2015年高考数学新一轮总复习考点突破课件：10.7正态分布

0.954 4， • 即考试成绩位于区间(80,120]内的概率为0.954 4.
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(2)P(90＜ξ≤110)＝P(100－10＜ξ≤100＋10)＝0.682 6， ∴P(ξ＞110)＝12(1－0.682 6)＝0.158 7， ∴P(ξ≥90)＝0.682 6＋0.158 7＝0.841 3. ∴及格人数为 2 000×0.841 3≈1 683(人)．
班的学生共54人．求这个班在这次数学考试
中及格(不小于90分)的人数和130分以上的人
数．
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【解】 因为 X～N(110,202)，所以 μ＝110，σ＝20.P(110－20 ＜X≤110＋20)＝0.682 6.所以 X＞130 的概率为12(1－0.682 6)＝ 0.158 7. 所以，X＞90 的概率为 0.682 6＋0.158 7＝0.841 3. 所以及格的人数为 54×0.841 3≈45(人)，130 分以上的人数为 54×0.158 7≈9(人)．
第7课时 正态分布(理科)
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• (一)考纲点击 • 利用实际问题的直方图，了解正态分布曲
线的特点及曲线所表示的意义．
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• (度曲线的特点及正态分布的意义的考查． • 2．从考查形式看，多以选择题、填空题为主，
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• ⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确越定小，σ ，曲 线越“瘦高”，表示总体的越分大 布越集中； σ ，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越
分散，如图乙所示．
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• 对点演练
• (1)设随机变量X服从正态分布N(2,9)，若P(X ＞c＋1)＝
难度较低．
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1．正态曲线及性质
(1)正态曲线的定义
函数 φμ，σ(x)＝
，
x∈(－∞，＋∞)，
其中实数 μ 和 σ(σ＞0)为参数，我们
称 φμ，σ(x)的图象(如图)为正态分布密度曲线，简称正态曲线．
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• 对点演练
• 设有一正态总体，它的正态曲线是函数φ(x)的 图象，且
• 题型二 正态分布的概率计算
•
(2014·山东济南三模)随机变量ξ服从
正态分布N(40，σ2)，若P(ξ＜30)＝0.2，则
P(30＜ξ＜50)＝________.
【解析】 如图
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• ∵ξ服从正态分布N(40，σ2)， • P(ξ＜30)＝0.2， • ∴P(ξ＞50)＝0.2. • 故P(30＜ξ＜50)＝1－2×0.2＝0.6. • 【答案】 0.6
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• (2)设A型、B型车辆的数量分别为x，y，则相应 的营运成本为1 600x＋2 400y.依题意，x，y还 需满足x＋y≤21，y≤x＋7，P(X≤36x≤60y)≥p0.
• 由(1)知，p0＝P(X≤900)，故P(X≤36x＋60y)≥p0 等价于36x＋60y≥900.
记作 X～N(μ，σ2)．
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• (2)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值
• ①P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.682 6
；
• ②P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.954 4
；
• ③P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.997 4
.
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• 【思考点评】 知识：本题主要考查正态分布
的基础知识以及利用线性规划解决实际应用问题 等知识．能力：本题将正态分布与线性规划问题 融合为一体，综合考查了分析问题与解决问题的 能力、作图能力、数形结合能力、运算求解能力 等．立意新颖，是一个很好的创新型试题．
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• 【归纳提升】 关于正态总体在某个区间内取
值的概率的求法
• (1)熟记P(μ－σ＜X≤μ＋σ)，P(μ－2σ＜X≤μ＋ 2σ)，
• P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)的值．
• (2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之
间面积为1.
• ①正态曲线关于直线x＝μ对称，从而在关于x ＝μ对称的区间上概率相同．
1 2πσ e
.很显然，当 μ＝0 时，φμ，
σ(x)＝
1 2πσe
是偶函数，关于 y 轴对称；当 μ≠0 时，对
称轴为 x＝μ，所以正态曲线是一个轴对称图形，很多关于正态
分布的概率问题，都是根据其对称性求解．
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• 2．3σ原则 • 通常认为服从正态分布N(μ，σ2)的随机变
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【规范解答】 (1)由于随机变量 X 服从正态分布 N(800,502)， 故有 μ＝800，σ＝50，P(700＜X≤900)＝0.954 4.由正态分布的对 称性，可得 P0＝P(X≤900)＝P(X≤800)＋ P(800＜X≤900)＝12＋12P(700＜X≤900)＝0.977 2.
• P(X＜c－1)，则c等于
()
• A．1
B．2
解• 析：∵C．μ＝32，由正态分布的定义知其函数D图．象4关于 x＝2 对称，
于是c＋1＋2 c－1＝2，∴c＝2.
答案：B
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• (2)(2014·揭阳期末模拟)已知随机变量X服从正 态分布
• N(2，σ2)，P(X≤4)＝0.84，则P(X≤0)等于 ()
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• 创新体验：正态分布的创新问题 • 【典例】 (2013·湖北)假设每天从甲地去乙
地的旅客人数X是服从正态分布N(800,502)的 随机变量．记一天中从甲地去乙地的旅客 人数不超过900的概率为p0. • (1)求p0的值； • (参考数据：若X～N(μ，σ2)，有P(μ－ σ<X≤μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝ 0.954 4，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.997 4)
• 试根据该图象写出其正态曲线函数解析式， 求出总体随机变量的期望和方差．
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【解】 从给出的正态曲线可知，该正态曲线关于直线 x＝20 对
称，最大值是 2
1
，所以 π
μ＝20，
1＝ 2π·σ 2
1
，解得 π
σ＝
2.于是正
态曲线函数解析式是：
f(x)＝21 πe
• 对点演练
• 已知随机变量X服从正态分布N(3,1)，且 P(2≤X≤4)＝0.682 6，则P(X＞4)＝
•( )
• A．0.158 8
B．0.158 7
• C．0.158 6
D．0.158 5
• 答案：B
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1．正态曲线的对称性
正态曲线的函数 φμ，σ(x)＝
• ②P(X＜a)＝1－P(X≥a)，P(X≤μ－a)＝P(X≥μ＋
a)．
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针对训练
2．在正态分布 N0，19中，数值落在(－∞，－1)∪(1，＋∞)内的
概率为( )
A．0.097
B．0.046
C．0.03
D．0.002 6
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•
，则这个正态总体的平均
数与标准差分别是( )
• A．10与8
B．10与2
• C．8与10
D．2与10
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(2)正态曲线的性质： ①曲线位于 x 轴上方 ，与 x 轴不相交； ②曲线是单峰的，它关于直线 x＝μ 对称； ③曲线在 x＝μ 处达到峰值 1 ；
σ 2π ④曲线与 x 轴之间的面积为1 ； ⑤当 σ 一定时，曲线随着μ 的变化而沿 x 轴平移，如图甲所示；
解析：∵μ＝0，σ＝13，∴P(x＜－1 或 x＞1)＝1－P(－1≤x≤1)＝1 －P(μ－3σ≤x≤μ＋3σ)＝1－0.997 4＝0.002 6. 答案：D
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• 题型三 正态分布的应用
•
设在一次数学考试中，某班学生的
分数X服从N(110,202)，且知满分150分，这个
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• (2)某客运公司用A，B两种型号的车辆承担 甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往 返一次．A，B两种车辆的载客量分别为36人 和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1 600元/辆和2 400元/辆．公司拟组建一个不超 过21辆车的客运车队，并要求B型车不多于A 型车7辆．若每天要以不小于p0的概率运完从 甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地 的营运成本最小，那么应配备A型车、B型车 各多少辆？
针对训练 1．设三个正态分布 N1(μ1，σ21)(σ1＞0)、N2(μ2，σ22)(σ2＞0)、N3(μ3，
σ32)(σ3＞0)的密度函数图象如图所示，则 μ1、μ2、μ3 按从小到大 的顺序排列是________；σ1、σ2、σ3 按从小到大的顺序排列是 ________．
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• A．0.16
B．0.32
• C．0.68
D．0.84
• 解析：由正态分布的性质，
• P(X≤0)＝P(X≥4)＝1－P(X≤4)＝1－0.84＝ 0.16.故选A.
• 答案：A
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2．正态分布 (1)正态分布的定义及表示
如果对于任何实数 a，b(a＜b)，随机变量 X 满足 P(a＜X≤b)＝ ，则称随机变量 X 服从正态分布，
态分布，即ξ～N(100,100)，已知满分为150 分．
• (1)试求考试成绩ξ位于区间(80,120]内的概 率；
• (2)若这次考试共有2 000名考生参加，试 估计这次考试及格(不小于90分)的人数．
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• 解：(1)由ξ～N(100,100)知μ＝100，σ＝10. • ∴P(80＜ξ≤120)＝P(100－20＜ξ≤100＋20)＝
，x∈(－∞，＋∞)．
总体随机变量的期望是 μ＝20，方差是 σ2＝( 2)2＝2.
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• 【归纳提升】 要确定一个正态曲线函数解析 式，关键是求解析式中两个参数μ，σ的值，其 中μ决定曲线的对称轴的位置，σ则与曲线的形
状和最大值有关．
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• 于是问题等价于求满足约束条件
x＋y≤21， y≤x＋7， 36x＋60y≥900， x，y≥0，x，y∈N，
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且使目标函数 z＝1 600x＋2 400y 达到最小的 x，y. 作可行域如图所示，可行域的三个顶点坐标分别为 P(5,12)， Q(7,14)，R(15,6)． 由图可知，当直线 z＝1 600x＋2 400y 经过可行域的点 P 时，直线 z＝1 600x＋2 400y 在 y 轴上截距2 4z00最小，即 z 取得最小值．故 应配备 A 型车 5 辆、B 型车 12 辆．
量X只取(μ－3σ，μ＋3σ)之间的值，并简称 为3σ原则． • 正态总体几乎总取值于区间(μ－3σ，μ＋ 3σ)之内，而在此区间以外取值的概率只有0.002
6，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能 发生．
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• 题型一 正态曲线及其性质
•
如图是一个正态曲线．
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• 【归纳提升】 解决此类问题，首先要确定μ
与σ的值，然后把所求问题转化到已知概率的区
间上来，在求概率时，要充分利用正态曲线的对 称性及面积为1这一性质．
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• 针对训练 • 3．在某次数学考试中，考生的成绩ξ服从正
• 解析：μ反映的是正态分布的平均水平，直 线x＝μ是正态曲线的对称轴，由题图可知μ2＜μ1 ＜μ3；σ反映的是正态分布的离散程度，σ越小，
曲线越“瘦高”，总体的分布越集中；σ越大，
曲线越“矮胖”，总体的分布越分散，由题 图可知σ1＜σ3＜σ2. • 答案：μ2＜μ1＜μ3 σ1＜σ3＜σ2
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