苏教版中考模拟考试《数学试卷》含答案解析

苏教版数学中考综合模拟检测试题
学校________ 班级________ 姓名________ 成绩________
一．填空题（共12小题）
1.1
4
-
的绝对值是__________. 2.27
-的
立方根是________．
3.计算：（﹣2x ﹣3y ）（2x ﹣3y ）＝_____．
4.要使分式
1
24
x -有意义，则字母x 的取值范围是_____． 5.△ABC 中，三条中位线围成的三角形周长是15cm ，则△ABC 的周长是_____ cm ．
6.如图△ABC 中，∠A ＝90°，点D 在AC 边上，DE ∥BC ，若∠1＝155°，则∠C 的度数为_____°．
7.两组数据：3，a ，2b ，5与a ，6，b 的平均数都是6，若将这两组数据合并为一组数据，则这组新数据的众数为_____．
8.
当m =____时，一元二次方程240x x m -+=（m 为常数）有两个相等的实数根． 9.若一个圆锥的母线长是3，底面半径是1，则它的侧面展开图的面积是_____．
10.如图，将△ABC 绕顶点A 顺时针旋转60°后得到△AB 1C 1，且C 1为BC 的中点，AB 与B 1C 1相交于D ，若AC ＝2，则线段B 1D 的长度为_____．
11.小红从家到图书馆查阅资料然后返回，她离家的距离y 与离家的时间x 之间的对应关系如图所示，如果小红离家50分钟时离家的距离为0.3km ，那么她在图书馆查阅资料的时间为_____．
12.如图，在Rt ABC ∆中, 90,10,5ACB AC BC ∠=︒==,将直角三角板的直角顶点与AC 边的中点P 重合，直角三角板绕着点P 旋转，两条直角边分别交AB 边于,M N ,则MN 的最小值是
____.
二．选择题（共6小题）
13.下列计算正确的
是（ ） A. 3a +2b ＝5ab B. 3a ﹣2a ＝1
C. a 6÷a 2＝a 3
D. （﹣a 3b ）2＝a 6b 2
14.下列立体图形中，俯视图是三角形的是（ ）
A.
B.
C.
D.
15.已知23412360a b b ++-+=，则ab 的值为（ ） A. 4
B. ﹣4
C. ﹣8
D. 8
16.已知方程x 2﹣6x +q ＝0配方后是（x ﹣p ）2＝7，那么方程x 2+6x +q ＝0配方后是（ ） A. （x ﹣p ）2＝5
B. （x +p ）2＝5
C. （x ﹣p ）2＝9
D. （x +p ）2＝7
17.如图，已知P 是半径为3的⊙A 上一点，延长AP 到点C ，使AC ＝4，以AC 为对角线作▱ABCD ，AB ＝43，⊙A 交边AD 于点E ，当▱ABCD 面积为最大值时，EP 的长为（ ）
A.
1
2π B. π
C.
32
π D. 3π
18.如图，在平面直角坐标系中，点A 在一次函数y 3位于第一象限的图象上运动，点B 在x 轴正半轴上运动，在AB 右侧以它为边作矩形ABCD ，且AB ＝3AD ＝1，则OD 的最大值是（ ）
A. 53
+ B. 7+2 C. 5+2 D. 223
+三．解答题（共10小题）
19. 计算：
（1）
1
1
122sin6013
2
-
︒
⎛⎫
-+--
⎪
⎝⎭
；
（2）
35
2
22
x
x
x x
-⎛⎫
÷+-
⎪--
⎝⎭
．
20.（1）解方程：21
2
33
x
x x
-
=-
--
；
（2）解不等式
13
1
62
y y
--
-≥，并把解集表示在数轴上．
21.已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的中线，AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，CE∥AD，交AN于点E．求证：四边形ADCE是矩形．
22.为了进一步了解某校九年级1000名学生的身体素质情况，体育老师对该校九年级（1）班50位学生进行一分钟跳绳次数测试，以测试数据为样本，绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图，图表如下所示：组别次数x 频数（人数）
第1组80≤x＜100 6
第2组100≤x＜120 8
第3组120≤x＜140 12
第4组140≤x＜160 a
第5组160≤x＜180 6
请结合图表完成下列问题：
（1）求表中a的值；
（2）请把频数分布直方图补充完整；
（3）若在一分钟内跳绳次数少于120次的为测试不合格，试估计该年级学生不合格的人数大约有多少人？
23.现如今，“垃圾分类”意识已深入人心，垃圾一般可分为：可回收物、厨余垃圾、有害垃圾、其它垃圾．其中甲拿了一袋垃圾，乙拿了两袋垃圾．
（1）直接写出甲所拿的垃圾恰好是“厨余垃圾”的概率；
（2）求乙所拿的两袋垃圾不同类的概率．
24.如图，直线l1与l2相交于点P，点P横坐标为﹣1，l1的解析式为y＝1
2
x+3，且l1与y轴交于点A，l2与
y轴交于点B，点A与点B恰好关于x轴对称．（1）求点B的坐标；
（2）求直线l2的解析式；
（3）若点M为直线l2上一动点，直接写出使△MAB的面积是△P AB的面积的1
2
的点M的坐标；
（4）当x为何值时，l1，l2表示的两个函数的函数值都大于0？
25.某段笔直的限速公路上，规定汽车的最高行驶速度不能超过60km /h (即
50
3
m /s )，交通管理部门在离该公路100m 处设置了一速度检测点A ，在如图所示的坐标系中，A 位于y 轴上，测速路段BC 在x 轴上，点B 在A 的北偏西60°方向上，点C 在点A 的北偏东45°方向上． (1)在图中直接标出表示60°和45°的角； (2)写出点B 、点C 坐标；
(3)一辆汽车从点B 匀速行驶到点C 所用时间为15s ．请你通过计算，判断该汽车在这段限速路上是否超速？(本小问中3取1.7)
26.如图，⊙O 的
直径AB ＝26，P 是AB 上(不与点A 、B 重合)的任一点，点C 、D 为⊙O 上的两点，若∠APD ＝∠BPC ，则称∠CPD 为直径AB 的“回旋角”．
(1)若∠BPC ＝∠DPC ＝60°，则∠CPD 是直径AB 的“回旋角”吗？并说明理由； (2)若CD 的长为
13
4
π，求“回旋角”∠CPD 的度数； (3)若直径AB 的“回旋角”为120°，且△PCD 的周长为24+133，直接写出AP 的长．
27.如图，在平面直角坐标系中，一次函数122
y x =
-的图像分别交x 、y 轴于点A 、B ，抛物线2y x bx c =++经过点A 、B ，点P 为第四象限内抛物线上的一个动点.
（1）求此抛物线对应的函数表达式；
（2）如图1所示，过点P作PM∥y轴，分别交直线AB、x轴于点C、D，若以点P、B、C为顶点的三角形与以点A、C、D为顶点的三角形相似，求点P的坐标；
（3）如图2所示，过点P作PQ⊥AB于点Q，连接PB，当△PBQ中有某个角的度数等于∠OAB度数的2倍时，请直接写出点P的横坐标.
28.如图，在平面直角坐标系中，直线
1
4
2
y x
=-+分别交x轴、y轴于点B，C，正方形AOCD 的顶点D在
第二象限内，E是BC中点，OF⊥DE于点F，连结OE，动点P在AO上从点A向终点O匀速运动，同时，动点Q在直线BC上从某点Q1向终点Q2匀速运动，它们同时到达终点．
（1）求点B的坐标和OE的长；
（2）设点Q2为(m，n)，当
1
7
n
m
=tan∠EOF时，求点Q2的坐标；
（3）根据（2）的条件，当点P运动到AO中点时，点Q恰好与点C重合．
①延长AD交直线BC于点Q3，当点Q在线段Q2Q3上时，设Q3Q＝s，AP＝t，求s关于t的函数表达式．
②当PQ与△OEF的一边平行时，求所有满足条件的AP的长．
答案与解析一．填空题（共12小题）
1.
1
4
-的绝对值是__________.
【答案】1 4
【解析】
【分析】
根据绝对值的定义计算即可.
【详解】解：
11 44 -=
故答案为：1 4 .
【点睛】此题考查的是求一个数的绝对值，掌握绝对值的定义是解决此题的关键. 2.27
-的立方根是________．
【答案】－3.
【解析】
【分析】
根据立方根的定义求解即可.
【详解】解：－27的立方根是－3，故答案为－3.
【点睛】本题考查了立方根的定义，属于基础题型，熟知立方根的概念是解题的关键.
3.计算：（﹣2x﹣3y）（2x﹣3y）＝_____．
【答案】9y2﹣4x2．
【解析】
【分析】
根据平方差公式解答即可．
【详解】解：（﹣2x﹣3y）（2x﹣3y）
＝（﹣3y）2﹣（2x）2
＝9y2﹣4x2．
故答案为：9y2﹣4x2．
【点睛】本题主要考查了平方差公式，熟记公式是解答本题的关键．
4.要使分式
1
24
x-
有意义，则字母x的取值范围是_____．
【分析】
分式有意义的条件为分母不能为0，据此求解即可．
【详解】解：要使分式有意义，
则2x﹣4≠0，
解得x≠2．
故答案：x≠2．
【点睛】本题考查的是分式有意义的条件：当分母不为0时，分式有意义．
5.△ABC中，三条中位线围成的三角形周长是15cm，则△ABC的周长是_____cm．
【答案】30．
【解析】
【分析】
设△ABC三边的中点分别为D、E、F，由三角形中位线定理可求得△ABC三边的和，可求得答案．【详解】解：设△ABC三边的中点分别为D、E、F，如图，
∴AB＝2EF，BC＝2DF，AC＝2DE，
∴AB+BC+AC＝2（EF+DF+DE），
∵△DEF的周长为15cm，
∴EF+DF+DE＝15cm，
∴AB+BC+AC＝2×15cm＝30cm，
即△ABC的周长为30cm，
故答案为：30．
【点睛】本题主要考查三角形中位线定理，掌握三角形中位线平行且等于第三边的一半是解题的关键．6.如图△ABC中，∠A＝90°，点D在AC边上，DE∥BC，若∠1＝155°，则∠C的度数为_____°．
【分析】
先根据平角的定义求出∠EDC 的度数，再由平行线的性质得出∠C 的度数． 【
详解】解：∵∠1＝155°， ∴∠EDC ＝180°﹣155°＝25°， ∵DE ∥BC ，
∴∠C ＝∠EDC ＝25°． 故答案为：25．
【点睛】此题考查的是平行线的性质以及三角形的内角和，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等；
直角三角形的两锐角互余． 7.两组数据：3，a ，2b ，5与a ，6，b 的平均数都是6，若将这两组数据合并为一组数据，则这组新数据的
众数为_____． 【答案】8． 【解析】 【分析】
首先根据求平均数的公式12n
x x x x n
++⋅⋅⋅+=列出关于a 、b 的二元一次方程组，再解方程组求得a 、b 的
值，然后根据众数是一组数据中出现次数最多的数得出结果即可． 【详解】解：∵两组数据：3，a ，2b ，5与a ，6，b 的平均数都是6，
∴32524
618
a b a b +++=⎧⎨
++=⎩，
解得a ＝8，b ＝4，
∴组成的一组新数据为：3，8，8，5，8，6，4，则这组数据的众数为8， 故答案为：8．
【点睛】此题考查了众数与平均数，掌握相关概念和公式是解题的关键．
8.当m =____时，一元二次方程240x x m -+=（m 为常数）有两个相等的实数根． 【答案】4 【解析】
【详解】解：因为一元二次方程有两个相等的实数根，所以240b ac -=，即2440m -=，解得m=4 故答案为：4．
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式．
9.若一个圆锥的母线长是3，底面半径是1，则它的侧面展开图的面积是_____．【答案】3π．
【解析】
【分析】
先求得圆锥的底面周长，再根据扇形的面积公式S=1
2
lR求得答案即可．
【详解】解：圆锥的底面周长为：2×π×1＝2π，
侧面积：1
2
×2π×3＝3π．
故答案为：3π．
【点睛】本题考查了圆锥侧面积的计算：正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
10.如图，将△ABC绕顶点A顺时针旋转60°后得到△AB1C1，且C1为BC的中点，AB与B1C1相交于D，若AC＝2，则线段B1D的长度为_____．
【答案】3．
【解析】
【分析】
由旋转的性质可得AC＝AC1，∠AC1B1＝∠C＝60°，可证△ACC1为等边三角形，可得BC1＝CC1＝AC＝2，可证∠B＝∠C1AB＝30°，由含30°的直角三角形的性质可求解．
【详解】解：根据旋转的性质可知：AC＝AC1，∠AC1B1＝∠C＝60°，
∵旋转角是60°，即∠C1AC＝60°，
∴△ACC1为等边三角形，
又C1为BC的中点，
∴BC1＝CC1＝AC＝AC1＝2，
∴∠B＝∠C1AB＝30°，
∴∠BDC1＝∠C1AB+∠AC1B1＝90°，
∴BC1＝2C1D，
∴C 1D ＝1，
∴BC ＝B 1C 1＝BC 1+CC 1＝4，
∴B 1D ＝B 1C 1 -C 1D ＝3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，含30°的直角三角形的性质等知识，求出C 1D 的长是解本题的关键．
11.小红从家到图书馆查阅资料然后返回，她离家的距离y 与离家的时间x 之间的对应关系如图所示，如果小红离家50分钟时离家的距离为0.3km ，那么她在图书馆查阅资料的时间为_____．
【答案】30分钟．
【解析】
【分析】
设她返回时距离y 与离家的时间x 之间的函数解析式为y ＝kx +b ，利用待定系数法求出解析式，即可得到结论．
【详解】解：设她返回时距离y 与离家的时间x 之间的函数解析式为y ＝kx +b ，
∵小红离家50分钟时离家的距离为0.3km ，
∴500.3550k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得3503.3
k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴y ＝﹣350x +3.3， 当y ＝0.9时，x ＝40，
40﹣10＝30，
故她在图书馆查阅资料的时间为30分钟．
故答案为：30分钟．
【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是理解函数图象中各个特殊点的含义并掌握待定系数法求一次函数解析式，利用数形结合的思想求解．
12.如图，在Rt ABC ∆中, 90,10,5ACB AC BC ∠=︒==,将直角三角板的直角顶点与AC 边的中点P 重合，直角三角板绕着点P 旋转，两条直角边分别交AB 边于,M N ,则MN 的最小值是____.
【答案】25【解析】【分析】
当PM=PN时，MN的值最小，过P点作PD⊥AB于点D，先证明△APD∽△ABC，再得到PD AP
BC AB
=，再
代入值，求得PD＝5，从而得到MN的值．
【详解】∵∠C=90°，AC=10，BC=5，
∴AB=2255
AC BC
+=，
∵（PM-PN）2≥0，当PM=PN时，（PM-PN）2值最小为0，∴MN2=PM2+PN2≥2PM•PN，
当PM=PN时，PM2+PN2有最小值为2PM•PN，
∴MN为最小值时，PM=PN，
过P点作PD⊥AB于点D，如图所示，
则MN=2PD，
∵∠A=∠A，∠ADP=∠ACB=90°，
∴△APD∽△ABC，
∴PD AP
BC AB
=，即
555
PD
=，
∴5
∴5
故答案是：5
【点睛】考查了直角三角形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，相似三角形的性质，本题的突破口是确定MN的最小值时，PM=PN，再构造相似三角形解决问题.
二．选择题（共6小题）
13.下列计算正确的是（）
A. 3a+2b＝5ab
B. 3a﹣2a＝1
C.a6÷a2＝a3
D. （﹣a3b）2＝a6b2【答案】D 【解析】【详解】A、3a+2b，无法计算，故此选项错误；B、3a﹣2a=a，故此选项错误；C、a6÷a2=a4，故此选项错误；D、（﹣a3b）2=a6b2，正确．故选D．14.下列立体图形中，俯视图是三角形的是（）A. B. C. D. 【答案】C 【解析】【分析】俯视图是从物体上面看所得到的图形，据此判断得出物体的俯视图．【详解】解：A、立方体的俯视图是正方形，故此选项错误；B、圆柱体的俯视图是圆，故此选项错误；
C、三棱柱的俯视图是三角形，故此选项正确；
D、圆锥体的俯视图是圆，故此选项错误；
故选C．
【点睛】本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．
15.2
a b b
+-+=，则ab的值为（）
3412360
A. 4
B. ﹣4
C. ﹣8
D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】
先根据非负数的性质求出a ，b 的值，然后代入ab 计算即可.
212360b b -+=，
（b ﹣6）2＝0，
∴3a +4＝0，b ﹣6＝0，
∴a ＝﹣
43
，b ＝6， ∴ab ＝﹣43×6＝﹣8， 故选C ．
【点睛】本题考查了非负数的性质，①非负数有最小值是零；②有限个非负数之和仍然是非负数；③有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零.，初中范围内的非负数有：绝对值，算术平方根和偶次方. 16.已知方程x 2﹣6x +q ＝0配方后是
（x ﹣p ）2＝7，那么方程x 2+6x +q ＝0配方后是（ ）
A. （x ﹣p ）2＝5
B. （x +p ）2＝5
C. （x ﹣p ）2＝9
D. （x +p ）2＝7
【答案】D
【解析】
【分析】 根据完全平方公式展开，求出p 的值，再代入求出即可．
【详解】解：∵方程x 2﹣6x +q ＝0配方后是（x ﹣p ）2＝7，
∴x 2﹣2px +p 2＝7，
∴﹣6＝﹣2p ，
解得：p ＝3，
即（x ﹣3）2＝7，
∴x 2﹣6x +9﹣7＝0，
∴q ＝2，
即x 2+6x +q ＝0为x 2+6x +2＝0，配方得（x +3）2＝7，
即（x +p ）2＝7，
故选：D ． 【点睛】本题考查了配方法，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
17.如图，已知P 是半径为3的⊙A 上一点，延长AP 到点C ，使AC ＝4，以AC 为对角线作▱ABCD ，
AB ＝
，
⊙A交边AD于点E，当▱ABCD面积为最大值时，EP的长为（）
A. 1
2
π B. π C.
3
2
π D. 3π
【答案】B
【解析】
【分析】
作CF⊥AB于F，因为S平行四边形ABCD＝AB•CF，AB是定值，推出CF值最大时，平行四边形ABCD的面积最大，因为CF≤AC，推出当AC⊥AB时，平行四边形ABCD的面积最大，再求出∠DAC的大小即可解决问题．
【详解】解：如图，作CF⊥AB于F．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴S平行四边形ABCD＝AB•CF，
∵AB是定值，
∴CF值最大时，平行四边形ABCD的面积最大，
∵CF≤AC，
∴当AC⊥AB时，平行四边形ABCD的面积最大，
此时tan∠ACB＝AB
AC
3
∴∠ACB＝60°，
∵BC∥AD，
∴∠DAC＝∠ACB＝60°，
∴EP 的长＝60π3180⋅⋅＝π， 故选：B ． 【点睛】本题考查弧长公式、平行四边形的性质、特殊三角函数值、平行线的性质等知识，解题的关键是将▱ABCD 面积的最值问题转化为高CF 的最值问题．
18.如图，在平面直角坐标系中，点A 在一次函数y ＝3x 位于第一象限的图象上运动，点B 在x 轴正半轴上运动，在AB 右侧以它为边作矩形ABCD ，且AB ＝23，AD ＝1，则OD 的最大值是（ ）
A. 53+
B. 7+2
C. 5+2
D. 223+
【答案】B
【解析】
【分析】 作△AOB 的外接圆⊙P ，连接OP 、P A 、PB 、PD ，作PG ⊥CD ，交AB 于H ，垂足为G ，易得∠APH ＝∠AOB ，
解直角三角形求得PH ＝2，然后根据三角形三边关系得出OD 取最大值时，OD ＝OP +PD ，据此即可求得．
【详解】解：∵点A 在一次函数y ＝3x 图象上，∴tan ∠AOB ＝3，
作△AOB 的外接圆⊙P ，连接OP 、P A 、PB 、PD ，作PG ⊥CD ，交AB 于H ，垂足为G ，
∵四边形ABCD 是矩形，
∴AB ∥CD ，四边形AHGD 是矩形，
∴PG ⊥AB ，GH ＝AD ＝1，
∵∠APB ＝2∠AOB ，∠APH ＝
12∠APB ，AH ＝12
AB DG ， ∴∠APH ＝∠AOB ，
∴tan ∠APH ＝tan ∠AOB
∴AH PH ∴PH ＝1，
∴PG ＝PH +HG ＝1+1＝2，
∴PD ，
∴OP ＝P A 2，
在△OPD 中，OP +PD ≥OD ，
∴OD 的最大值为：OP +PD ＝，
故选：B ．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，圆周角定理，垂径定理，三角函数的定义以及勾股定理的应用，三角形三边关系等知识点，正确作出辅助线是解题的关键．
三．解答题（共10小题）
19. 计算：
（11
12sin 6012-︒⎛⎫+- ⎪⎝⎭；
（2）35222x x x x -⎛⎫÷+- ⎪--⎝⎭
． 【答案】（1）3；（2）
13x + 【解析】
【分析】
（1）原式第一项化为最简二次根式，第二项利用特殊角的三角函数值计算，第三项利用负整数指数幂法则计算，最后一项利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果；
（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．
【详解】解：（11
12sin 6012-︒⎛⎫+- ⎪⎝⎭
32322312=-⨯+-+ 3=； （2）35222x x x x -⎛⎫÷+- ⎪--⎝⎭
3(2)(2)522x x x x x -+--⎡⎤=÷⎢⎥--⎣⎦
322(3)(3)
x x x x x --=⋅-+- 13
x =+ 考点：实数的运算；分式的混合运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．
20.（1）解方程：21233x x x
-=---； （2）解不等式13162
y y ---≥，并把解集表示在数轴上． 【答案】（1）无解；（2）y ≤1，图详见解析．
【解析】
【分析】
（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解； （2）不等式去分母，去括号，移项合并，将x 系数化为1，求出解集，表示在数轴上即可．
【详解】解：（1）去分母得：2﹣x ＝﹣1﹣2（x ﹣3），
去括号得：2﹣x ＝﹣1﹣2x +6，
移项合并得：x ＝3，
检验：x ＝3时，x -3=0，
∴原分式方程无解；
（2）不等式去分母得：y ﹣1﹣3（y ﹣3）≥6，
去括号得：y ﹣1﹣3y +9≥6，
解得：y ≤1，
解题在数轴上表示如图所示：
【点睛】此题考查了解分式方程，以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
21.已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的中线，AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，CE∥AD，交AN于点E．求证：四边形ADCE是矩形．
【答案】详见解析
【解析】
【分析】
由在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边的中线，可得AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，又由AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，可得∠DAE＝90°，又由CE⊥AN，即可证得：四边形ADCE为矩形．
【详解】证明：∵在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边的中线，
∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，
∴∠ADC＝90°，
∵AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，
∴∠MAN＝∠CAN，
∴∠DAE＝90°，
∵CE∥AD，
∴∠AEC＝90°，
∴四边形ADCE为矩形．
【点睛】此题考查了矩形的判定、等腰三角形三线合一的性质以及平行线的性质等知识点，掌握基本性质是解题的关键．
22.为了进一步了解某校九年级1000名学生的身体素质情况，体育老师对该校九年级（1）班50位学生进行一分钟跳绳次数测试，以测试数据为样本，绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图，图表如下所示：组别次数x 频数（人数）
第1组80≤x＜100 6
第2组100≤x＜120 8
第3组120≤x＜140 12
第4组140≤x＜160 a
第5组160≤x＜180 6
请结合图表完成下列问题：
（1）求表中a的值；
（2）请把频数分布直方图补充完整；
（3）若在一分钟内跳绳次数少于120次的为测试不合格，试估计该年级学生不合格的人数大约有多少人？
【答案】（1）18；（2）详见解析；（3）280
【解析】
【分析】
（1）用总人数50分别减去各个小组的人数即可求出a；
（2）根据表格数据就可以补全频数分布直方图；
（3）从表格中可以知道在一分钟内跳绳次数少于120次的有两个小组，共6+8＝14（人），然后除以总人数即可求出该校九年级（1）班学生进行一分钟跳绳不合格的概率，然后即可得出人数．
【详解】解：（1）根据频数之和等于总数，
∴a＝50﹣6﹣8﹣12﹣6＝18．
（2）由（1）得a＝18，
补全频数分布直方图如下：
（3）抽样调查中不合格的频率为：
288
50
60.=+， 估计该年级学生不合格的人数大约有：1000×0.28＝280（人）， 答：估计该年级学生不合格的人数大约有280人．
【点睛】本题考查频数分布表、频数分布直方图等知识，解题的关键是利用统计图表获取信息． 23.现如今，“垃圾分类”意识已深入人心，垃圾一般可分为：可回收物、厨余垃圾、有害垃圾、其它垃圾．其中甲拿了一袋垃圾，乙拿了两袋垃圾．
（1）直接写出甲所拿的垃圾恰好是“厨余垃圾”的概率； （2）求乙所拿的两袋垃圾不同类的概率． 【答案】（1）1
4 ；（2）34
. 【解析】 【分析】
（1）共四种垃圾，厨余垃圾一种，所以甲拿了一袋垃圾恰好厨余垃圾的概率为：1
4
；（2）直接画出树状图，利用树状图解题即可
【详解】解：（1）记可回收物、厨余垃圾、有害垃圾、其它垃圾分别为A ，B ，C ，D ， ∵垃圾要按A ，B ，C 、D 类分别装袋，甲拿了一袋垃圾， ∴甲拿的垃圾恰好是B 类：厨余垃圾的概率为：14
； （2）画树状图如下：
由树状图知，乙拿的垃圾共有16种等可能结果，其中乙拿的两袋垃圾不同类的有12种结果， 所以乙拿的两袋垃圾不同类的概率为
123164
=
【点睛】本题考查概率的计算以及树状图算概率，掌握树状图法是解题关键
24.如图，直线l1与l2相交于点P，点P横坐标为﹣1，l1的解析式为y＝1
2
x+3，且l1与y轴交于点A，l2与
y轴交于点B，点A与点B恰好关于x轴对称．（1）求点B的坐标；
（2）求直线l2的解析式；
（3）若点M为直线l2上一动点，直接写出使△MAB的面积是△P AB的面积的1
2
的点M的坐标；
（4）当x为何值时，l1，l2表示的两个函数的函数值都大于0？
【答案】（1）（0，﹣3）；（2）y＝﹣11
2
x﹣3；（3）M点的坐标是（﹣
1
2
，﹣
1
4
）或（
1
2
，﹣
23
4
）；（4）﹣
6＜x＜﹣6 11
【解析】
【分析】
（1）先利用l1的解析式求出点A的坐标，再根据A、B关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数解答；
（2）根据点P的横坐标是﹣1，求出点P的坐标，然后利用待定系数法列式求解即可；
（3）根据三角形的面积，底边AB不变，只要点M的横坐标的绝对值等于点P的横坐标的长度的1
2
求出点
M的横坐标，然后代入直线l2的解析式求解即可；
（4）分别求出两直线解析式与x轴的交点坐标，根据x轴上方的部分的函数值大于0解答．
【详解】解：（1）l1：y＝1
2
x+3，当x＝0时，
1
2
x+3＝0+3＝3，
∴点A的坐标是（0，3），
∵点A与点B恰好关于x轴对称，
∴B点坐标为（0，﹣3）；
（2）∵点P横坐标为﹣1，且点P在l1上，
∴1
2
×（﹣1）+3＝
5
2
，
∴点P的坐标是（﹣1，5
2），
设直线l2的解析式为y＝kx+b，
则
3
5
2
b
k b
=-
⎧
⎪
⎨
-+=
⎪⎩
，解得
11
2
3
k
b
⎧
=-
⎪
⎨
⎪=-
⎩
，
∴直线l2的解析式为y＝﹣11
2
x﹣3；
（3）∵点P横坐标是﹣1，△MAB的面积是△P AB的面积的1
2
，
∴点M的横坐标的绝对值是1
2
，
①当横坐标是﹣1
2
时，y＝（﹣
11
2
）×（﹣
1
2
）﹣3＝
11
4
﹣3＝﹣
1
4
，
②当横坐标是1
2
时，y＝（﹣
11
2
）×
1
2
﹣3＝﹣
11
4
﹣3＝﹣
23
4
，
∴M点的坐标是（﹣1
2
，﹣
1
4
）或（
1
2
，﹣
23
4
）；
（4）l1：y＝1
2
x+3，当y＝0时，
1
2
x+3＝0，解得x＝﹣6，
l2：y＝﹣11
2
x﹣3，当y＝0时，﹣
11
2
x﹣3＝0，
解得x＝﹣6 11
，
∴当﹣6＜x＜﹣6
11
时，l1、l2表示的两个函数的函数值都大于0．
【点睛】本题综合考查了直线相交问题，待定系数法求直线解析式，三角形的面积，一次函数与不等式的关系等，综合性较强，（3）要注意分情况讨论．
25.某段笔直的限速公路上，规定汽车的最高行驶速度不能超过60km/h(即50
3
m/s)，交通管理部门在离该公
路100m处设置了一速度检测点A，在如图所示的坐标系中，A位于y轴上，测速路段BC在x轴上，点B 在A的北偏西60°方向上，点C在点A的北偏东45°方向上．
(1)在图中直接标出表示60°和45°的角；
(2)写出点B、点C坐标；
(3)一辆汽车从点B匀速行驶到点C所用时间为15s．请你通过计算，判断该汽车在这段限速路上是否超速？
(
1.7)
【答案】（1）∠OAB=60°，∠OAC=45°；（2）C的坐标是（100，0）；（3）该汽车在这段限速路上超速了．【解析】
【分析】
（1）根据方向角的定义即可表示60°和45°的角；
（2）已知OA=100m，求B、C的坐标就是求OB、OC的长度，可以转化为解直角三角形；
（3）先求出BC的长，除以时间就得到汽车的速度，再与60km/h（即50
3
m/s）比较就可以判断是否超速．
【详解】（1）如图所示，∠OAB=60°，∠OAC=45°；
（2）∵在直角三角形ABO中，AO=100，∠BAO=60度，∴OB=OA•tan60°=1003，∴点B的坐标是（﹣1003，0）；
∵△AOC是等腰直角三角形，∴OC=OA=100，∴C的坐标是（100，0）；
（3）BC=BO+OC=1003+100≈270（m）．
270÷15=18（m/s）．
∵18＞50
3
，∴该汽车在这段限速路上超速了．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．
26.如图，⊙O的直径AB＝26，P是AB上(不与点A、B重合)的任一点，点C、D为⊙O上的两点，若∠APD ＝∠BPC，则称∠CPD为直径AB的“回旋角”．
(1)若∠BPC＝∠DPC＝60°，则∠CPD是直径AB的“回旋角”吗？并说明理由；
(2)若CD的长为13
4
π，求“回旋角”∠CPD的度数；
(3)若直径AB的“回旋角”为120°，且△PCD的周长为24+133，直接写出AP的长．
【答案】(1)∠CPD是直径AB的“回旋角”，理由见解析；(2)“回旋角”∠CPD的度数为45°；(3)满足条件的AP的长为3或23．
【解析】
【分析】
（1）由∠CPD、∠BPC得到∠APD，得到∠BPC＝∠APD，所以∠CPD是直径AB的“回旋角”；（2）利用CD弧长公式求出∠COD＝45°，作CE⊥AB交⊙O于E，连接PE，利用∠CPD为直径AB的“回旋角”，得到∠APD＝∠BPC，∠OPE＝∠APD，得到∠OPE+∠CPD+∠BPC＝180°，即点D，P，E三点共线，∠CED
＝1
2
∠COD＝22.5°，
得到∠OPE＝90°﹣22.5°＝67.5°，则∠APD＝∠BPC＝67.5°，所以∠CPD＝45°；（3）分出情况P在OA上或者OB上的情况，在OA上时，同理（2）的方法得到点D，P，F在同一条直线上，得到△PCF是等边三角形，连接OC，OD，过点O作OG⊥CD于G，
利用sin∠DOG，求得CD，利用周长求得DF，过O作OH⊥DF于H，利用勾股定理求得OP，进而得到AP；在OB上时，同理OA计算方法即可
【详解】∠CPD是直径AB的“回旋角”，
理由：∵∠CPD＝∠BPC＝60°，
∴∠APD＝180°﹣∠CPD﹣∠BPC＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠BPC＝∠APD，
∴∠CPD是直径AB的“回旋角”；
(2)如图1，∵AB＝26，
∴OC＝OD＝OA＝13，
设∠COD＝n°，
∵CD的长为13
4
π，
∴
1313 1804 nπ
π
=
∴n＝45，
∴∠COD＝45°，
作CE⊥AB交⊙O于E，连接PE，∴∠BPC＝∠OPE，
∵∠CPD为直径AB的“回旋角”，∴∠APD＝∠BPC，
∴∠OPE＝∠APD，
∵∠APD+∠CPD+∠BPC＝180°，∴∠OPE+∠CPD+∠BPC＝180°，∴点D，P，E三点共线，
∴∠CED＝1
2
∠COD＝22.5°，
∴∠OPE＝90°﹣22.5°＝67.5°，
∴∠APD＝∠BPC＝67.5°，
∴∠CPD＝45°，
即：“回旋角”∠CPD的度数为45°，
(3)①当点P在半径OA上时，如图2，过点C作CF⊥AB交⊙O于F，连接PF，∴PF＝PC，
同(2)的方法得，点D，P，F在同一条直线上，
∵直径AB的“回旋角”为120°，
∴∠APD＝∠BPC＝30°，
∴∠CPF＝60°，
∴△PCF是等边三角形，
∴∠CFD＝60°，
连接OC，OD，
∴∠COD＝120°，
过点O作OG⊥CD于G，
∴CD＝2DG，∠DOG＝1
2
∠COD＝60°，
∴DG＝ODsin∠DOG＝13×sin60°＝133 2
√
∴CD＝133
√，
∵△PCD的周长为24+133
√，∴PD+PC＝24，
∵PC＝PF，
∴PD+PF＝DF＝24，
过O作OH⊥DF于H，
∴DH＝1
2
DF＝12，
在Rt△OHD中，OH＝225
OD DH
-=
在Rt△OHP中，∠OPH＝30°，
∴OP＝10，
∴AP＝OA﹣OP＝3；
②当点P在半径OB上时，
同①的方法得，BP＝3，
∴AP＝AB﹣BP＝23，
即：满足条件的AP的长为3或23．
【点睛】本题是新定义问题，同时涉及到三角函数、勾股定理、等边三角形性质等知识点，综合程度比较高，前两问解题关键在于看懂题目给到的定义，第三问关键在于P点的分类讨论
27.如图，在平面直角坐标系中，一次函数
1
2
2
y x
=-的图像分别交x、y轴于点A、B，抛物线2
y x bx c
=++
经过点A、B，点P为第四象限内抛物线上的一个动点.
（1）求此抛物线对应的函数表达式；
（2）如图1所示，过点P 作PM ∥y 轴，分别交直线AB 、x 轴于点C 、D ，若以点P 、B 、C 为顶点的三角形与以点A 、C 、D 为顶点的三角形相似，求点P 的坐标；
（3）如图2所示，过点P 作PQ ⊥AB 于点Q ，连接PB ，当△PBQ 中有某个角的度数等于∠OAB 度数的2倍时，请直接写出点P 的横坐标.
【答案】（1）抛物线对应的函数表达式为2
722
y x x =--；（2）P 的坐标为7(,2)2P -或3
(,5)2P -；（3）点
P 的横坐标为3或73
22
. 【解析】 【分析】
（1）先利用一次函数求出A,B 两点的坐标，然后用待定系数法即可求出抛物线的表达式； （2）分两种情况：若90CPB ∠=︒，则CPB CDA ；若90CBP ∠=︒，则CBP CDA ，分情况进
行讨论即可；
（3）分两种情况，2PBQ OAB ∠=∠和2BPQ OAB ∠=∠，分情况进行讨论即可. 【详解】（1）令0x = 时，1
222
y x =-=-， ∴(0,2)B - ， 令0y = 时，1
202
y x =-=，解得4x =， ∴(4,0)A ，
将点A,B 代入2
y x bx c =++中得
16402b c c ++=⎧⎨
=-⎩ 解得722
b c ⎧
=-
⎪⎨⎪=-⎩ ∴抛物线对应的函数表达式为27
22
y x x =--.
（2）设2
71
(,2),(,0),(,2)22
P m m m D m C m m -
-- ， 若90CPB ∠=︒，则CPB CDA ，
此时P 点的纵坐标与B 点的纵坐标相同， ∴2
7
222
m
m --=-， 解得0m =（舍去）或72
m =， ∴7(,2)2
P -，
若90CBP ∠=︒，则CBP
CDA ，作PQ ⊥OB 于点Q ，
90CBP AOB ∠=∠=︒ ，
90,90,OAB OBA PBQ OBA ∴∠+∠=︒∠+∠=︒ OAB PBQ ∴∠=∠ ， 90AOB BQP ∠=∠=︒ AOB
BQP ∴，
AO OB
BQ PQ
∴
= ，
∵(4,0)A ，(0,2)B -，
∴4,2OA OB == ，2
277
2(2)22
BQ m
m m m =---
-=-+ ， 即
24
27
2
m m m
=
-+，
解得0m =（舍去）或32
m = ∴3(,5)2
P -
综上所述，P 的坐标为7(,2)2P -或3(,5)2
P -.
（3）若2PBQ OAB ∠=∠,过点B 作BC ∥OA 交PQ 于点C ，过点P 作PD ⊥OB 于点D
∵BC ∥OA
∴CBQ OAB ∠=∠
,DP OB OA OB ⊥⊥
//DP OA ∴ //DP BC ∴ CBP BPD ∴∠=∠
2,PBQ OAB QBC CBP ∠=∠∠=∠
BPD OAB ∴∠=∠ OAB DPB ∴
OA OB
DP BD
∴
=
设27(,2)
2P n n n -- ∴24272n n n =-+ 解得0n =（舍去）或3n =
∴7(3,)2
P -
若2BPQ OAB ∠=∠，如图，取AB 的中点E ，连接OE ，过P 作PG ⊥x 轴于G ，交直线AB 于H ，过O 作OF ⊥AB 于F ，连接AP ，则∠BPQ=∠OEF ， 设点27(2)2P t t t --，，则1(2)2
H t t -，， 22172(2)422PH t t t t t ∴=----=-+， 24OB OA ==，，
25AB ∴=
45525OA OB OE BE AE OF BC ======，， 2222453555()(
)EF OE OF ∴=-=- 则有1122
ABP S AB PQ PH OA =
=， 22254(4)5PQ t t PQ ∴=-+=，， 90OFE PQB ∠=∠=︒，
PBQ EOF ∴∽，
PQ EF BQ OF ∴＝，
即2353554
45＝＝， 235BQ ∴=，
222BQ PQ PB +=，
2222222(7222
)35(()5)t t t ∴+=+--+， 化简得：2443888030t t -+=，即(211)(2273)0t t --=，
解得：1 5.5t =（舍去），27322
t =. 综上，存在点P ，使得△PBQ 中有某个角的度数等于∠OAB 度数的2倍时，其P 点的横坐标为3或
7322. 【点睛】本题主要考查二次函数与几何综合，掌握相似三角形的判定及性质和分情况讨论是解题的关键. 28.如图，在平面直角坐标系中，直线142
y x =-+分别交x 轴、y 轴于点B ，C ，正方形AOCD 的顶点D 在第二象限内，E 是BC 中点，OF ⊥DE 于点F ，连结OE ，动点P 在AO 上从点A 向终点O 匀速运动，同时，动点Q 在直线BC 上从某点Q 1向终点Q 2匀速运动，它们同时到达终点．
（1）求点B 的坐标和OE 的长；
（2）设点Q 2为(m ，n )，当17
n m =tan ∠EOF 时，求点Q 2的坐标； （3）根据（2）的条件，当点P 运动到AO 中点时，点Q 恰好与点C 重合．
①延长AD 交直线BC 于点Q 3，当点Q 在线段Q 2Q 3上时，设Q 3Q ＝s ，AP ＝t ，求s 关于t 的函数表达式． ②当PQ 与△OEF 的一边平行时，求所有满足条件的AP 的长．
【答案】（1）（8，0），25OE =（2）（6，1）；（3）①3552s t =
，②AP 的长为165或3019
. 【解析】。