2025届湖北省重点高中协作体高三一诊考试数学试卷含解析

2025届湖北省重点高中协作体高三一诊考试数学试卷
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．如图，在三棱锥S ABC -中，SA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，现从该三棱锥的4个表面中任选2个，则选取的2个表面互相垂直的概率为（ ）
A ．
12
B ．
14
C ．
13
D ．
23
2．设双曲线()22
22:10,0x y C a b a b
-=>>的左右焦点分别为12,F F ，点()()0,0E t t >.已知动点P 在双曲线C 的右支
上，且点2,,P E F 不共线.若2PEF ∆的周长的最小值为4b ，则双曲线C 的离心率e 的取值范围是（ ） A ．23⎫
+∞⎪⎪⎝⎭
B ．23⎛ ⎝⎦
C ．)
3,⎡+∞⎣
D ．(
3
3．已知函数()2ln 2x
x f x ex a x
=
-+-（其中e 为自然对数的底数）有两个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．2
1,e e ⎛⎤-∞+ ⎥⎝⎦
B ．2
1,e e ⎛⎫-∞+ ⎪⎝
⎭
C ．2
1,e e
⎡⎫-+∞⎪⎢⎣
⎭
D ．2
1,e e
⎛⎫-+∞ ⎪⎝
⎭
4．在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为1CC ，1DD 的中点，则异面直线AF ，DE 所成角的余弦值为（ ） A ．
1
4
B 15
C 26
D ．
15
5．如图，在ABC ∆中， 1
3AN AC =
，P 是BN 上的一点，若23
mAC AP AB =-，则实数m 的值为（ ）
A ．
13
B ．
19
C ．1
D ．2
6．设x 、y 、z 是空间中不同的直线或平面，对下列四种情形：①x 、y 、z 均为直线；②x 、y 是直线，z 是平面；③z 是直线，x 、y 是平面；④x 、y 、z 均为平面.其中使“x z ⊥且y z x y ⊥⇒∥”为真命题的是（ ） A ．③④
B ．①③
C ．②③
D ．①②
7．过双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的右焦点F 作双曲线C 的一条弦AB ，且0FA FB +=，若以AB 为直径的圆经
过双曲线C 的左顶点，则双曲线C 的离心率为（ ） A 2
B 3
C ．2
D 5
8．泰山有“五岳之首”“天下第一山”之称，登泰山的路线有四条：红门盘道徒步线路，桃花峪登山线路，天外村汽车登山线路，天烛峰登山线路.甲、乙、丙三人在聊起自己登泰山的线路时，发现三人走的线路均不同，且均没有走天外村汽车登山线路，三人向其他旅友进行如下陈述： 甲：我走红门盘道徒步线路，乙走桃花峪登山线路； 乙：甲走桃花峪登山线路，丙走红门盘道徒步线路； 丙：甲走天烛峰登山线路，乙走红门盘道徒步线路；
事实上，甲、乙、丙三人的陈述都只对一半，根据以上信息，可判断下面说法正确的是（ ） A ．甲走桃花峪登山线路 B ．乙走红门盘道徒步线路 C ．丙走桃花峪登山线路
D ．甲走天烛峰登山线路
9．已知曲线2
4x y =，动点P 在直线3y =-上，过点P 作曲线的两条切线12,l l ，切点分别为,A B ，则直线AB 截圆
22650x y y +-+=所得弦长为（ ）
A 3
B ．2
C ．4
D ．2310．设12,F F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b
-=>>的左、右焦点，过点1F 作圆222
x y a +=的切线，与双曲线的左、
右两支分别交于点,P Q ，若2||QF PQ =，则双曲线渐近线的斜率为（ ） A ．±1
B ．)
31±
C ．)
31±
D ．511．《周易》历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物的深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法．我们用近代术语解释为：把阳爻“- ”当作数字“1”，把阴爻“--”
当作数字“0”，则八卦所代表的数表示如下： 卦名 符号
表示的二进制数 表示的十进制数 坤
000
震 001 1
坎 010 2 兑
011
3
依此类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号“ ”表示的十进制数是（ ） A ．18
B ．17
C ．16
D ．15
12．直角坐标系 xOy 中，双曲线22
22 1x y a b -=（0a b ，>）与抛物线2 2?y bx =相交于 A 、
B 两点，若△ OAB 是等边三角形，则该双曲线的离心率
e =（ ） A ．
4
3
B ．
54
C ．
65
D ．
76
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．设α、β为互不重合的平面，m ，n 是互不重合的直线，给出下列四个命题： ①若m ∥n ，则m ∥α；
②若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β； ③若α∥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ∥n ；
④若α⊥β，α∩β＝m ，n ⊂α，m ⊥n ，则n ⊥β； 其中正确命题的序号为_____． 14．已知抛物线2
1:4
C y x =
的焦点为F ，其准线与坐标轴交于点E ，过F 的直线l 与抛物线C 交于A B 、两点，若32EF EA EB =+，则直线l 的斜率k =________.
15．已知圆柱的上、下底面的中心分别为1O ，2O ，过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为______．
16．已知向量()1,1m =，()2,1n =-，()1,g λ=，若()
2g m n ⊥+，则λ=______. 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知q ，n 均为给定的大于1的自然数，设集合{1,2,3,,}M q =…，1
12{|,n n T x x x x q x q -==+++…
,1,2,}i x M i n ∈=…．
（Ⅰ）当2q
，2n =时，用列举法表示集合T ；
（Ⅱ）当200q =时，{}12100,,,A a a a M =…，且集合A 满足下列条件：
①对任意1100i j ≤<≤，201i j a a +≠；
②
100
1
12020i
i a
==∑．
证明：（ⅰ）若i a A ∀∈，则201i a A -∈（集合A 为集合A 在集合M 中的补集）； （ⅱ）
100
2
1
i
i a
=∑为一个定值（不必求出此定值）；
（Ⅲ）设,s t T ∈，21123n n s b b q b q b q -=++++…，1
12n n t c c q c q -=+++…，其中,i i b c M ∈，1,2,,i n =⋯，若
n n b c <，则s t <．
18．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，点P 是直线:1l x =-上的动点，()1,0F 为定点，点Q 为PF 的中点，动点M 满足0MQ PF ⋅=，且()MP OF R λλ=∈，设点M 的轨迹为曲线C . （1）求曲线C 的方程；
（2）过点F 的直线交曲线C 于A ，B 两点，T 为曲线C 上异于A ，B 的任意一点，直线TA ，TB 分别交直线l 于D ，
E 两点.问DFE ∠是否为定值？若是，求DFE ∠的值；若不是，请说明理由.
19．（12分）已知等差数列{}n a 的公差2d =，且1a ，2a ，4a 成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设12n
a n
b ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，求数列{}n n a b +的前n 项和n S ．
20．（12分）如图，点C 是以AB 为直径的圆O 上异于A 、B 的一点，直角梯形BCDE 所在平面与圆O 所在平面垂直，且//,DE BC DC BC ⊥，1
2,32
DE BC AC CD =
===.
（1）证明：//EO 平面ACD ； （2）求点E 到平面ABD 的距离.
21．（12分）记无穷数列{}n a 的前n 项中最大值为n M ，最小值为n m ，令2
n n
n M m b -=，则称{}n b 是{}n a “极差数列”.
（1）若32n a n =-，求{}n b 的前n 项和； （2）证明：{}n b 的“极差数列”仍是{}n b ；
（3）求证：若数列{}n b 是等差数列，则数列{}n a 也是等差数列.
22．（10分）山东省2020年高考将实施新的高考改革方案.考生的高考总成绩将由3门统一高考科目成绩和自主选择的3门普通高中学业水平等级考试科目成绩组成，总分为750分.其中，统一高考科目为语文、数学、外语，自主选择的3门普通高中学业水平等级考试科目是从物理、化学、生物、历史、政治、地理6科中选择3门作为选考科目，语、数、外三科各占150分，选考科目成绩采用“赋分制”，即原始分数不直接用，而是按照学生分数在本科目考试的排名来划分等级并以此打分得到最后得分.根据高考综合改革方案，将每门等级考试科目中考生的原始成绩从高到低分为、
、、、、、、共8个等级。

参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为
、
、
、
、
、
、、
.等级考试科目成绩计入考生总成绩时，将至等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，
分别转换到91-100、81-90、71-80，61-70、51-60、41-50、31-40、21-30八个分数区间，得到考生的等级成绩. 举例说明.
某同学化学学科原始分为65分，该学科等级的原始分分布区间为58～69，则该同学化学学科的原始成绩属
等
级.而
等级的转换分区间为61～70，那么该同学化学学科的转换分为：
设该同学化学科的转换等级分为，，求得
.
四舍五入后该同学化学学科赋分成绩为67.
（1）某校高一年级共2000人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行测试，其中物理考试原始成绩基本服从正态分布
.
（i ）若小明同学在这次考试中物理原始分为84分，等级为，其所在原始分分布区间为82～93，求小明转换后的
物理成绩；
（ii ）求物理原始分在区间
的人数；
（2）按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取4人，记表示这4人中等级成绩在区间的人数，求的分布
列和数学期望. （附：若随机变量
，则，
，
）
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、A 【解析】
根据线面垂直得面面垂直，已知SA ⊥平面ABC ，由AB BC ⊥，可得BC ⊥平面SAB ，这样可确定垂直平面的对数，再求出四个面中任选2个的方法数，从而可计算概率． 【详解】
由已知SA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，可得SB BC ⊥，从该三棱锥的4个面中任选2个面共有2
46C =种不同的选法，而选取的2个表面互相垂直的有3种情况，故所求事件的概率为12
． 故选：A ． 【点睛】
本题考查古典概型概率，解题关键是求出基本事件的个数． 2、A 【解析】
依题意可得22221PEF C PE PF EF PE PF EF ∆=++=++1224PF a b ≥-= 即可得到()242a b a c +>+，从而求出双曲线的离心率的取值范围； 【详解】
解：依题意可得如下图象，22221PEF C PE PF EF PE PF EF ∆=++=++
112PE PF EF a =++- 1224PF a b ≥-=
()12242PF a b a c ∴=+>+
所以2b c > 则22244c a c -> 所以2234c a >
所以22
24
3
c e a =>
所以23
3e >，即23,3e ⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭
故选：A
【点睛】
本题考查双曲线的简单几何性质，属于中档题. 3、B 【解析】
求出导函数()f x '
，确定函数的单调性，确定函数的最值，根据零点存在定理可确定参数范围． 【详解】
2
1ln ()2()x
f x x e x
-'=
--，当(0,)x e ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增，当(,)x e ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调
递减，
∴在(0,)+∞上()f x 只有一个极大值也是最大值2
1()f e e a e
=+-，显然0x →时，()f x →-∞，x →+∞时，()f x →-∞，
因此要使函数有两个零点，则21()0f e e a e =+->，∴21
a e e
<+． 故选：B ． 【点睛】
本题考查函数的零点，考查用导数研究函数的最值，根据零点存在定理确定参数范围． 4、D 【解析】
连接BE ，BD ，因为//BE AF ，所以BED ∠为异面直线AF 与DE 所成的角（或补角），
不妨设正方体的棱长为2，取BD 的中点为G ，连接EG ，在等腰BED ∆中，求出cos EG BEG BE ∠==
二倍角公式，求出cos BED ∠，即可得出答案. 【详解】
连接BE ，BD ，因为//BE AF ，所以BED ∠为异面直线AF 与DE 所成的角（或补角），
不妨设正方体的棱长为2，则BE DE ==
BD =，
在等腰BED ∆中，取BD 的中点为G ，连接EG ，
则EG =
=cos
EG BEG BE ∠=
=
所以2cos cos 22cos 1BED BEG BEG ∠=∠=∠-， 即：31
cos 2155
BED ∠=⨯
-=， 所以异面直线AF ，DE 所成角的余弦值为1
5
. 故选：D.
【点睛】
本题考查空间异面直线的夹角余弦值，利用了正方体的性质和二倍角公式，还考查空间思维和计算能力. 5、B 【解析】
23
mAC AP AB =-变形为23AP mAC AB =+，由1
3AN AC =得3AC AN =，转化在ABN 中，利用B P N 、、三
点共线可得. 【详解】
解：依题： 22
333
AP mAC AB mAN AB =+=+， 又B P N ，，三点共线，
2313
m ∴+
=，解得1
9m =．
故选：B ． 【点睛】
本题考查平面向量基本定理及用向量共线定理求参数. 思路是(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.利用向量共线定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值. (2)直线的向量式参数方程：A P B 、、 三点共线⇔(1)OP t OA tOB =-+ (O 为平面内任一点,t R ∈) 6、C 【解析】
①举反例，如直线x 、y 、z 位于正方体的三条共点棱时②用垂直于同一平面的两直线平行判断.③用垂直于同一直线的两平面平行判断.④举例，如x 、y 、z 位于正方体的三个共点侧面时. 【详解】
①当直线x 、y 、z 位于正方体的三条共点棱时,不正确； ②因为垂直于同一平面的两直线平行,正确； ③因为垂直于同一直线的两平面平行,正确； ④如x 、y 、z 位于正方体的三个共点侧面时, 不正确. 故选:C. 【点睛】
此题考查立体几何中线面关系，选择题一般可通过特殊值法进行排除，属于简单题目. 7、C 【解析】
由0FA FB +=得F 是弦AB 的中点.进而得AB 垂直于x 轴，得2
b a
c a
=+，再结合,,a b c 关系求解即可
【详解】
因为0FA FB +=，所以F 是弦AB 的中点.且AB 垂直于x 轴.因为以AB 为直径的圆经过双曲线C 的左顶点，所以
2b a c a =+，即22
c a a c a
-=+，则c a a -=，故2c e a ==.
故选：C 【点睛】
本题是对双曲线的渐近线以及离心率的综合考查，是考查基本知识，属于基础题． 8、D 【解析】
甲乙丙三人陈述中都提到了甲的路线,由题意知这三句中一定有一个是正确另外两个错误的,再分情况讨论即可. 【详解】
若甲走的红门盘道徒步线路,则乙,丙描述中的甲的去向均错误,又三人的陈述都只对一半,则乙丙的另外两句话“丙走红门盘道徒步线路”,“乙走红门盘道徒步线路”正确,与“三人走的线路均不同”矛盾.
故甲的另一句“乙走桃花峪登山线路”正确,故丙的“乙走红门盘道徒步线路”错误,“甲走天烛峰登山线路”正确.乙的话中“甲走桃花峪登山线路”错误,“丙走红门盘道徒步线路”正确.
综上所述,甲走天烛峰登山线路,乙走桃花峪登山线路, 丙走红门盘道徒步线路 故选：D 【点睛】
本题主要考查了判断与推理的问题,重点是找到三人中都提到的内容进行分类讨论,属于基础题型. 9、C
【解析】
设22
1212,,,,(,3)44x x A x B x P t ⎛⎫⎛⎫
- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭，根据导数的几何意义，求出切线斜率，进而得到切线方程，将P 点坐标代入切线
方程，抽象出直线AB 方程，且过定点为已知圆的圆心，即可求解. 【详解】
圆2
2
650x y y +-+=可化为22
(3)4x y +-=.
设22
1212,,,,(,3)44x x A x B x P t ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭，
则12,l l 的斜率分别为1212,22
x x
k k =
=， 所以12,l l 的方程为()2
1111:24
x x l y x x =-+，即112x y x y =-，
()2
22
22:24
x x l y x x =-+，即222x y x y =-，
由于12,l l 都过点(,3)P t -，所以1
12
232
32
x t y x t y ⎧-=-⎪⎪
⎨
⎪-=-⎪⎩
，
即()()1122,,,A x y B x y 都在直线32
x
t y -=
-上， 所以直线AB 的方程为32
x
t y -=-，恒过定点(0,3)， 即直线AB 过圆心(0,3)，
则直线AB 截圆22
650x y y +-+=所得弦长为4. 故选:C. 【点睛】
本题考查直线与圆位置关系、直线与抛物线位置关系，抛物线两切点所在直线求解是解题的关键，属于中档题. 10、C 【解析】
如图所示：切点为M ，连接OM ，作PN x ⊥轴于N ，计算12PF a =，24PF a =，2
2a PN c
=，1
2ab F N c =，
根据勾股定理计算得到答案. 【详解】
如图所示：切点为M ，连接OM ，作PN x ⊥轴于N ，
121212QF QF QP PF QF PF a -=+-==，故24PF a =，
在1Rt MOF ∆中，1sin a MFO c ∠=，故1cos b MFO c ∠=，故22a PN c
=，1
2ab F N c =， 根据勾股定理：2
42
242162a ab a c c c ⎛⎫=+- ⎪⎝
⎭，解得31b a =+. 故选：C .
【点睛】
本题考查了双曲线的渐近线斜率，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 11、B 【解析】
由题意可知“屯”卦符号“”表示二进制数字010001，将其转化为十进制数即可.
【详解】
由题意类推，可知六十四卦中的“屯”卦符号“”表示二进制数字010001，转化为十进制数的计算为1×20+1×24=1．
故选：B ． 【点睛】
本题主要考查数制是转化，新定义知识的应用等，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 12、D 【解析】
根据题干得到点A 坐标为()
3x ，代入抛物线得到坐标为()
6b ，再将点代入双曲线得到离心率. 【详解】
因为三角形OAB 是等边三角形，设直线OA 为y x =
，设点A 坐标为()
3x ，代入抛物线得到x=2b,故点A
的坐标为()
6b ，代入双曲线得到22137
.366
b e a =⇒== 故答案为：D. 【点睛】
求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出,a c ，代入公式c
e a
=
；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，结合222b c a =-转化为,a c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或2a 转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围).
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、④ 【解析】
根据直线和平面，平面和平面的位置关系依次判断每个选项得到答案. 【详解】
对于①，当m ∥n 时，由直线与平面平行的定义和判定定理，不能得出m ∥α，①错误；
对于②，当m ⊂α，n ⊂α，且m ∥β，n ∥β时，由两平面平行的判定定理，不能得出α∥β，②错误； 对于③，当α∥β，且m ⊂α，n ⊂β时，由两平面平行的性质定理，不能得出m ∥n ，③错误；
对于④，当α⊥β，且α∩β＝m ，n ⊂α，m ⊥n 时，由两平面垂直的性质定理，能够得出n ⊥β，④正确； 综上知，正确命题的序号是④． 故答案为：④． 【点睛】
本题考查了直线和平面，平面和平面的位置关系，意在考查学生的空间想象能力和推断能力.
14、±
【解析】
求出抛物线焦点坐标，由32EF EA EB =+，结合向量的坐标运算得2A B x x =-，直线l 方程为1y kx =+，代入抛物线方程后应用韦达定理得A B x x +，A B x x ，从而可求得,A B x x ，得斜率k ．
【详解】
由32EF EA EB =+得2FA BF =，即2A B x x =-
联立241
x y y kx ⎧=⎨=+⎩得2440x kx --=4,4A B A B x x k x x ∴+=⋅=-
解得A B x x ⎧=⎪⎨=⎪⎩
或A B x x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩
4A B x x k +==．
故答案为：4
±． 【点睛】
本题考查直线与抛物线相交，考查向量的线性运算的坐标表示．直线方程与抛物线方程联立后消元，应用韦达定理是解决直线与抛物线相交问题的常用方法． 15、12π 【解析】
设圆柱的轴截面的边长为x
，可求得x = 【详解】
设圆柱的轴截面的边长为x ， 则由28x =
，得x =
∴2
22212S S S πππ=+=⨯⨯+=圆柱表侧底． 故答案为：12π 【点睛】
本题考查了圆柱的轴截面和表面积，考查了学生空间想象，转化划归，数学运算的能力，属于基础题. 16、-1 【解析】
由向量垂直得向量的数量积为0，根据数量积的坐标运算可得结论． 【详解】
由已知2(4,1)m n +=，∵()
2g m n ⊥+，∴()
240g m n λ⋅+=+=，4λ=-． 故答案为：－1． 【点睛】
本题考查向量垂直的坐标运算．掌握向量垂直与数量积的关系是解题关键．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（Ⅰ）{}3,4,5,6T =；（Ⅱ）（ⅰ）详见解析．（ⅱ）详见解析.（Ⅲ）详见解析. 【解析】 （Ⅰ）当2q
，2n =时，{1M =，2}，12{|2T x x x x ===+，i x M ∈，1i =，2}．即可得出T ．
（Ⅱ）（i ）当200q =时，{1M =，2，3，⋯，200}，又1{A a =，2a ，⋯，100}a M ，i a A ∀∈，201i a M -∈，必
然有201i a A -∈，否则得出矛盾．
（ii ）由2
2
(201)40240401i
i i a a a --=-．可得100100100
22
1
1
1
(201)4024040100i
i i i i i a a a ===--=-∑∑∑．又
100100
22
222
1
1
(201)
12200i
i
i i a a ==+-=++⋯⋯+∑∑，即可得出
100
21
i
i a
=∑为定值．
（iii ）由设s ，t A ∈，112n n s a a q a q -=++⋯+，112n n t b b q b q -=++⋯+，其中i a ，i b M ∈，1i =，2，⋯，n ．n n a b <，可得2121112211()()()()(1)(1)(1)n n n n n n n n s t a b a b q a b q a b q q q q q q q -------=-+-+⋯+-+--+-+⋯+--，通过求和即可证明结论． 【详解】 （Ⅰ）解：当2q
，2n =时，{}1,2M =，12{|2T x x x x ==+，i x M ∈，1i =，2}．
{}3,4,5,6T =．
（Ⅱ）证明：（i ）当200q =时，{1M =，2，3，⋯，200}， 又1{A a =，2a ，⋯，100}
a M ，i a A ∀∈，201i a M -∈，
必然有201i a A -∈，否则201i a A -∈，而(201)201i i a a +-=，与已知对任意1100i j <，201i j a a +≠矛盾． 因此有201i a A -∈．
（ii ）22(201)40240401i i i a a a --=-．
∴100100100
2
2
1
1
1
(201)4024040100791940i
i i i i i a a a ===--=-=∑∑∑．
100100
222221
1
200201(4001)
(201)122006
i i i i a a ==⨯⨯++-=++⋯⋯+=
∑∑，
∴100
21
1200201(4001)
(
791940)26
i i a =⨯⨯+=+∑为定值．
（iii ）由设s ，t A ∈，112n n s a a q a q -=++⋯+，112n n t b b q b q -=++⋯+，其中i a ，i b M ∈，1i =，2，⋯，n ．n n a b <，
21112211()()()()n n n n n n s t a b a b q a b q a b q ----∴-=-+-+⋯+-+- 21(1)(1)(1)n n q q q q q q ---+-+⋯+-- 21(1)(1)n n q q q q --=-++⋯+- 1
11(1)1n n q q q q
---=---
10=-<．
s t ∴<．
【点睛】
本题主要考查等差数列与等比数列的通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
18、（1）2
4y x =；（2）是定值，2
DFE π
∠=
.
【解析】
（1）设出M 的坐标为(,)x y ，采用直接法求曲线C 的方程；
（2）设AB 的方程为1x ty =+，211(,)4y A y ，222(,)4
y B y ,2
0(,)4y T y ，求出AT 方程，联立直线l 方程得D 点的坐标，
同理可得E 点的坐标，最后利用向量数量积算FD ⋅FE 即可. 【详解】
（1）设动点M 的坐标为(,)x y ，由()MP OF R λλ=∈知MP ∥OF ，又P 在直线:1l x =-上，
所以P 点坐标为(1,)y -，又()1,0F ，点Q 为PF 的中点，所以(0,)2y
Q ，(2,)PF y =-，(,)2
y MQ x =--，
由0MQ PF ⋅=得2
202
y x -+=，即24y x =；
（2）
设直线AB 的方程为1x ty =+，代入2
4y x =得2
440y ty --=，设211(,)4y A y ，2
2
2(,)4
y B y ，
则124y y t +=，124y y =-，设2
00(,)4
y T y ，则1022
1010444
AT y y k y y y y -==+-，
所以AT 的直线方程为2
104()4y y y x y y -=-+即101010
4y y y x y y y y =+++，令1x =-，则 10104y y y y y -=
+，所以D 点的坐标为10104(1,
)y y y y --+，同理E 点的坐标为20204(1,)y y y y --+，于是FD =1010
4(2,)y y y y --+， FE =20204(2,)y y y y --+，所以FD ⋅4FE =+10104y y y y -⨯+20204y y y y -+2
1200122
1212004()16
4()y y y y y y y y y y y y ⋅-++=++++ 20020041616444y ty ty y --+=+-++22
00002
00
1616441616044ty y y ty ty y -++--+==-++，从而FD ⊥FE ， 所以2
DFE π
∠=是定值.
【点睛】
本题考查了直接法求抛物线的轨迹方程、直线与抛物线位置关系中的定值问题，在处理此类问题一般要涉及根与系数的关系，本题思路简单，但计算量比较大，是一道有一定难度的题.
19、（1）2n a n =；（2）2
11
343
n n S n n =+-
+⨯. 【解析】
（1）根据等比中项性质可构造方程求得1a ，由等差数列通项公式可求得结果；
（2）由（1）可得n b ，可知{}n b 为等比数列，利用分组求和法，结合等差和等比数列求和公式可求得结果. 【详解】
（1）124,,a a a 成等比数列，2
2
14a a a ∴=，即()()2
1113a d a a d +=+，
()()2
11126a a a ∴+=+，解得：12a =，
()2212n a n n ∴=+-=.
（2）由（1）得：2111224n a n n
n b ⎛⎫⎛⎫⎛
⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，114n n b b +∴=，114b =，
∴数列{}n b 是首项为
14，公比为1
4
的等比数列， ()()123123n n n S a a a a b b b b ∴=+++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+()232211112
4444n
n n ⎡⎤+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=
++++⋅⋅⋅+⎢⎥
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣
⎦
211
343
n n n =+-
+⨯． 【点睛】
本题考查等差数列通项公式的求解、分组求和法求解数列的前n 项和的问题；关键是能够根据通项公式证得数列{}n b 为等比数列，进而采用分组求和法，结合等差和等比数列求和公式求得结果. 20、（1）见解析；（2）641
41
【解析】
（1）取BC 的中点M ，证明//,//OM AC EM CD ,则平面//OME 平面ACD ，则可证//EO 平面ACD . （2）利用E ABD A EBD V V --=，AC 是平面BED 的高，容易求.11
23322
BDE S DE CD =⨯=⨯⨯=△，再求ABD
S ，则点E
到平面ABD 的距离可求. 【详解】 解：（1）如图：
取BC 的中点M ，连接OM 、ME .
在ABC 中，O 是AB 的中点，M 是BC 的中点，
,OM AC AC ∴⊄∥平面 EMO MO ⊂,平面 EMO ,故 AC ∥平面 EMO
在直角梯形BCDE 中， DE
CB ，且DE CM =，
∴四边形MCDE 是平行四边形， EM CD ∴∥，同理 CD ∥平面 EMO 又 CD ⋂AC=C ,故平面 EMO ∥平面ACD ， 又
EO ⊂平面, EMO EO ∴∥平面ACD .
（2）
AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于A 、B 的一点，
AC BC ∴⊥
又∵平面BCDE ⊥平面ABC ，平面BCDE ⋂平面ABC BC =
AC ∴⊥平面BCDE ，
可得AC 是三棱锥A BDE -的高线. 在直角梯形BCDE 中，11
23322
BDE S DE CD =
⨯=⨯⨯=△. 设E 到平面ABD 的距离为h ，则E ABD A EBD V V --=，即11
33
ABD EBD S h S AC ⋅=⋅△△
由已知得5,5,AB BD AD ===
由余弦定理易知：16cos 25ABD ∠=
，则1sin 22
ABD S AB BD ABD =⋅∠=
△
解得41
h =
，即点E 到平面ABD
【点睛】
考查线面平行的判定和利用等体积法求距离的方法，是中档题. 21、（1）233
44
n n -（2）证明见解析（3）证明见解析 【解析】
（1）由{}n a 是递增数列，得()3213
122
n n b n --=
=-，由此能求出{}n b 的前n 项和. （2）推导出()11,2,3,n n b b n +≥=⋅⋅⋅，{}{}12121max ,,,min ,,,n n n n b b b b b b b b b ⋅⋅⋅-⋅⋅⋅=-=，由此能证明{}n b 的“极差数列”仍是{}n b .
（3）证当数列{}n b 是等差数列时，设其公差为'd ，
11122
n n n n n n M M m m b b ------=-
11
'22n n n n M m M m d ----=-=，{}n a 是一个单调递增数列，从而n n M a =，1n m a =，由'0d >，'0d <，'0d =，分类讨论，能证明若数列{}n b 是
等差数列，则数列{}n a 也是等差数列. 【详解】
（1）解：∵无穷数列{}n a 的前n 项中最大值为n M ，最小值为n m ，2
n n
n M m b -=
，32n a n =-，
{}n a 是递增数列，∴()3213
122
n n b n --=
=-， ∴{}n b 的前n 项和()213332244
n n n S n n -=
⋅=-. （2）证明：∵{}{}()12121max ,,,max ,,,1,2,3,n n a a a a a a n +⋅⋅⋅≤⋅⋅⋅=⋅⋅⋅，
{}{}()12121min ,,,min ,,,1,2,3,n n a a a a a a n +⋅⋅⋅≥⋅⋅⋅=⋅⋅⋅，
∴{}{}121121max ,,,min ,,,n n a a a a a a ++⋅⋅⋅-⋅⋅⋅{}{}()1212max ,,,min ,,,1,2,3,n n a a a a a a n ⋅⋅⋅-≥⋅⋅⋅=⋅⋅⋅， ∴()11,2,3,n n b b n +≥=⋅⋅⋅， ∵1110b a a =-=，
∴{}{}12121max ,,,min ,,,n n n n b b b b b b b b b ⋅⋅⋅-⋅⋅⋅=-=， ∴{}n b 的“极差数列”仍是{}n b
（3）证明：当数列{}n b 是等差数列时，设其公差为'd ，
11122
n n n n n n M M m m b b ------=
-
11
'22n n n n M m M m d ----=-=， 根据n M ，n m 的定义，得：
1n n M M -≥，1n n m m -≤，且两个不等式中至少有一个取等号，
当'0d >时，必有1n n M M ->，∴11n n n n a M M a --=>≥， ∴{}n a 是一个单调递增数列，∴n n M a =，1n m a =， ∴1111
1222
'n n n n n n a a a a a a b b d -------=
-==， ∴12'n n a a d --=，∴{}n a 是等差数列，
当'0d <时，则必有1n n m m -<，∴11n n n n a m m a --=<≤， ∴{}n a 是一个单调递减数列，∴1n M a =，n n m a =， ∴11111'222
n n n n
n n a a a a a a b b d -------=
-==， ∴12'n n a a d --=-.∴{}n a 是等差数列，
当'0d =时，11122n n n n n n M M m m b b ------=-11022
n n n n M m M m ----=-=， ∵1n n M M --，1n n m m --中必有一个为0，
根据上式，一个为0，为一个必为0，
∴1n n M M -=，1n n m m -=，
∴数列{}n a 是常数数列，则数列{}n a 是等差数列.
综上，若数列{}n b 是等差数列，则数列{}n a 也是等差数列.
【点睛】
本小题主要考查新定义数列的理解和运用，考查等差数列的证明，考查数列的单调性，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.
22、 (1)（i ）83.;（ii ）272.(2)见解析.
【解析】
（1）根据原始分数分布区间及转换分区间，结合所给示例，即可求得小明转换后的物理成绩；根据正态分布满足
，结合正态分布的对称性即可求得
内的概率，根据总人数即可求得在该区间的人数。

（2）根据各等级人数所占比例可知在区间
内的概率为，由二项分布即可求得的分布列及各情况下的概率，结
合数学期望的公式即可求解。

【详解】
（1）（i ）设小明转换后的物理等级分为，
，
求得. 小明转换后的物理成绩为83分；
（ii ）因为物理考试原始分基本服从正态分布
，
所以
.
所以物理原始分在区间的人数为（人）；
（2）由题意得，随机抽取1人，其等级成绩在区间内的概率为，
随机抽取4人，则.
，，
，，
.
的分布列为
0 1 2 3 4
数学期望.
【点睛】
本题考查了统计的综合应用，正态分布下求某区间概率的方法，分布列及数学期望的求法，文字多，数据多，需要细心的分析和理解，属于中档题。