曲线y ＝f (x )相切于点(x 0，y 0)， 则y 0＝2x 3
0－3x 0，且切线斜率为k ＝6x 2
0－3，
所以切线方程为y －y 0＝(6x 2
0－3)(x －x 0)， 因此t －y 0＝(6x 2
0－3)(1－x 0)， 整理得4x 3
0－6x 20＋t ＋3＝0. 设g (x )＝4x 3
－6x 2
＋t ＋3，
则“过点P (1，t )存在3条直线与曲线y ＝f (x )相切”等价于“g (x )有3个不同的零点”．
g ′(x )＝12x 2－12x ＝12x (x －1)．
当x 变化时，g (x )与g ′(x )的变化情况如下：
x (－∞，0) 0 (0,1) 1 (1，＋∞) g ′(x ) ＋
－
＋ g (x )
t ＋3
t ＋1
所以，g (0)＝t ＋3是g (x )的极大值，
g (1)＝t ＋1是g (x )的极小值．
当过点P (1，t )存在3条直线与曲线y ＝f (x )相切时，t 的取值范围是(－3，－1)．
21. 解 (1)当a ＝2时，联立⎩⎪⎨
⎪⎧
y ＝f x ，y ＝g
x ，
得x 2
＋3x ＋1＝
1
x －1
＋x ， 整理得x 3
＋x 2
－x －2＝0(x ≠1)，即联立
⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝0，y ＝x 3＋x 2
－x －2x ≠1，
求导得y ′＝3x 2
＋2x －1＝0得x 1＝－1，x 2＝13
，
得到极值点分别在－1和1
3处，且极大值、极小值都是负值，图象如图，
故交点只有一个．
(2)联立⎩⎪⎨
⎪⎧
y ＝f
x ，y ＝g
x ，
得x 2
＋3x ＋1＝
a －1
x －1
＋x ， 整理得a ＝x 3
＋x 2
－x (x ≠1)，
即联立⎩
⎪⎨
⎪⎧
y ＝a ，
y ＝h x ＝x 3
＋x 2
－x
x ≠1，
对h (x )求导可以得到极值点分别在－1和1
3
处，画出草图如
图．
h (－1)＝1，h (13)＝－527
，
当a ＝h (－1)＝1时，y ＝a 与y ＝h (x )仅有一个公共点(因为(1,1)点不在y ＝h (x )曲线上)，
故a ＝－5
27
时恰有两个公共点．
22. 解 (1)f ′(x )＝a e x
(x ＋2)，g ′(x )＝2x ＋b . 由题意，得两函数在x ＝0处有相同的切线． ∴f ′(0)＝2a ，g ′(0)＝b ，
∴2a ＝b ，f (0)＝a ，g (0)＝2，∴a ＝2，b ＝4，∴f (x )＝2e x (x ＋1)，g (x )＝x 2
＋4x ＋2. (2)f ′(x )＝2e x
(x ＋2)，由f ′(x )>0得x >－2，由f ′(x )<0得x <－2，
∴f (x )在(－2，＋∞)单调递增，在(－∞，－2)单调递减．∵t >－3，∴t ＋1>－2.
①当－3<t <－2时，f (x )在[t ，－2]单调递减，在[－2，t ＋1]单调递增，∴f (x )min ＝f (－2)＝－2e －2
. ②当t ≥－2时，f (x )在[t ，t ＋1]单调递增，
∴f (x )min ＝f (t )＝2e t
(t ＋1)；∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
－2e －2
－3<t <－22e t
t ＋1
t ≥－2
(3)令F (x )＝kf (x )－g (x )＝2k e x
(x ＋1)－x 2
－4x －2，由题意当x ≥－2时，F (x )min ≥0. ∵∀x ≥－2，kf (x )≥g (x )恒成立，∴F (0)＝2k －2≥0，∴k ≥1.
F ′(x )＝2k e x (x ＋1)＋2k e x －2x －4＝2(x ＋2)(k e x －1)，
∵x ≥－2，由F ′(x )>0得e x >1
k ，∴x >ln 1k
；
由F ′(x )<0得x <ln 1k ，∴F (x )在(－∞，ln 1k )单调递减，在[ln 1
k
，＋∞)单调递增．
①当ln 1
k
<－2，
即k >e 2
时，F (x )在[－2，＋∞)单调递增，
F (x )min ＝F (－2)＝－2k e －2＋2＝2e
2(e 2－k )<0，
不满足F (x )min ≥0.
当ln 1k ＝－2，即k ＝e 2
时，由①知，F (x )min ＝F (－2)＝2e 2(e 2－k )＝0，满足F (x )min ≥0.
③当ln 1k >－2，即1≤k <e 2
时，F (x )在[－2，ln 1k )单调递减，在[ln 1k
，＋∞)单调递增．
F (x )min ＝F (ln 1
k
)＝ln k (2－ln k )>0，
满足F (x )min ≥0.
综上所述，满足题意的k 的取值范围为[1，e 2
]．。