黑龙江省虎林市2019-2020学年高三上学期期末考试数学(理)试题(含答案)

黑龙江省虎林市2019届高三上学期期末测试
数学（理科）试题
第Ⅰ卷（选择题 60分）
一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的.）
1.已知集合{}{}
|1,|21x M x x N x =<=>，则M
N =（ ）
． A ．∅ B ．{}|01x x << C ．{}|0x x < D ．{}|1x x <
2.若实数,x y 满足10
00x y x y x -+≥⎧⎪
+≥⎨⎪≤⎩
，则23x y z +=的最小值是（ ）．
A ．0
B ．1 C
D ．9
3.已知22log log a b >，则下列不等式一定成立的是（ ）．
A ．11a b
> B ．()2log 0a b -> C ．21a b
-< D ．
1132a b
⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
4.已知点M 是椭圆2
214
x y +=上一点，12,F F 是椭圆的焦点，且满足120MF MF =，则12MF F ∆的面积为（ ）．
A ．1 B
C.2 D ．4
5.已知m n 、是两条不同的直线，αβ、是两个不同的平面，给出下列命题： （1）若,//m αβα⊥，则m β⊥；（2）若,m n αβ⊥⊥，且m n ⊥，则αβ⊥； （3）若,//m m βα⊥，则αβ⊥；（4）若//,//m n αβ，且//m n ，则//αβ． 其中正确命题的个数是（ ）．
A ．1
B ．2 C.3 D ．4 6.若随机变量()()2,0X
N μσσ>，则有如下结论：
()()()0.6826,P 220.9544,330.9974
P X X P X μσμσμσμσμσμσ-<≤+=-<≤+=-<≤+=
高三（1）班有40名同学，一次数学考试的成绩服从正态分布，平均分为120，方差为100，理论上说在130分以上人数约为（ ）．
A ．19
B ．12 C.6 D ．5
7.设函数()()()sin cos 0,2f x x x πωφωφωφ⎛
⎫
=+++>< ⎪⎝
⎭
的最小正周期为π，且()()f x f x -=，则（ ）． A ．()f x 在0,2π⎛⎫
⎪⎝
⎭
单调递减 B ．()f x 在3,44ππ⎛⎫
⎪⎝
⎭
单调递减 C. ()f x 在0,2π⎛⎫
⎪⎝
⎭
单调递增 D ．()f x 在3,44ππ⎛⎫
⎪⎝
⎭
单调递增 8.按下图所示的程序框图，若输入110011a =，则输出的b =（ ）．
A ．45
B ．47 C.49 D ．51
9.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）．
A ．
83 B ．10
3
C. 4 D ．3 10.某校校庆期间，大会秘书团计划从包括甲、乙两人在内的七名老师中随机选择4名参加志愿者服务工作，根据工作特点要求甲、乙两人中至少有1人参加，则甲、乙都被选中且列队服务时不相邻的概率为（ ）． A ．
12 B ．13 C. 16 D ．14
11.如图，将绘有函数()()2sin 0,
2f x x π
ωϕωϕπ⎛
⎫
=+><< ⎪⎝
⎭
的部分图像的纸片沿x 轴折成直二面角，
若AB ，则()1f -=（ ）．
A ．-2
B ．2 C. D
12.设函数()f x =（,a Re ∈为自然对数的底数）
，若曲线sin y x =上存在一点()00,x y 使得()()00f f y y =，则a 的取值范围是（ ）
． A ．11,1e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．[]1,1e + C. 11,1e e ⎡⎤
-+⎢⎥⎣⎦ D ．[]1,e
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题纸的横线上．）
13.已知圆C 方程为：2
2
4x y +=，直线l 过点()1,2P ，且与圆C 交于A B 、两点，若AB =线l 的方程是 ．
14.
在n
⎫
⎝的展开式中二项式系数的和为64，则展开式中2x 项的系数为 ． 15.已知函数()2
f x x =和()ln
g x x =，作一条平行于y 轴的直线，交()(),f x g x 图像于,A B 两点，则AB
的最小值为 ．
16.已知数列{}n a 满足()()12
11,n n n n n a a n S +-+=-是其前n 项和，若20171007S b =--，且10a b >，则
112
a b
+的最小值为 ．
三、解答题（本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分12分）
在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2a b =，又sin ,sin ,sinB A C 成等差数列． （1）求()cos B C +的值； （2
）若ABC S ∆=
c 的值． 18. （本小题满分12分）
随着手机的发展，“微信”越来越成为人们交流的一种方式，某机构对“使用微信交流”的态度进行调查，随机抽取了50人，他们年龄的频数分布及对“使用微信交流”赞成人数如下表：
用微信交流”的态度与人的年龄有关： （2）若从年龄在，的被调查人中各随机选取两人进行追踪调查，记选中的4人中赞成“使用微信交流”人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望.
参考数据如下：
()
()()()()
()2
,n ad bc n a b c d a b c d a c b d χ-==+++++++.
19. （本小题满分12分）
如图，在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥底面,ABCD ABCD 是直角梯形，
,//,222,E AB AD AB CD AB AD CD ⊥===是PB 的中点.
（1）求证：平面EAC ⊥平面PBC ；
（2）若直线AE 与平面PBC ，求二面角P AC E --的余弦值. 20. （本小题满分12分）
椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的中心在原点，焦点在x 轴上，焦距为2，且与椭圆22
12
y x +
=有相同离心率.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）若直线:l y kx m =+与椭圆C 交于不同的,A B 两点，且椭圆C 上存在点Q ，满足OA OB OQ λ+=，（O 为坐标原点），求实数λ取值范围. 21. （本小题满分12分）
已知定义域为R 的函数()()
21x f x x ax e -=-+，其中[]0,2a ∈. （1）讨论()f x 的单调性；
（2）证明：当(]0,1x a ∈+时，()1
f x x
≤. 22. （本小题满分10分）
已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，{}n b 是等差数列，且11233521,2,37a b b b a a b ==+=-=.
（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设*
,n n n c a b n N =∈，求数列{}n c 的前n 项和.
试卷答案
一、选择题
1-5:BBDAB 6-10: CADBC 11、12：BD 二、填空题
13.3450x y -+=或 1x = 14. 3
8- 15. 1ln 22-（或11ln 222
+） 16. 3+ 三、解答题
17.解：（1）∵sin ,sin ,sin A C B 成等差数列，∴sin sin 2sin A B C +=…………………1分 由正弦定理得2a b c +=，………………………3分
∴()()1
cos cos cos 4
B C A A π+=-=-=
…………………………………………8分
2=
c =12分 18.解：（1）22⨯列联表如下：
所以()()()()()
2
25010310279.98 6.63510102731027103χ⨯⨯-⨯=≈>++++，
()()()112211233414222255552011211232344122225555201123412255663412
1,
101010102516643
21010101010141
3101025
C C C C C C P C C C C C C C C C C C
P C C C C C C C C P C C ξξξ==+=⨯+⨯===+=⨯+⨯====⨯=
，
……………………………………………………10分 所以ξ的分布列是：
所以ξ的期望值是025525255
E ξ=+
++==……………………………12分 19.解：（1）∵PC ⊥平面,ABCD AC ⊂平面ABCD ，∴AC PC ⊥……………………………2分 ∵2,1AB AD CD ===，∴AC BC ==222AC BC AB +=，∴AC BC ⊥…………………4分
∵,PC
BC C PC =⊂面,BC PBC ⊂面PBC ，∴AC ⊥面PBC ………………………………5分
∵AC ⊂面EAC ，∴面EAC ⊥面PBC …………………………………6分 （2）如图，建立空间直角坐标系：
()()()C 0,0,0,1,1,0,1,1,0A B -，设()()0,0,0P a a >，则11,,222a E ⎛⎫- ⎪⎝⎭
，
()()()11131,1,0,0,0,,,,,1,1,,,,222222a a CA CP a CE PA a AE ⎛⎫⎛⎫
===-=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
∵AC ⊥面PBC ，∴()1,1,0CA =为面PBC 的法向量， 设直线AE 与面PBC 所成角为θ
，则sin cos ,2AE CA AE CA AE CA
θ==
=
=
∴2a =，∴()110,0,2,,,122CP CE ⎛⎫==- ⎪⎝⎭
……………………………………8分 设()111,,m x y z =为面PAC 的法向量，则00
m CA m CP ⎧=⎨
=⎩，∴1110
20
x y z +=⎧⎨
=⎩，
∴可取111,1,0x y z ==-=，∴()1,1,0m =-…………………………………9分 设()222,,m x y z =为面ACE 的法向量，则00
n CA n CE ⎧=⎨
=⎩，∴222220
20x y x y x +=⎧
⎨
-+=⎩，
∴可取2211,1,1x y z ==-=-，∴()1,1,1n =-
-，∴cos ,2m n m n m n
=
=
=⨯， ∴二面角
P AC E --12分 20.解：（1
）由已知可22
2c c a
=⎧⎪⎨=
⎪⎩，解得1a c ⎧=⎪⎨=⎪⎩1b =………………………3分 所求椭圆C 的方程2
212
x y +=……………………………………4分 （2）建立方程组22
22
y kx m
x y =+⎧⎨
+=⎩， 消去y ，整理得()
222124220k x kmx m +++-=， ∴()()()222
2
221641222812k m k m
k m ∆=-+-=+-，
由于直线l 与椭圆C 交于不同的,A B 两点，
∴0∆>，有22
12k m +>，①………………………………………6分
设()()()
1122,,,,,Q Q A x y x y Q x y ，于是122
412km
x x k
+=-
+， ()12122
2212m
y y k x x m k +=++=
+，……………………………………8分
当0m =时，易知点,A B 关于原点对称，则0λ=； 当0m ≠时，易知点,A B 不关于原点对称，则0λ≠，
此时，由OA OB OQ λ+=，得()()121211Q Q
x x x y y y λ
λ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
，即()()22412212Q Q km x k m y k λλ-⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩
，
∵Q 点在椭圆上，∴()()22
22
42221212km m
k k λλ⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥+=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
， 化简得(
)()2
2
2
2241212m k
k λ+=+，∵2120k +≠，∴()222412m k λ=+，②
由①②两式可得24λ<，∴22λ-<<且0λ≠.
综上可得实数λ的取值范围是22λ-<<…………………………………………12分 21.解：()()()()
()()21211x x x
f x x ax e x a e x a x e
---'=-+-+-=--+-，
①当0a =时，()()2
10x f x x e -'=--≤，于是()f x 在R 上单调递减； ②当02a <≤时，()()
()()11x
f x x a x e
-'=--+-，当(),1x ∈-∞时，()0f x '<，
当()1,1x a ∈+时，()0f x '>，当()1,x a ∈++∞时，()0f x '<，
所以()f x 在(),1-∞上单调递减，在()1,1a +上单调递增，在()1,a ++∞上单调递减. （2）当0a =时，由（1）知()f x 在[]01，单调递减，
又()01f =，∴(]0,1x ∈时，()2111x
x f x e x +=<≤，即(]0,1x a ∈+时，()1
f x x
≤成立， 当(]0,2a ∈时，由（1）知()f x 在(]0,1上递减，在[]1,1a +上递增，
当(]0,1x ∈时，由()2111x x f x e x +<<≤，即得()1f x x
≤在(]0,1x ∈上成立， 所以当(]1,1x a ∈+时，有()()12
1a
a f x f a e
++≤+=
， 下面证明()121
11
a a f a e a +++=≤+，即
112a e a a +≥++， 令()()1,1x
x a h x e x x =+=-+，则()21x
h x e x '=--，且(]0,3x ∈，
记()()21x
x h x e x ϕ'==--，则()220x
x e e ϕ'=->->，
于是()()x h x ϕ'=在[]13，上单调递增，
又因为()3
2310,402h h e ⎛⎫''<=-> ⎪⎝⎭，所以存在唯一的031,2x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
使得
()000210x h x e x '=--=，
从而0
021x e
x =+，于是()h x 在[)01,x 上单调递减，在(]0,3x 上单调递增，
此时()()02
22
00000001521024x h x h x e x x x x x x ⎛⎫≥=--=+--=--+> ⎪⎝⎭，
从而()()010h a h x +≥>，即112a e a a +≥++，亦即()1
11
f a a +≤+， 因此不等式()1
f x x
≤
在(]1,1a +上成立. 22.解：（1）设数列{}n a 的公比为q ，数列{}n b 的公差为d ，由题意知0q >.由已知，有消去d ，整理得
42280q q --=，又因为0q >，解得2q =，所以2d =.
所以数列{}n a 的通项公式为1*2,n n a n N -=∈；数列{}n b 的通项公式为*21,n b n n N =-∈.
（2）由（1）有()1
212
n n c n -=-⨯，设{}n c 的前n 项和为n S ，则
()()()()012211
2
3
1
123252232212,2123252232
212
n n n n n
n S n n S n n ---=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯=⨯+⨯+⨯+
+-⨯+-⨯
上述两式相减得，
()()()2311222212232122323n n n n n n S n n n +-=+++
+--⨯=---⨯=--⨯-，
所以，()*
2323,n
n S n n N =-⨯+∈.。