2020年河北省保定市南庄中学高三数学文模拟试题含解析

2020年河北省保定市南庄中学高三数学文模拟试题含
解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知集合，则集合B不可能是( )
A． B．
C． D．
参考答案：
D
，，故选D
知识点：集合间的关系难度：1
2. （5分）设i是虚数单位，若复数a﹣（a∈R）是纯虚数，则a的值为（） A．﹣3 B．﹣1 C． 1 D． 3
参考答案：
D
【考点】：复数的基本概念．
【专题】：计算题．
【分析】：利用复数的运算法则把a﹣（a∈R）可以化为（a﹣3）﹣i，再利用纯虚数的定义即可得到a．
解：∵=（a﹣3）﹣i是纯虚数，
∴a﹣3=0，解得a=3．
故选D．
【点评】：熟练掌握复数的运算法则和纯虚数的定义是解题的关键．
3. 已知函数的图象如图所示则函数的图象是（）
参考答案：
A
由函数的两个根为，图象可知。

所以根据指数函数的图象可知选A.
4. 已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，x∈[－2，2]表示的曲线过原点，且在x＝±1
处的切线斜率均为－1，给出以下结论：①f(x)的解析式为f(x)＝x3－4x，x∈
[－2，2]；②f(x)的极值点有且仅有一个；③f(x)的最大值与最小值之和等于
0．其中正确的结论有
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
参考答案：
C
C函数图像过原点，则c＝0，又f′(x)＝3x2＋2ax＋b，由f′(±1)＝－1，解得a＝0，b＝－4，因此①正确；对于②，f′(x)＝0在[－2,2]上有两个不相等的实数根，因此错误；又函数为奇函数，根据奇函数性质可知③正确．
5. 在三棱锥的六条棱中任选两条，则这两条棱所在直线为异面直线的概率是（）
（A）（B）（C）（D）
参考答案：
B
略
6. 已知定义在上的函数满足：
①；
②对所有，且，有.
若对所有，，则k的最小值为（）
A．B．C．D．
参考答案：
B
7. 已知函数是定义在上的偶函数，为奇函数，，当时，
log2x，则在内满足方程的实数为
A． B． C．
D．
参考答案：
C
8. 设,,且,,,则x、y、z的大小关系是（）
A．B．C．D．
参考答案：
A
9. 已知函数，若
，则的最小值为（）
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8
参考答案：
A
【分析】
根据，采用倒序相加的方法可得，从而得到，根据基本不等式求得最小值.
【详解】由题可知：
令
又
于是有
因此
所以
当且仅当时取等号
本题正确选项：
【点睛】本题考查倒序相加法求和、利用基本不等式求解和的最小值问题.关键是能够通过函数的规律求得与的和，从而能够构造出基本不等式的形式.
10. 运行如图所示的程序框图，输出i和S的值分别为（）
A．2，15 B．2，7 C．3，15 D．3，7
参考答案：
C
【考点】EF：程序框图．
【分析】根据程序框图，依次进行运行，直到满足条件即可得到结论．
【解答】解：模拟循环，r=1，不满足条件，n=2，
r=2，满足条件，i=2，S=2，n=3，
r=0，不满足条件，n=4，
r=1，不满足条件，n=5，
r=2，满足条件，i=2，S=7，n=6，
r=0，不满足条件，n=7，
r=1，不满足条件，n=8，
r=2，满足条件，i=3，S=15，n=9，
r=0，不满足条件，n=10，退出循环，输出i=3，S=15，
故选：C．
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知，其中i为虚数单位，则=____________.参考答案：
5
略
12. 若x，y满足约束条件则的最小值为__________．
参考答案：
2
【分析】
先由约束条件作出可行域，再由目标函数可化，因此当直线在轴上截距最小时，取最小，结合图像即可求出结果.
【详解】由约束条件作出可行域如下：
因为目标函数可化为，
因此当直线在轴上截距最小时，取最小.
由图像易得，当直线过点时，在轴上截距最小，
即.
故答案为2
【点睛】本题主要考查简单的线性规划，只需由约束条件作出可行域，分析目标函数的几何意义，结合图像即可求解，属于常考题型.
13. 已知，则= .
参考答案：
14. 已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________.
参考答案：
略
15. 函数的定义域为
参考答案：
16. 设定义在R上的函数同时满足以下条件；
①；②；③当时，.
则_______.
参考答案：
由得，所以函数为奇函数.由，可知函数的周期为2，所以，，
，由②知，所以，所以
.
17. 已知Ω1是集合{（x，y）|x2+y2≤1}所表示的区域，Ω2是集合{（x，y）|y≤|x|}所表示的区域，向区域Ω1内随机的投一个点，则该点落在区域Ω2内的概率为．
参考答案：
【考点】几何概型．
【分析】以面积为测度，求出相应区域的面积，可得结论．
【解答】解：不等式x2+y2≤1表示的平面区域为Ω1，面积为π；
Ω2是集合{（x，y）|y≤|x|}所表示的区域，对应的面积为π，
∴所求概率为，
故答案为．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 数列
（1）求的通项公式；
（2）若，试问是否存在正整数k，使得对于任意的正整数n，都有成立？证明你的结论。

参考答案：
19. 如图，在直角梯形中，，，且，，分别为线段，的中点，沿把折起，使，得到如下的立体图形.
（1）证明：平面平面；
（2）若，求二面角的余弦值.
参考答案：
（1）证明：由题可得，则，
又，且，所以平面.
因为平面，所以平面平面.
（2）解：（方法一）过点作交于点，连接，则平面，.
又，，所以平面，.
易得，则，得.
以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.
则，，，，. 故，，，
.
设是平面的法向量，则
令，得.
设是平面的法向量，则
令，得.
因为，所以二面角的余弦值为.
（方法二）依题意可得平面，.
即平面，所以平面平面.
取的中点，的中点，连接，，，
因为，所以.
又平面平面，所以平面.
因为，且，，且，
所以，即四边形是平行四边形.
所以.从而平面.所以.
作交于点，连接，因为，，所以平面.所以，所以是二面角的平面角.
过点作交于点，连接，则平面，. 又，，所以平面，.
易证，则，得.
易得，，，
在中，，则.
由，得.
所以.则.
所以二面角的余弦值为.
20. （本题满分13分）已知函数．
（Ⅰ）若在区间上单调递减，在区间上单调递增，求实数的值；
（Ⅱ）求正整数，使得在区间上为单调函数．
参考答案：
解：（Ⅰ）………………………………2分
因为在上单调递减，
在上单调递增，所以.……………………4分
所以．……………………………5分
（Ⅱ）令.
得．……………………7分
当是正整数时，．
在区间上为单调函数．
只需，且，……………………………9分
即，且，
所以.……………………12分
由已知a为正整数，得.……………………13分
21. 某花卉种植研究基地对一种植物A在室内进行分批培植实验，以便推广种植.现按4种
温度分批进行试验（除温度外，其它生长环境相同，且温度控制在5℃以上），且每批种植总株数均为50.试验后得到下表的统计图：
(1)请在答题卡上所给的坐标系中画出关于的散点图，并估计环境温度在8℃时，推广种植植物A死亡的概率；
(2)请根据散点图，判断与哪个回归模型适合作为与回归方程类型（不需说明理由），并根据你的选择求出回归方程（结果精确到0.001）
(3)若植物A投入推广种植中，要求每50株中死亡的株数不超过14株，那么种植最高温度应控制为多少（结果保留整数）
参考数据：
附回归直线方程中斜率与截距的最小二乘估计分别是：
温度
(1)见解析；(2) (3)
【分析】
（1）根据题中数据描点，即可得出散点图；由频率估计概率，即可得出环境温度在
时，推广种植植物死亡的概率；
（2）根据题中数据得到，，即可得出结果；
（3）根据（2）中结果，得到，求解即可得出结果.
【详解】解：（1）散点图如下
温度在实际种植时植物A死亡的概率为：
.
（2）适合作为与的回归方程类型.
因为，
，
所以回归直线方程为：.
（3）由得，
故种植最高温度应控制在.
【点睛】本题主要考查散点图、线性回归方程，熟记最小二乘法求，的估计值即可，属于常考题型.
22. (12分) 如图，椭圆 ()的离心率，短轴的两个端点分别
为B1、B2，焦点为F1、F2，四边形F1 B1F2 B2的内切圆半径为
(1) 求椭圆C的方程；
(2) 过左焦点F1的直线交椭圆于M、N两点，
交直线于点P，设，
，试证为定值，并求出此定值．
参考答案：。