2018学年高中数学选修2-2课件：第1章 导数及其应用1.7.1 精品

为(x0，x
2 0
)，则切线方程为y＝2x0x－x
2 0
，
可得切线与x轴的交点坐标为 x20，0 .画
出草图，可得曲线y＝x2，直线y＝2x0x－ x20与x轴所围图形如图所示．
故 S＝S1＋S2
， 解得 x0＝1，所以切点坐标为 A(1,1)， 所求切线方程为 y＝2x－1.
本题综合考查了导数的意义以及定积分等知 识，运用待定系数法，先设出切点的坐标，利用导数的几何意 义，建立了切线方程，然后利用定积分以及平面几何的性质求 出所围成的平面图形的面积，根据条件建立方程求解，从而使 问题得以解决．
2cos xdx
＝12x2＋2x| 0－2＋2sin x| ＝0－12×－22＋2×－2＋2sin π2－2sin 0 ＝2＋2＝4.
用定积分求平面图形的面积
一般地，设由曲线 y＝f(x)，y＝g(x)以及直线 x＝a，x＝b 所
b
围成的平面图形(如图所示)的面积为 S，则 S＝__a_[_f(_x_)－__g_(_x_)_]d_x_.
1．7 定积分的简单应用 1.7.1 定积分在几何中的应用
自主学习 新知突破
1．理解定积分的几何意义． 2．会通过定积分求由两条或多条曲线围成的平面图形的 面积．
[问题1] 不用计算，根据图形，你能比较下列定积分的大 小吗？
1
1
(1)0xdx________0x2dx(如图(1))；
1
2
(2) xdx________ xdx(如图(2))；
4．计算曲线y＝x2－2x＋3与直线y＝x＋3所围成图形的面 积．
解析： 由yy＝＝xx2＋－32，x＋3， 解得 x＝0 或 x＝3.如图．
从而所求图形的面积
3
3
S＝0(x＋3)dx－0(x2－2x＋3)dx
3
＝0[(x＋3)－(x2－2x＋3)]dx
3
＝
(－x2＋3x)dx
0
＝－13x3＋32x2| 30＝92.
S2＝10－k(x－x2－kx)dx ＝1－2 kx2－13x3| 10－k＝16(1－k)3. 又知S＝16，所以(1－k)3＝12，
于是k＝1－ 3 12＝1－324.
◎计算由曲线y＝x2＋2x(x≥－1)与直线x＝－1，x＝1及x轴 所围图形的面积．
【错解】
1
S＝ －1
(x2＋2x)dx＝13x3＋x2|
10＋32x2－13x3－2x|
2 1
＝56＋16＝1.
定积分的综合应用
在曲线y＝x2(x≥0)上某一点A处作一切线使之与曲 线以及x轴所围成的面积为112，试求：
切点A的坐标以及在切点A的切线方程．
[思路点拨] 设切点坐标 → 切线方程 → 利用定积分求面积 → 求切点 → 得切线方程
解析： 由题意可设切点A的坐标
2．几种典型图形的面积的计算
由一条曲线 y＝f(x)和直线 x＝a，x＝b，y＝0(b>a)所围图形
的面积
b
b
①如图(1)所示，f(x)>0，af(x)dx>0，所以所求面积 S＝af(x)dx.
b
b
②如图(2)所示，f(x)<0，af(x)dx<0，所以所求面积 S＝－a
f(x)dx.
c
③如图(3)所示，当a≤x≤c时，f(x)≥0，
0
1
2
2
(3) 4－x2dx________ 2dx(如图(3))．
0
0
[提示1] 能．(1)> (2)< (3)<
x＋2，－2≤x<0，
[问题2]
你能求出函数f(x)＝ 2cos
x，0≤x≤π2
的图象
与x轴所围成的封闭图形的面积吗．
[提示2] 能．画出函数f(x)的图象如图．
0
S＝ (x＋2)dx＋ －2
为( )
A．145
B．147
C．12ln 2
D．2ln 2
解析： 如图，由图可知
＝ln 2－ln
1 2
＝ln 2－(－ln 2)＝2ln 2.
答案： D
3．由直线 x＝－π3，x＝π3，y＝0 与曲线 y＝cos x 所围成的 封闭图形的面积为________．
解析： 所求图形的面积是
答案： 3
2．注意事项： (1)准确地画图，并合理分割图形； (2)被积函数与积分上、下限要对应； (3)当面积在x轴的下方时，面积是定积分的相反数．
1．计算由曲线y2＝x，y＝x3围成的封闭图形的面积． 解析： 首先画出草图，如图．所求面积为图中阴影部分 的面积．
解方程组yy2＝＝xx3，， 得交点的横坐标为 x＝0 或 x＝1.
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不分割图形面积的求解
求正弦曲线y＝sin x，x∈0，32π和直线x＝32π及x轴 所围成的平面图形的面积．
[思路点拨] 作图 ―→ 积分表达式 定 的―积 性 ―→分 质 分解 ―→ 求值
1.用定积分求“曲边图形”面积的步骤： (1)先画出草图，确定所求面积是哪部分； (2)解方程组得到交点的坐标，确定被积函数以及积分的 上、下限； (3)把所求的面积用定积分表示； (4)根据微积分基本定理求出面积．
解出抛物线和直线的交
点为(2,2)及(8，－4)．
方法一：选 x 作为积分变量，由图可看出 S＝S1＋S2，
由于抛物线在 x 轴上方的方程为 y＝ 2x，
在 x 轴下方的方程为 y＝－ 2x，
2
所以 S1＝0 [ 2x－(－ 2x)]dx
＝2
2 1
20x2 dx＝2
2×23x32
|
2 0
＝136，
解由曲线所围的平面图形面积的解题步骤：
1．画草图，求出曲线的_交__点__坐__标___． 2．将曲边形面积转化为_曲__边__梯__形__的___面积． 3．根据图形特点选择适当的__积__分__变__量__． 4．确定_被__积__函__数___和__积__分__区__间__． 5．计算定积分，求出面积．
1
因此，所求图形的面积 S＝0
xdx－01x3dx＝23x32|
10－14x4|
1 0
＝23－14＝152.
分割图形面积的求解

求抛物线y2＝2x与直线y＝4－x围成的平面图形的 面积．
[思路点拨] 可先求出曲线与直线交点的横坐标，确定积 分区间，然后分段利用公式求解．
由方程组
y2＝2x y＝4－x
a
f(x)dx≥0；当
b
c≤x≤b时，f(x)≤0，cf(x)dx≤0，
所以所求面积S＝caf(x)dx＋bcfxdx＝caf(x)dx－cbf(x)dx.
1．由曲线 y＝x2－1，直线 x＝0，x＝2 和 x 轴围成的封闭
图形的面积(如图)是( )
2
A．0 (x2－1)dx
2
B．|0 (x2－1)dx|
2
C．0|x2－1|dx
1
D．0(x2－1)dx＋21(x2－1)dx
解析： 分为两块，(0,1)为一块此时积分值为负，(1,2)对
应另一块，积分值为正，
1
2
2
∴有－ 0
(x2－1)dx＋1
(x2－1)dx＝0|x2－1|dx.
答案： C
2．由直线 x＝12，x＝2，曲线 y＝1x及 x 轴所围图形的面积
2．计算由曲线y＝x2＋2与直线y＝3x，x＝0，x＝2所围图 形的面积．
解析： 如图，由yy＝ ＝x32x＋，2， 可得yx＝＝31， 或yx＝＝62.，
所以曲线y＝x2＋2与直线y＝3x的交点坐标为(1,3)，(2,6)．
1
2
所以S＝0 (x2＋2－3x)dx＋1 (3x－x2－2)dx
＝13x3＋2x－32x2|
8
S2＝2 [4－x－(－ 2x)]dx
＝4x－12x2＋2
3
2x32|
8 2
＝338，
于是 S＝136＋338＝18.
方法二：选y作为积分变量，
将曲线方程写为x＝y22及x＝4－y.
则S＝2－44－y－y22dy
＝4y－y22－y63|
2 －4
＝18.
由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的 图形，在不同的区段内位于上方和下方的函数有所变化，通过 解方程组求出曲线的不同的交点坐标，可以将积分区间进行细 化分段，然后根据图象对各个区段分别求面积进而求和，在每 个区段上被积函数均是由上减下；若积分变量选取x运算较为 复杂，可以选y为积分变量，同时更改积分的上下限．
1．利用定积分求解平面图形的面积的技巧 由两条曲线 y＝f(x)，y＝g(x)和直线 x＝a，x＝b(b>a)所围图 形的面积
b
①如图(1)所示，f(x)>g(x)>0，所以所求面积 S＝a[f(x)－ g(x)]dx.
b
②如图(2)所示，f(x)>0，g(x)<0，所以所求面积 S＝af(x)dx ＋bagxdx＝ba[f(x)－g(x)]dx.
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1 －1
＝13＋1－－13＋1＝23.
【错因】 本题错解的原因是没有正确理解定积分的几何 意义，因为曲线y＝x2＋2x(x≥－1)与直线x＝－1及x轴所围图形 在x轴的下方，面积取负号，因此错解所求的是面积的代数 和，而非面积的和．
【正解】
0
S＝－－1
1
(x2＋2x)dx＋0
(x2＋2x)dx
＝－13x3＋x2| 0－1＋13x3＋x2| 10＝23＋43＝2.
3．如图所示，直线y＝kx分抛物线y＝x－x2与x轴所围图形 为面积相等的两部分，求k的值．
解析： 抛物线y＝x－x2与x轴两交点的横坐标为x1＝0， x2＝1，
所以，抛物线与x轴所围图形的面积 S＝10(x－x2)dx＝x22－13x3| 10＝16. 又yy＝ ＝xkx－，x2，
由此可得，抛物线y＝x－x2与y＝kx两交点的横坐标为x3＝ 0，x4＝1－k，所以，