紫荆中学2016—2017学年第1学期第1学段考试试题

紫荆中学2016—2017学年第一学期第一学段考试试题
高二 数学
第Ⅰ卷
一、选择题：(本大题共12小题，每题5分，共60分.在每题给出的四个选项中,
只有一项为哪一项符合题目要求的.)
1．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，假设22=S ，104=S ，那么6S 等于( ) A ．24 B ．18 C ．12 D ．42 2．设01a b <<<，那么以下不等式成立的是（ ）
A ．33
a b > B ．
11
a b
< C ．22a b > D ．01b a <-< 3． 在ABC ∆中,80,100,45a b A ︒===,那么此三角形解的情形是( ) A ．一解 B ．两解 C ．一解或两解 D ．无解 4．已知等比数列{}n a 的公比13
q =-，那么
1357
2468
a a a a a a a a ++++++等于( )
A.13-
B.3-
C.1
3
D.3 5．在数列{}n a 中，13a =， 11
ln(1)n n a a n
+=++，那么n a =
A ．3ln n +
B ．3(1)ln n n +-
C ．3ln n n +
D ．1ln n n ++
6．观看数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4，的特点，按此规律，那么第100项为（ ） A ．10 B ．14 C ．13 D ．100 7．已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，假设5915,,a a a 成等比数列,那么公比为（ ） A.
34 B. 23 C. 32 D.
43 8.设0,0.a b >>
1133a b
a b
+与的等比中项，则的最小值为（ ）
A. 8
B. 4
C. 1
D. 1
4
9． ABC ∆的内角,,A B C 的对边别离为,,a b c ．假设,,a b c 成等比数列，且2c a =，那么
cos B =( )
A ．
2 B ．14 C.34 D.2
10．不等式052>++c x ax 的解集为}2
1
31|
{<<x x ，那么c a ,的值为（ ） A ． 1,6==c a B ．6,1-=-=c a C ． 6,1==c a D ．1,6-=-=c a 11.以下结论正确的选项是( )
A ．当2lg 1lg ,10≥+≠>x x x x 时且
B ．21,0≥+
>x
x x 时当
C ．21,2的最小值为时当x x x +
≥ D ．无最大值时当x
x x 1
,20-≤< 12．已知2)1()(=-+x f x f ，)1()1
(
)1()0(f n
n f n f f a n +-+⋅⋅⋅++=*)(N n ∈，那么数列{}n a 的通项公式为 （ ）
A ．1-=n a n
B ．n a n =
C ．1+=n a n
D ．2n a n =
第Ⅱ卷
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分, 共20分.）
13．若11=a ，数列⎭
⎬⎫
⎩⎨
⎧n a n 是公差为2的等差数列，那么=n a ． 14．函数f (x )＝kx 2－6kx ＋(k ＋8)的概念域为R ，那么实数k 的取值范围为 ．
15．假设实数,x y 知足20,4,5,x y x y +-≥⎧⎪
≤⎨⎪≤⎩
则s x y =+的最大值为 ．
16. 设
ABC
∆内角A B C ，，的对边别离为a b c ，，，假设
22sin cos 2a b B B ==+=，，，那么角A 的大小为 ．
三、解答题：(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)
17.（本小题10分）△ABC 中，a=1，
．
（1）假设，求c ；
（2）假设△ABC 的面积S=，求b ，c ．
18. （本小题12分）已知数列{}n a 中，11a =，123n n a a +=+，数列{}n b 中，11b =，且点()1,n n b b +在直线1y x =-上. (Ⅰ) 求数列{}
n a 、
{}n b 的通项公式；
（Ⅱ）假设3n n c a =+，求数列{}n n b c 的前n 项和n S .
19. （本小题12分）已知函数a x a x x f ++-=)1()(2. （1）当2=a 时，求关于x 的不等式0)(>x f 的解集； （2） 求关于x 的不等式0)(<x f 的解集.
20．（本小题12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边别离为a ，b ，c ，知足(2b －c )cos A －a cos C ＝0. (1)求角A 的大小；
(2)假设a ＝3，试求当△ABC 的面积取最大值时，△ABC 的形状.
21．（本小题12分）n S 为数列{n a }的前n 项和．已知n a ＞0，2
n n a a +=43n S +．
（Ⅰ）求{n a }的通项公式； （Ⅱ）设1
1
n n n b a a += ,求数列{n b }的前n 项和．
22．（本小题12分）已知等差数列{a n }的前n 项的和记为S n ．若是a 4＝－12，a 8＝－4．
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)求S n 的最小值及其相应的n 的值；
(3)从数列{a n }中依次掏出a 1，a 2，a 4，a 8，…，12n －a ，…，组成一个新的数列{b n }，求{b n }的前n 项和．
紫荆中学2016—2017学年第一学期第一学段考试
高二数学 答题卡
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二.填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分.
13. 14. 15. 16.
三.解答题：本大题共6小题，共70分. 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形
边框限定区域的答案无效
22．（本小题总分值12分）
参考答案
一．选择题：ADBBA BCBCD BC 二．填空题：13. n n a n -=22 14. [0,1] 15 . 9 16.
6
π
三．解答题：
17. 解：（1）由正弦定理得：
，即
解得：……………….4分
（2）∵，∴…解得b=4…………………………7分
由余弦定理得：c 2=a 2+b 2﹣2abcosC==13
从而
……………………………………10分
18. 解：(Ⅰ)由123n n a a +=+得()1323n n a a ++=+
因此
{}3n a +是首项为134a +=，公比为2的等比数列.
因此113422n n n
a -++=⨯=，故123n n a +=-………3分
因为
()1,n n b b +在直线1y x =-上，
因此11n n b b +=-即11n n b b +-=又11b =
故数列
{}n b 是首项为1，公差为1的等差数列，
因此n
b n =………………………….6分
（Ⅱ）3n
n c a =+=1233n +-+=12n + 故12n n n b c n +=•
-1)
………………………………..12分
19. (1）原不等式的解集为
()),2(1,+∞⋃∞-………6分
(2) 当1>a 时，原不等式的解集为).,1(a ； 当1=a 时，原不等式的解集为∅；
当1<a
时，原不等式的解集为).1,(a ………12分
20. (1)∵(2b －c )cos A －a cos C ＝0，
由余弦定理得(2b －c )·b 2＋c 2－a 22bc －a ·a 2＋b 2－c 2
2ab ＝0，
整理得b 2＋c 2－a 2＝bc ， ∴cos A ＝
b 2＋
c 2－a 22bc ＝12
，
∵0<A <π，∴A ＝π
3…………………………..6分
(2)由(1)得b 2＋c 2－bc ＝3及b 2＋c 2≥2bc 得bc ≤3. 当且仅当b ＝c ＝3时取等号． ∴S △ABC ＝12bc sin A ≤12×3×32＝33
4.
从而当△ABC 的面积最大时，a ＝b ＝c ＝ 3.
∴当△ABC 的面积取最大值时△ABC 为等边三角形．…………..12分 21. （Ⅰ）当1n =时，211112434+3a a S a +=+=，因为0n a >，因此1a =3，
当
2
n ≥时
，
22
11
n n n n a a a a --+--=
14343
n n S S -+--=
4n
a ，即
111()()2()n n n n n n a a a a a a ---+-=+，因为0n a >，因此1n n a a --=2，
因此数列{n a }是首项为3，公差为2的等差数列， 因此n a =21n +；…………………….6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，n b =
1111
()(21)(23)22123
n n n n =-++++，
因此数列{n
b }前n 项和为
12n
b b b +++=
1111111
[()()(
)]23557
2123
n n -+-++-++
=
11646
n -+．…………………………….12分 22. 解：(1)设公差为d ，由题意，
⎩⎨⎧ ⇔ ⎩⎨⎧ 解得⎩⎨⎧
因此a n ＝2n －20．…………………………..4分 (2)由数列{a n }的通项公式可知， 当n ≤9时，a n ＜0， 当n ＝10时，a n ＝0， 当n ≥11时，a n ＞0．
因此当n ＝9或n ＝10时，由S n ＝－18n ＋n (n －1)＝n 2－19n 得S n 取得最小值为S 9＝S 10＝－90．……….8分
(3)记数列{b n }的前n 项和为T n ，由题意可知
a 4＝－12, a
8＝－4 a 1＋3d ＝－12, a 1＋7d ＝－4．
d ＝2，
a 1＝－18．
b n ＝1
2
-n a
＝2×2n －
1－20＝2n －20．
因此T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n
＝(21－20)＋(22－20)＋(23－20)＋…＋(2n －20) ＝(21＋22＋23＋…＋2n )－20n
＝
2
1221--+n －20n
＝2n +1－20n －2．……………….12分。