刚体的转动定律

8
设棒的长度为l，据上面的结果， 设棒的长度为 ，据上面的结果，下图的转动惯量是多 少？。
9
转动定律的应用： 转动定律的应用： 刚体绕定轴转动的转动定律为
M=Jβ
例3、一均匀圆盘质量为 0，半径为 、一均匀圆盘质量为m 半径为R, 可绕其圆心转动。圆盘边缘绕有一轻绳， 可绕其圆心转动。圆盘边缘绕有一轻绳， 受到向下的张力F,求圆盘的角加速度 求圆盘的角加速度， 受到向下的张力 求圆盘的角加速度， 以及圆盘边缘的切向加速度。 以及圆盘边缘的切向加速度。若轻绳下 挂一质量为m的物体时情况如何 的物体时情况如何？ 挂一质量为 的物体时情况如何？
RmV0= r mV
R V = V0 r R ω = 2 V0 r
这个过程能量不守恒。 这个过程能量不守恒。
R
•
V0
F
17
拉力F做的功为 拉力 做的功为
r r r r r 2 dA = F • dr = − F • dr = − Fdr = −mrω dr r
R 2 2 2 1 A = ∫ − mrω dr = ∫ − mr ( 2 V0 ) dr = ∫ − m(V0 R) 3 dr = r r R R R 1 R 1 1 1 r 2 2 2 2 1 2 = m(V0 R) = m( V0 ) − mV0 = mV − mV0 2r 2 R 2 r 2 2 2
当系统由多个刚体组成时， 当系统由多个刚体组成时，合外力矩的冲量矩等于系统总角动 量的增量。 量的增量。
∑ ∫ M dt =∑ L − ∑ L
i j
j0
可以分解为内力与外力产生的力矩， 由于 Mi 可以分解为内力与外力产生的力矩，内力矩的矢量和 总是为0，可以得到系统的角动量守恒定律。 总是为 ，可以得到系统的角动量守恒定律。 若系统的合外力矩为0时 系统的总角动量守恒。 若系统的合外力矩为 时，系统的总角动量守恒。 即：
扩号中的项称为转动惯量，表示刚体在转动时的惯性。 扩号中的项称为转动惯量，表示刚体在转动时的惯性。 通常用J来表示 来表示。 通常用 来表示。
J =(∑△miri2)
对于质量连续分布的刚体，上式的求和变成积分。 对于质量连续分布的刚体，上式的求和变成积分。
J = ∫ r 2 dm
刚体的定轴转动定律为： 刚体的定轴转动定律为： M=Jβ 的质点、 例1、求质量为 的质点、到转轴的 、求质量为m的质点 到转轴的Y 距离为r,对 轴的转动惯量是多少 轴的转动惯量是多少？ 距离为 对Y轴的转动惯量是多少？
A=
∫
Jβdθ =
∫
dω J dθ = dt
∫ Jω dω ω
0
ω
1 1 2 2 = Jω − Jω 0 2 2
刚体的转动动能为
1 Ek = Jω 2 2
1 1 1 1 2 2 2 2 2 Ek = Jω = (∑ ∆mi ri )ω = ∑ (∆m i ri ω ) = ∑ ∆miVi 2 2 2 2 2
r r r
18
质量为m的匀质细棒 例6、长为 质量为 的匀质细棒，可在竖直平面内绕 、长为2L质量为 的匀质细棒， 过中心的水平轴无摩擦地转动。 过中心的水平轴无摩擦地转动。开始时棒静止在水平 位置。一质量为m’的小球以速度 的小球以速度u垂直落到棒的一个端 位置。一质量为 的小球以速度 垂直落到棒的一个端 与棒作完全弹性碰撞，如图。 点，与棒作完全弹性碰撞，如图。求碰撞后小球回跳 的速度和棒的角速度。 的速度和棒的角速度。 m' 解：分别列出动量守恒与能量 u 守恒的式子
r ri
r fi φ i
∆mi
ψi
r Fi
定轴转动时所有的质点有同样的角速度、角加速 定轴转动时所有的质点有同样的角速度、 式对转动无作用， 式乘以r 度,2式对转动无作用，将(1)式乘以 i 式对转动无作用 式乘以 3
riFit+rifit=△miri2β
利用 Fit=Fisinψi
fit=fisinφi
l/2
x
∫
l/2
2
λ 3 ml 2 1 3 对G点： J G = x λdx = λx = (l ) = 点 3 3 3 0 0
∫
l
l
2
对H点 点
1 λ l l J H = ∫ x 2 λdx = λx 3 = ( + h ) 3 − ( − h ) 3 3 3 2 2 −( l / 2 − h ) −( l / 2 − h )
dt
角加速度 切向加速度为
at = Rβ a n = Rω 2 法向加速度为
dω β= dt
工程单位 rev/min(转/分） 转分
2
刚体的定轴转动定律： 刚体的定轴转动定律： 将刚体分为质量为△ 将刚体分为质量为△mi的质元 设：该质元所受的外力 Fi
该质元所受的内力 fi 该质元到转轴的位置矢量r 该质元到转轴的位置矢量 i 将力分解为切向与法向分量， 将力分解为切向与法向分量， 由牛顿第二定律可得 Fit+fit=△miait=△miriβ Fin+fin= △ miain= △miriω2 （1） (2)
t0 t
Jω
称为刚体的动量矩，或角动量。常 称为刚体的动量矩，或角动量。 表示。 用 L 表示。
r r
r m v
•
注意：单个质点绕轴运动时，其角动量为该质 注意：单个质点绕轴运动时， r r r 点的位置矢量与动量的叉乘。 点的位置矢量与动量的叉乘。
L=r×p
•
15
刚体做定轴转动时， 与 垂直时 刚体做定轴转动时，P与r垂直时 L= rmv= mr2ω= Jω
第五章 刚体的转动定律
1
刚体的定轴转动 一、力矩： 力矩：
r r r M = r ×F
r r
r F
同一刚体上有多个作用力时， 同一刚体上有多个作用力时，合力矩是 各力矩的矢量和。 各力矩的矢量和。
r r M = ∑Mi
二、描述转动的物理量 dθ (SI)单位：rad/s 单位： 单位 角速度 ω=
1 M = FR = Jβ = m0 R 2 β 2 2F β= at = Rβ m0 R
F
2F = m0
mg
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将其分为两个部分,分别列出运动方程： 将其分为两个部分 分别列出运动方程： 分别列出运动方程
mg − T = ma LL (1) TR = Jβ LLL (2)
T
mg
Jβ Ja = 2 由（2）式解出 得： T = ）式解出T R R
l / 2+ h
l / 2+ h
ml 2 = + mh 2 12
平行轴定理
7
上面的第3个计算结果是一个普遍的结果： 上面的第 个计算结果是一个普遍的结果：称为平行轴 个计算结果是一个普遍的结果 定理。 定理。 即：若质量为m的刚体绕一通过刚体质心的转轴的转 若质量为 的刚体绕一通过刚体质心的转轴的转 动惯量为Jc,则绕一与过质心的转轴平行的另一转轴的 动惯量为 则绕一与过质心的转轴平行的另一转轴的 转动惯量J为 。（h是新转轴到过质心转轴 转动惯量 为 J= Jc+mh2。（ 是新转轴到过质心转轴 的距离。） 的距离。）
r
θ
0 R
π
J = ∫ r dm = 2∫ ( R sin θ ) λRdθ = 2λR ∫ sin θdθ
2
2
3 2
π
2πλR mR = = 2 2
3
0
0
2
若将转轴移动到圆环的左边， 若将转轴移动到圆环的左边，由平行轴定理 圆环的转动惯量是多少？ 圆环的转动惯量是多少？
mR 2 3mR 2 2 J= + mR = 2 2
θ
dω dω dθ dω β= = =ω dt dθ dt dθ
得
两边乘以dθ后积分得： 两边乘以 后积分得： 后积分得
1 2 3g cosθ 3g sin θ ∫ ωdω = 2 ω = ∫ 2l dθ = 2l 0 0
ω=
3g sin θ l
用能量守恒原理也可以解出ω 用能量守恒原理也可以解出 下降时重力做的功为: 由于均匀细棒的质心在 l/2 处，下降时重力做的功为: 下降时重力做的功为
l
O
θ
X dm
l
1 1 2 M = ∫ λgldl cos θ = λgl cosθ = mgl cosθ 2 2 0
由 M=Jβ 得：
M mgl cos θ / 2 3 g cosθ β= = = 2 J ml / 3 2l
dmg
13
接下来求ω，由 由 接下来求
β =ω
ω
dω 3 g cosθ = dθ 2l
∑M
i
=0
时
∑L = ∑L
j
j0
注意： ）对于一个做定轴转动的刚体，合外力矩为0时 注意：1）对于一个做定轴转动的刚体，合外力矩为 时，角动 量保持不变。刚体依靠惯性做匀角速运动。 量保持不变。刚体依靠惯性做匀角速运动。 2）对于由若干个物体组成的系统，在满足角动量守恒 ）对于由若干个物体组成的系统， 的条件下，使系统的转动惯量减小，其角速度将增大。 的条件下，使系统的转动惯量减小，其角速度将增大。转动惯 量增加，则角速度将减小。 量增加，则角速度将减小。
6
例2、求质量为 ， 、求质量为m， 长度为l的均匀细棒 的均匀细棒， 长度为 的均匀细棒， l/2 h 对下列转轴C、 、 对下列转轴 、G、H H G C 的转动惯量。 的转动惯量。 设棒的线密度为λ， 解：设棒的线密度为 ，由转动惯量的定义式 2 J = ∫ x λdx 对C点： 点
1 3 2λ l 3 ml 2 J C = x λdx = λx = ( ) = 3 3 2 12 −l / 2 −l / 2
在机械能守恒定律中， 在机械能守恒定律中，刚体定轴转动的动能由上式 12 计算。 计算。
的均匀细直棒， 例4、一根长为l、质量为m的均匀细直棒，其一端有一固定的光 滑水平轴，因而可以在竖直平面内转动。 滑水平轴，因而可以在竖直平面内转动。最初棒静止在水平位 角时的角加速度和角速度。 置，求它由此下摆θ角时的角加速度和角速度。 解：棒下摆为加速过程，外力 棒下摆为加速过程， 矩为重力对O的力矩。 矩为重力对O的力矩。 在棒上 取质元dm,当棒处在下摆θ角时， dm,当棒处在下摆 取质元dm,当棒处在下摆θ角时， 质元的重力为： 质元的重力为： dM=ldm g sin(900-θ) =λgldlcos(θ)
l 1 1 1 2 A = mg sin θ = J ω = ( ml 2 )ω 2 2 2 2 3
3g sin θ mgl sin θ ω= = I l
把左边的式子平方后对t求 把左边的式子平方后对 求 导可得β 导可得 14
刚体的角动量定理、角动量守恒定律 刚体的角动量定理、 dω M = Jβ = J 由转动定律 dt t ω dω 两边乘以dt并积分 两边乘以 并积分 ∫ Mdt = ∫ J dt dt = ω∫ Jdω = Jω − Jω 0 t0 0 上式称为刚体定轴转动的角动量定理，其中 上式称为刚体定轴转动的角动量定理， 是合力矩对时间的积分，称为冲量矩。 Mdt 是合力矩对时间的积分，称为冲量矩。 ∫
16
例5、在一光滑的水平桌面上，用轻绳的一头拴着一个 、在一光滑的水平桌面上， 做匀速圆周运动的小球，小球的质量为m、速度为V 做匀速圆周运动的小球，小球的质量为 、速度为 0、 运动半径为R。绳的另一端穿过桌面上的小孔， 运动半径为 。绳的另一端穿过桌面上的小孔，现向下 拉绳子使其运动半径减小到r，求小球的速率和角速度。 拉绳子使其运动半径减小到 ，求小球的速率和角速度。 这个过程能量是否守恒？ 这个过程能量是否守恒？ 解：由角动量守恒定律
J =r m
2
Y
r m
R
若另有一质点，质量为 到转轴的 到转轴的Y距离 若另有一质点，质量为M,到转轴的 距离 这两个质点的转动惯量是多少？ 为R,这两个质点的转动惯量是多少？ 这两个质点的转动惯量是多少
M
5
J = mr + MR
2
2
例1、求质量为 、半径为 的细元环 、求质量为m、半径为R的细元环 绕其直径转动的转动惯量。 绕其直径转动的转动惯量。 表示细元环的质量密度λ=m/2πR 用 λ表示细元环的质量密度 表示细元环的质量密度
mg mg a= = J m + 2 m + m0 / 2 R
mg β = a/R = R (m + m0 / 2)
如果令 mg=F 则：
F a= F / g + m0 / 2
F β= R (T / g + m0 / 2)
11
刚体绕定轴转动的动能定理： 刚体绕定轴转动的动能定理： 由 A=∫Mdθ得 得
并对所有的质元求和有 ∑riFisinψi+∑ri fisinφi =∑△miri2β 由于任意的两个质元的内力大小相 方向相反，作用于同一直线上， 等，方向相反，作用于同一直线上， 内力的力矩为0。 故 内力的力矩为 。而：
r ri
r fi φ i
∆i +1
4
∑riFisinψi= ∑Mi=M M = ∑Mi =(∑△miri2)β