山西省榆社中学高一数学下学期期中试题

榆社中学高一年级第二学期期中考试
高一数学试题
注意事项:
1．答题前，考生务必用蓝、黑色墨水笔或圆珠笔将学校名称、姓名、考号填写在答题卡上。

2．请把所有答案做在答题卡上，交卷时只交答题卡，不交试题，答案写在试题上无效。

3．满分100分，考试时间120分钟。

一．选择题(本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.已知(2,1),(,1)a b m ==-r r
，//a b r r ，则m =（ ）
A ．
12 B ．1
2
- C ．2 D ．-2 2.已知2
sin 3
α=，则cos(2)πα+等于（ ）
A ．19
B ．19-
C ．59
D ．59
-
3．将sin 2y x =的图象向左平移4
π
个单位,再向上平移1个单位,所得图象函数解析式是（ ）
A.cos 2y x =
B.2
2cos y x = C.)4
2sin(1π
++=x y D.22sin y x =
4．函数2cos 1y x =
+的定义域是 （ ） A ．2,2()33k k k Z π
πππ-
+
∈⎡⎤⎢⎥⎣
⎦ B ．2,2()66k k k Z ππππ-+∈⎡⎤⎢⎥⎣
⎦ C ．22,2()3
3k k k Z π
πππ+
+
∈⎡
⎤⎢⎥⎣
⎦
D ．222,2()3
3k k k Z ππππ-
+
∈⎡⎤
⎢⎥⎣
⎦
5．函数)sin(ϕω+=x A y 在一个周期内的图象如图，此函数的解析式为 （ ）
A ．)3
22sin(2π
+=x y
B ．)3
2sin(2π
+=x y
C ．)3
2sin(
2π
-=x y
D ．)3
2sin(2π
-
=x y
6.已知sinx+cosx=5
1
且x ∈(0,π),则tanx 值 ( ) A.-
34 B.-43 C.-34或-43 D.3
4 7.设αtan 、βtan 是方程04332
=++x x 的两根，且⎪⎭
⎫
⎝⎛-∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈2,2,2,2ππβππα，则βα+的值为（ ）
A ．3
2π-
B.
3
π C ．
323ππ
-
或 D ．3
23ππ或-
8．已知i 与j 为互相垂直的单位向量，向量j i a 2-=，向量j i b λ+=且向量a 与向量b
的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是（ ）
A.(－∞，－2)∪(－2，12)
B.(1
2，＋∞)
C.(－2，23)∪(23，＋∞) D .(－∞，1
2
)
9．已知向量(cos ,sin )a θθ=r ,向量(3,1)b =-r ,则|2|a b -r r
的最大值、最小值分别是（ ）
A.0,24
B.24,4
C.0,16
D.0,4 10．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A>0，ω>0)的部分图象如图所示，下列结论： ①最小正周期为π； ②将f(x)的图象向左平移6
π
个单位，所得到的函数是偶函数； ③f(0)＝1；
④f(
1211π)<f(1413
π
)； ⑤f(x)＝－f(53
π
－x)．
其中正确的是( )
A ．①②③
B ．②③④
C ．①④⑤
D ．②③⑤
二．填空题(本大题共8小题，每小题3分，共24分，把答案填在答题卡的相应位置上)
11. 设平面向量)5,3(=a ρ
，)1,2(-=b ρ，则b a ρρ2-=
12.设θ的终边过点()3,4-P ,那么=+θθcos sin 3
13.βα、均为锐角，5
4
cos ,135sin ==
βα，则=+)sin(βα
14．已知向量(3,2),(2,1)a b ==-r r ，则向量a r
在向量b r 方向上的投影为
15．已知0<
<，sin 2cos αα-=，则22
2sin sin cos cos αααα-+的值为
16．函数2
2()2cos 2sin 1,,63f x x x x ππ⎡⎤
=+-∈-⎢⎥⎣
⎦的值域为 。

17．已知函数)6
2sin()(π
+
=x x f ．
若)2
0)((π
ϕϕ<<-=x f y 是偶函数，
则=ϕ ． 18．设向量)2cos 3,2(2αλλ-+=，向量)cos sin 2
,(αα+=m
m a ，其中,,m λα为实数．若向量2=，则
m
λ
的取值范围为 .
三．解答题(本大题共5小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答题卡的相应位置上) 19．（本小题满分8分） 已知1413)cos(,71cos =-=
βαα，且2
0π
αβ<<<，求β. 20．（本小题满分8分）已知向量→
→
→
→
→
→
==b a b a b a 、且满足、
,4,1:的夹角为060. （1）求⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-→
→•→→b a b a 2 ； （2）若⎪⎭
⎫
⎝⎛-⊥⎪⎭⎫ ⎝⎛+→→→→b a b a 2λ，求λ的值.
21．（本小题满分10分）
已知向量a ＝)cos ,sin 2(x x ，)cos 2,cos 3(x x =定义函数f (x )＝a ·b －1. (1)求函数f (x )的最小正周期；
(2)求函数f (x )的单调递减区间． 22．（本小题满分10分）
已知非零向量b a ,1=a ,且4
3
)()(=+⋅-. (1)b 当4
1
-=⋅时,求向量与2+的夹角θ的值. 23.（本小题满分10分）
函数()sin()(0,0,||)2
f x A x A ωφωφπ
=+>><
部分图象如图所示．
（Ⅰ）求()f x 的最小正周期及解析式；
（Ⅱ）设()()cos 2g x f x x =-，求函数()g x 在区间[0,]2
x π∈上的最大值和最小值．
榆社中学高一年级第二学期期中考试
高一数学试题答案
一．选择题(本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1-5. DBBDA 6-10. ACADC
二．填空题(本大题共8小题，每小题3分，共24分，把答案填在答题卡的相应位置上)
11. （7，3） 12.1 13．
65
56
优高1414.5-
15.
115 16. 13,22⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
17. 3π 18. [－6,1]
三．解答题(本大题共5小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答题卡的相应位置上)
19．（本题满分8分）解 由0<β<α<π2，得0<α－β<π
2.
又∵cos(α－β)＝1314，cos α＝1
7
∴sin(α－β)＝1－cos 2
(α－β)＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13142＝
3314
. sin α＝1－cos 2
α＝ 1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫172＝
437 由β＝α－(α－β)，得
cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos α cos(α－β)＋sin α sin(α－β) ＝17×1314＋437×3314＝12，∴β＝π
3
. 20．（本题满分8分）【答案】（1）-12；（2）12λ= 【解析】
试题分析：（1）由题意得1
cos601422
a b a b ⋅=⋅=⨯⨯=o r r r r ，
∴()(
)22
22221612a b a b a a b b -⋅+=+⋅-=+-=-r r r r r r r r
（2）∵()()2a b a b λ+⊥-r r r r ，∴()()20a b a b λ+⋅-=r r r r
，
∴()22
220a a b b λλ+-⋅-=r r r r ，∴()22320λλ+--=，
∴12λ= 21．（本题满分10分）
解 f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2
x －1 ＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. (1)T ＝2π
2
＝π.
(2)令π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π
2＋2k π，
则π6＋k π≤x ≤2π
3
＋k π(k ∈Z)， 即函数f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π6＋k π，2π3＋k π(k ∈Z)．
22. （本小题满分10分）解:(1)因为43)()(=+⋅-,即4
3
22=-,
所以
2
1,4143==-=
(2)
1,11114)2(2
=+=+-=+⋅+=+=+b a b a
又因为 2
12112)2(=-=⋅+=+⋅b a b a a
所以2
1cos =
=
θ， 又001800≤≤θ所以060=θ 23、（本小题满分10分）
【答案】（Ⅰ）()sin(2)6f x x π
=+;（Ⅱ）最大值为1；最小值为12
-
． （Ⅰ）由图可得1A =，22362T
πππ=
-=，根据周期公式可得2ω=，当6
x π=时，()1f x =，可得 sin(2)16ϕπ⋅
+=，因为||2ϕπ<， 所以6
ϕπ
=，即可求出()f x 的解析式.（Ⅱ）对函数()()cos 2sin(2)cos 26g x f x x x x π
=-=+
-，化简可得()sin(2)6
g x x π
=-，因为02x π≤≤
，所以52666x πππ-≤-≤，当262x ππ-=，即3
x π
=时，即可求出()g x 的最大
值；当266
x ππ
-
=-，即0x =时，即可求出()g x 的最小值． 试题解析：解：（Ⅰ）由图可得1A =，22362
T πππ
=-=，所以T =π 所以2ω= 当6x π=
时，()1f x =，可得 sin(2)16ϕπ
⋅+=， 因为||2ϕπ<
， 所以6
ϕπ
= 所以()f x 的解析式为()sin(2)6
f x x π
=+
（Ⅱ）()()cos 2sin(2)cos 26
g x f x x x x π
=-=+
-
sin 2cos cos 2sin cos 266x x x ππ=+-1
2cos 22x x =-
sin(2)6
x π
=-
因为02x π≤≤
，所以52666
x πππ-≤-≤ 当262x ππ-
=，即3x π
=时，()g x 有最大值，最大值为1； 当266x ππ-=-，即0x =时，()g x 有最小值，最小值为1
2
-． .。