函数逼近(样条函数)

h0 hn1 , n h0 hn1 h0 hn1 y y0 y y n 1 n n ) 3( n f [ x0 , x1 ] n f [ x n 1 , x n ]) ， g n 3( n 1 h0 hn 1
于是得到 n 阶方程组
Hale Waihona Puke 2 2 n
要在每个子区间 [ xi , xi 1 ] 上构造三次多项式
S ( x) S i ( x) ai x 3 bi x 2 ci x d i x [ xi , xi 1 ], i 0,1,...n 1 共需要 4n 个待定参数。在三次样条插值的定义中一共有 4n-2 个约束条件： 1、2n 个函数值约束。 i 0,1,..., n 1 S i ( xi ) y i S i ( xi 1 ) y i 1 2、 2(n 1) 个内部插值点导数约束。 i 1,..., n 1 S ' ( xi 0) S ' ( xi 0)
x [ x k , x k 1 ] 时， S ( x) yk k ( x) yk 1 k 1 ( x) mk k ( x) mk 1 k 1 ( x)
其中
k ( x) (1 2 k 1 ( x) (1 2
x xk x xk 1 2 )( ) hk hk x xk 1 x xk 2 )( ) hk hk x xk 1 2 ) hk x xk 2 ) hk
分段低次多项式在分段处具有一定光滑性的函数插值就是模拟以上原理发展起来的它克服了高次多项式插值可能出现的振荡现象具有较好的数值稳定性和收敛性由这种插值过程产生的函数就是多项式样条函数
第一章 函数逼近（样条函数） 分段 Hermite 插值的光滑性 在实践中， 两点三次 Hermite 插值多项式在插值节点处的光滑度不足， 导致人们研究光滑度 更高的插值函数。 例：给定插值条件： -1 0 1 f(x) -1 0 3 f'(x) 0 1 6 要求分段两点三次 Hermite 插值多项式。 可以用 Newton 插值法或 Lagrange 插值基法求每个分段上 Hermite 插值。 在[-1,0]上的插值 函数为 x x x ，在[0,1]上为 x x x 。显然在分点处(x=0)二阶导数不存在，既分段
3 2 3 2
函数的光滑性不够。若将 x=0 处的导数调整为 1.5，在[-1,0]上则为 0.5 x 1.5 x ，在[0,1]
3
上为 1.5 x 1.5 x 。此时该分段函数在 x=0 处二阶可导。
3
样条函数（spline function） 一类分段（片）光滑、并且在各段交接处也有一定光滑性的函数，简称样条。样条一词 来源于工程绘图人员为了将一些指定点连接成一条光顺曲线所使用的工具， 即富有弹性的细 木条或薄钢条。 由这样的样条形成的曲线在连接点处具有连续的坡度与曲率。 分段低次多项 式、 在分段处具有一定光滑性的函数插值就是模拟以上原理发展起来的， 它克服了高次多项 式插值可能出现的振荡现象， 具有较好的数值稳定性和收敛性， 由这种插值过程产生的函数 就是多项式样条函数。样条函数的研究始于 20 世纪中叶，到了 60 年代它与计算机辅助设 计相结合，在外形设计方面得到成功的应用。样条理论已成为函数逼近的有力工具。它的应 用范围也在不断扩大，不仅在数据处理、数值微分、数值积分、微分方程和积分方程数值解 等数学领域有广泛的应用，而且与最优控制、变分问题、统计学、计算几何与泛函分析等学 科均有密切的联系。 定 义 给 定 区 间 [a, b] 上 n+1 个 节 点 a x0 x1 .... xn b 和 这 些 点 上 的 函 数 值 ，
f ( xi ) y i , i 0,1,..., n 。 若 S ( x) 满 足 S ( xi ) y i , i 0,1,..., n ； S ( x) 在 每 个 小 区 间 [ xi , xi 1 ] 上至多是一个三次多项式；S ( x) 在 [a, b] 上有连续的二阶导数，则称 S ( x) 为 f ( x) 关于剖分 a x 0 x1 .... x n b 的三次样条插值函数，称 x0 , x1 ,...., x n 为样条节点。
x xk
lim S ( x)
4 2 6 mk mk 1 2 ( yk 1 yk ) hk hk hk
当 x [ x k 1 , x k ] 时，
6 x 2 xk 1 4 xk 6 x 4 xk 1 2 xk 6( xk 1 xk 2 x) mk 1 mk ( yk yk 1 ) 2 2 hk 1 hk 1 hk31 2 4 6 lim S ( x) mk 1 mk 2 ( yk yk 1 ) x xk hk 1 hk 1 hk 1 S ( x) lim S ( x) ，我们有 由于 lim S ( x)
, S ( xn ) y 对于第二类边界条件有： S ( x0 ) y0 n ，于是 S ( x0 )
整理得
4 2 6 m0 m1 2 ( y1 y0 ) y0 h0 h0 h0
y1 y 0 h0 " h " y 0 3 f [ x0 , x1 ] 0 y 0 g0 h0 2 2
x xk x xk
y y y y 1 1 1 1 mk 1 2( )mk mk 1 3( k 1 2 k k 2 k 1 ) hk 1 hk 1 hk hk hk hk 1 1 1 用 除等式两边，得到 hk 1 hk k mk 1 2mk k mk 1 g k ， k 1,2, n 1
S " ( xi 0) S " ( xi 0)
因此， 额外还需要两个约束条件。 通常可以根据实际应用问题， 在区间的两个端点设置约束。 常见的三种边界条件是：
第一类边界条件(夹持条件)：
S ( x0 ) y0 n S ( xn ) y
第二类边界条件(自然边界条件)：
x x0 x xn
4 2 6 2 4 6 m0 m1 2 ( y1 y0 ) mn1 mn 2 ( yn yn1 ) h0 h0 h0 hn1 hn1 hn1 由 lim S ( x) lim S ( x) 得到 m0 mn ，于是
x x0 x xn
则边值条件要求
x x0
lim S ( x) lim S ( x) ， lim S ( x) lim S ( x) ， lim S ( x) lim S ( x) 。
x xn
x x0
x xn
x x0
x xn
在具体构造样条函数时一般都不使用计算量大的待定系数法。 下面给出构造三次样插值 的三弯矩方程和三转角方程，其待定参数的个数分别是在插值点上的 n+1 个二阶导数和一 阶导数。在力学上二阶导数解释为细梁在插值点截面处的弯矩，一阶导数解释为转角。下面 我们将看到， 所导出的线形方程组的系数矩阵是三对角矩阵， 于是有三弯矩方程和三转角方 程之称。 三转角方程 设 S ( x) 在插值节点 xk 处的一阶导数值为 m k ，则在每个小区间 [ x k , x k 1 ] 上可按两点三 次 Hermite 插值多项式的算法来求得在该区间上的 S ( x) 的表达式。设 hk x k 1 x k ，则当
k ( x) ( x xk )(
k 1 ( x) ( x xk 1 )(
对 S ( x) 求二次导数，整理得
S ( x)
6 x 2 xk 4 xk 1 6 x 4 xk 2 xk 1 6( xk xk 1 2 x) mk mk 1 ( yk 1 yk ) 2 2 hk hk hk3
mn 1 2mn 3 2 1 1 2
于是得到 n+1 阶方程组
1
2
2
2


k
2
k


n 1
对于第三类边界条件：由 lim S ( x) lim S ( x) 得到
S ( x0 ) y 0 S ( x n ) y n
当 y 0 y n 0 时，称为自然边界条件。
" "
第三类边界条件(周期性条件)：假设函数 f 为一个周期函数，自然假设
(1) (2) (2) y0 yn ， y 0(1) yn ， y 0 yn
其中：
k
hk hk 1 , k hk hk 1 hk hk 1 y y y yk 1 g k 3( k k 1 k k k ) 3(k f [ xk 1 , xk ] k f [ xk , xk 1 ]) hk hk 1 k 1,2, n 1
，
关于 m k 的方程组还差两个约束，考察三类边界条件问题。
, mn y 对于第一类边界条件有： m0 y 0 n ，于是得到 n-1 阶方程组
2 2
1
2 2
k
2 k 2
1
2
2


k
2
k


n 1
n2
n 1
n2 2
m1 g1 1 y 0 m g2 2 gk mk mn 2 g n2 mn 1 g n 1 n 1 y n
2m0 m1 3
同理
S ( xn )
整理得
2 4 6 mn1 mn 2 ( yn yn1 ) yn hn1 hn1 hn1
y n y n 1 hn 1 hn 1 " y yn g n n 3 f [ x n 1 , x n ] hn 1 2 2 2 n 1 1 2 m0 g 0 m g 1 1 m2 g 2 mk g k mn 1 g n 1 mn g n
y y y y 1 1 1 1 mn 1 2( )mn m1 3( 1 2 0 n 2 n 1 ) hn 1 hn 1 h0 h0 h0 hn 1 1 1 除等式两边，得到 用 h0 hn 1 n mn 1 2mn n m1 g n
其中：
n