江苏省启东中学2014届高三数学考前辅导材料1

江苏省启东中学2014届高三数学考前辅导材料1
第一篇高考数学的解题策略
高考的特点是以学生解题能力的高低为标准的一次性选拔，这就使得临场发挥显得尤为重要，研究和总结临场解题策略，进行应试训练和心理辅导，已成为高考辅导的重要内容之一。

正确运用数学高考临场解题策略，不仅可以预防因各种心理障碍造成的不合理丢分，而且能运用科学的方法挖掘思维和知识的潜能，考出最正确成绩。

1．调节大脑思绪，提前进入数学情境
考前要摒弃杂念，排除干扰，创设数学情境，进而激活数学思维，提前进入“角色”。

通过清点用具、暗示重要知识和方法、提醒常见解题误区和自己易出现的错误等，进行针对性的自我抚慰，从而减轻压力、轻装上阵，稳定情绪、增强信心，使思维单一化、数学化，以平稳自信、积极主动的心态准备应考。

2．“内紧外松”，集中注意力，消除焦虑怯场
集中注意力是考试成功的保证，一定的神经亢奋和紧张，能加速神经联系，有益于积极思维。

要使注意力集中，思维异常积极，这叫内紧。

但紧张过度，则会走向反面，形成怯场，产生焦虑，抑制思维，所以又要清醒愉快，放得开，这叫外松。

3．沉着应战，确保旗开得胜，以利振奋精神
良好的开端是成功的一半，从考试的心理角度来说，这确实是很有道理的。

拿到试题后，不要立即下手解题，而应通览一遍整套试题，摸透题情，然后稳操一两个易题熟题，让自己产生“旗开得胜”的快意。

从而有一个良好的开端，以振奋精神，鼓舞信心，很快进入最正确思维状态，即发挥心理学所谓的“门槛效应”，之后做一题对一题，不断产生正激励，稳拿中低档题目，见机攀高。

4．“六先六后”，因人因卷制宜
在通览全卷，将简单题顺手完成的情况下，情绪趋于稳定，情境趋于单一，大脑趋于亢奋，思维趋于积极，之后便是发挥临场解题能力的黄金时期了。

这时，考生可依据自己的解题习惯和基本功，结合整套试题结构，选择执行“六先六后”的战术原则。

〔1〕先易后难
就是先做简单题，再做综合题。

应根据自己的实际，果断跳过啃不动的题目，从易到难，也要注意认真对待每一道题，力求有效，不能走马观花，不难就退，伤害解题情绪。

〔2〕先熟后生
通览全卷，可以得到许多有利的积极因素，也会看到一些不利之处。

对后者，不要惊惶失措。

应想到试题偏难对所有考生都难。

通过这种暗示，确保情绪稳定。

对全卷整体把握之后，就可实施先熟后生的策略，即先做那些内容掌握比较到家、题型结构比较熟悉、解题思路比较清晰的题目。

这样，在拿下熟题的同时，可以使思维流畅、超常发挥，到达拿下中高档题目的目的。

〔3〕先同后异
就是说，先做同科同类型的题目，思考比较集中，知识和方法的运用比较容易，有利于提高单位时间的效益。

高考题一般要求较快地进行“兴奋灶”的转移，而先同后异，可以防止“兴奋灶”过急、过频的跳跃，从而减轻大脑负担，保持有效精力。

〔4〕先小后大
小题一般都是信息量少、运算量小，易于把握，不要轻易放过，应争取在做大题之前尽快解决，从而为解决大题赢得时间，创造一个宽松的心理环境。

〔5〕先点后面
近年的高考数学解答题多呈现为多问渐难式的“梯度题”，解答时不必一气审到底，应走一步解决一步。

前面问题的解决又为后面问题准备了思维基础和解题条件，所以要步步为营，由点到面。

〔6〕先高后低
即在考试的后半段时间内，要注重时间效益，如估计两题都会做，则先做高分题；估计两题都不易，则先就高分题实施“分段得分”，以增加在时间不足前提下的得分率。

5．一“慢”一“快”，相得益彰
有些考生只知道考场上一味地要快，在题意未理清、条件未吃透的情况下，便急于解答，岂不知欲速则不达，结果是思维受阻或进入死胡同，导致失败。

应该说，审题要慢，解答要快。

审题是整个解题过程的“基础工程”，题目本身是“怎样解题”的信息源，必须充分搞清题意，综合所有条件，提练全部线索，形成整体认识，为解题思路提供全面可靠的依据。

而思路一旦形成，则尽量快速完成。

6．确保运算准确，立足一次成功
数学高考题要求考生在120分钟时间内完成大小20道题，时间很紧张，不允许做大量细致的解后检验，所以要尽量准确运算〔关键步骤，力求准确，宁慢勿快〕，争取一次成功。

解题速度应建立在解题准确度基础上，更何况数学题的中间数据常常不但从“数量”上，而且从“性质”上影响着后继各步的解答。

所以，在以快为上的前提下，要稳扎稳打，层层有据，步步准确，不能为追求速度而丢掉重要的得分步骤。

假设速度与准确度不可兼得的话，就只好舍快求对了，因为解答不对，再快也无意义。

7．讲求标准书写，力争既对又全
考试的又一个特点是以卷面为唯一依据。

这就要求不但会而且要对，对且全，全而标准。

会而不对，令人惋惜；对而不全，得分不高；表述不标准、字迹潦草，会使阅卷老师的第一印象不良，进而使阅卷老师认为考生学习不认真、基本功不过硬、“感情分”也就相应低了，此所谓心理学上的“光环效应”。

“书写要工整，卷面能得分”讲的也正是这个道理。

8．面对难题，讲究策略，争取得分
会做的题目当然要力求做对、做全、得总分值，而更多的问题是对不能全面完成的题目如何分段得分。

下面有两种常用方法。

（1）缺步解答
对一个疑难问题，确实啃不动时，一个明智的解题策略是：将它划分为一个个子问题或一系列的步骤，先解决问题的一部分，即能解决到什么程度就解决到什么程度，能演算几步就写几步，每进行一步就可得到这一步的分数。

如从最初的把文字语言译成符号语言，把条件和目标译成数学表达式，设应用题的未知数，设轨迹题的动点坐标，依题意正确画出图形等；还有像完成数学归纳法、分类讨论、反证法的第一步等也能得分。

而且也有可能在上述处理中，从感性到理性，从特殊到一般，从局部到整体，产生顿悟，形成思路，获得解题成功。

（2）跳步解答
解题过程卡在一中间环节上时，可以承认中间结论，往下推，看能否得到正确结论，如得不出，说明此途径不对，立即改变方向，寻找其他途径；如能得到预期结论，就再回头集中力量攻克这一过渡环节。

假设因时间限制，中间结论来不及得到证实，就只好跳过这一步，写出后继各步，一直做到底；另外，假设题目有两问，第一问做不上，可以认为第一问“已知”，完成第二问，这都叫跳步解答。

也许后来由于解题的正迁移对中间步骤想起来了或在时间允许的情况下，经努力而攻下了中间难点，可在相应题尾补上。

9．以退求进，立足特殊，解决一般
对于一个较一般的问题，假设一时不能取得思路，可以采取化一般为特殊〔如用特殊法
解填空题〕，化抽象为具体，化整体为局部，化参量为常量，化较弱条件为较强条件，等等。

总之，退到一个你能够解决的程度上，通过对“特殊”的思考与解决，启发思维，到达对“一
般”的解决。

10．执果索因，逆向思考，正难则反
对一个问题正面思考发生思维受阻时，用逆向思维的方法去探求新的解题途径，往往能
得到突破性的进展。

顺向推有困难就逆推，直接证有困难就反证。

如用分析法，从肯定结论
或中间步骤入手，找充分条件；用反证法，从否认结论入手找必要条件。

11．回避结论的肯定与否认，解决探索性问题
对探索性问题，不必追求结论的“是”与“否”、“有”与“无”，可以一开始，就综合
所有条件，进行严格的推理与讨论，则步骤所至，结论自明。

12．应用性问题思路：面—点—线
解决应用性问题，首先要全面分析题意，迅速接受概念，此为“面”；透过冗长表达，
抓住重点词句，提出重点数据，此为“点”；综合联系，提炼关系，依靠数学方法，建立数
学模型，此为“线”。

如此将应用性问题化为纯数学问题。

当然，求解过程和结果都不能离
开实际背景。

所有的学友们，其实高考并不可怕,高考是很好玩的游戏,只要得法地玩,就一定能玩出幸
福的硕果。

只要抓好每一个步骤细节，只要抓好会做题不失分，就能玩出自己的理想来。

你
们是帅哥！你们是靓姐！在考前一定能发奋努力，积极进取，完美地走好关键一程，一定能
帅在考前，胜在考中，靓在发榜中。

特别提醒：
①审题是解题的前提，只有审清题意才能准确地解好题。

②标准是争分的前提，只有标准步骤才能完美地解好题。

③变式是稳固的前提，只有变式训练才能稳固所学方法。

④回归是应用的前提，只有回归方法才能解决一类问题。

⑤反思是提高的前提，只有反思过程才能不会重复犯错。

第三篇 解答题
2(3sin ,1),(cos ,cos )444
x x x m n ==. 〔1〕假设1m n ⋅=,求2cos()3
x π-的值；
F A E C O B D M 〔2〕记()f x m n =⋅，在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ,b ,c ，且满足
C b B c a cos cos )2(=-，求函数f (A )的取值范围.
1.解：〔1〕23sin cos cos 444x x x m n ⋅=⋅+ 1sin()262
x π=++ ∵1m n ⋅= ∴1sin()262
x π+= ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分
211cos()12sin ()23262x x ππ+=-+= 21cos()cos()332
x x ππ-=-+=- ┉┉┉┉┉7分
〔2〕∵〔2a -c 〕cos B =b cos C
由正弦定理得(2sinA -sin C)cos B=sinBcosC ┉┉
┉┉┉┉8分
∴2sinAcosB-sinCcosB=sinBcosC ∴2sinAcosB=sin(B+C)
∵A B C π++= ∴sin()sin 0B C A +=≠，
∴1cos ,23B B π== ∴203
A π<< ┉┉┉┉┉┉11分
∴1,sin()(,1)6262262
A A ππππ<+<+∈ ┉┉┉┉┉┉12分
又∵1()sin()262x f x π=++,∴1()sin()262
A f A π=++ ┉┉┉┉┉┉13分
故函数f (A )的取值范围是3(1,)2
. ┉┉┉ 2．设锐角△ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知边a ＝23，△ABC 的面积S
＝34
(b 2＋c 2－a 2)．求：〔1〕内角A ；〔2〕周长l 的取值范围． 3.如图，AB 为圆O 的直径，点E 、F 在圆O 上，且//AB EF ，
矩形ABCD 所在的平面和圆O 所在的平面互相垂直，且2AB =，
1AD EF ==.
〔1〕求证：AF ⊥平面CBF ；
〔2〕设FC 的中点为M ，求证：//OM 平面DAF ；
〔3〕设平面CBF 将几何体EFABCD 分成的两个锥体的
体积分别为F ABCD V -，F CBE V -，求:F ABCD F CBE V V --．
3.解：〔1〕证明： 平面⊥ABCD 平面ABEF ,AB CB ⊥,
平面 ABCD 平面ABEF =AB ，⊥∴CB 平面ABEF ，
⊂AF 平面ABEF ，CB AF ⊥∴ ,
又AB 为圆O 的直径，BF AF ⊥∴， ⊥∴AF 平面CBF . ………5分 〔2〕设DF 的中点为N ，则MN //CD 21，又AO //CD 2
1， 则MN //AO ，MNAO 为平行四边形，
//OM ∴AN ，又⊂AN 平面DAF ，⊄OM 平面DAF ，//OM ∴平面DAF . ………9分
(3)过点F 作AB FG ⊥于G ， 平面⊥ABCD 平面ABEF ，
⊥
∴FG 平面ABCD ，FG FG S V ABCD ABCD F 3
231=⋅=∴-， ………11分 ⊥CB 平面ABEF ，
CB S V V BFE BFE C CBE F ⋅==∴∆--31FG CB FG EF 6
12131=⋅⋅⋅=，
………14分 ABCD F V -∴1:4:=-CBE F V ．
4．多面体PABCD 的直观图及三视图如下图，E 、F 、G 分别为PA 、AD 和BC 的中点，M 为PG 上的点，且:3:4PM MG =．
〔1〕求多面体PABCD 的体积；
〔2〕求证：PC BDE 平面； 〔3〕求证：
FM ⊥平面PBC ．
4.解：〔1
4分 〔2〕连接AC
与BD 交于点O ，连接EO
则在PAC ∆中，由E 、O 分别为PA 和AC 的中点，得EO PC ………………6分 因为EO BDE ⊂平面
所以PC BDE 平面 ……………………………………………… 8分 〔3〕连接PF 与FG ，则BC ⊥平面PFG
所以BC FM ⊥ ……………………………………………… 10分
P A B C
D E F G M 左视图 主视图 俯视图
在PFG ∆中，2,PF FG PG ==:3:4PM MG =
可求得MG =，FM =，故222FM MG FG += 所以FM PG ⊥ ……………………………………………… 12分 又PG BC G ⋂=
所以FM ⊥平面PBC ……………………………………………… 14分
5．〔本小题总分值15分〕
在平面直角坐标系xOy 中 ，已知以O 为圆心的圆与直线l ：(34)y mx m =+-，()
m R ∈恒有公共点，且要求使圆O 的面积最小.
〔1〕写出圆O 的方程；
〔2〕圆O 与x 轴相交于A 、B 两点，圆内动点P 使||PA 、||PO 、
||PB 成等比数列，求PA PB ⋅的范围；
〔3〕已知定点Q 〔4-，3〕，直线l 与圆O 交于M 、N 两点，试判断tan QM QN MQN ⋅⨯∠ 是
否有最大值，假设存在求出最大值，并求出此时直线l 的方程，假设不存在，给出理由.
5.解：〔1〕因为直线l ：(34)y mx m =+-过定点T 〔4，3〕 由题意，要使圆O 的面积最小, 定点T 〔4，3〕在圆上，
所以圆O 的方程为
2225x y +=. ………4分
〔2〕A 〔-5，0〕，B 〔5，0〕，设00(,)P x y ，则220025x y +< (1)
00(5,)PA x y =---，00(5,)PB x y =--，
由||,||,||PA PO PB 成等比数列得，2||||||PO PA PB =⋅，
4
20(PA PB x ⋅=25[,0)2PA PB ∴⋅∈-
………………………9分
〔3〕tan ||||cos tan QM QN MQN QM QN MQN MQN ⋅⨯∠=⋅∠⨯∠
||||sin 2MQN QM QN MQN S =⋅∠= .
………11分
由题意，得直线l 与圆O 的一个交点为M 〔4，3〕，又知定点Q 〔4-，3〕，
直线MQ l ：3y =，||8MQ =，则当(0,5)N -时MQN S 有最大值
32. ………14分
即tan QM QN MQN ⋅⨯∠有最大值为32，
此时直线l 的方
程为
250x y --=. ………15分 6.如图，在四棱锥A －BCDE 中，底面BCDE 是直角梯形，∠BED ＝90︒，BE ∥CD ，AB ＝6，
A
B
E
BC ＝5，CD BE ＝13，侧面ABE ⊥底面BCDE ．且∠BAE ＝90︒． 〔1〕求证：平面ADE ⊥平面ABE ；
〔2〕过点D 作平面α∥平面ABC ，分别与BE ，AE
交于点F ，G ，求△DFG 的面积．
7．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)，直线l 为圆O ：x 2＋y 2＝b 2的一条切线，且经过椭圆的右焦点，记椭圆离心率为e ．
〔1〕假设直线l 的倾斜角为π6
，求e 的值； 〔2〕是否存在这样的e ，使得原点O 关于直线l 的对称点恰好在椭圆C 上？假设存在，请求出e 的值；假设不存在，请说明理由．
8．如图，已知椭圆x 2a 2＋y 2
4＝1(a ＞0)上两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，x 轴上两点M (1，0)，N (－1，0)．
〔1〕假设tan ∠ANM ＝－2，tan ∠AMN ＝12
，求该椭圆的方程； 〔2〕假设MA →＝－2MB →，且0＜x 1＜x 2，
求椭圆的离心率e 的取值范围．
x y
O M B
A N
9．已知线段23CD =CD 的中点为O ，动点A 满足2AC AD a +=〔a 为正常数〕． 〔1〕求动点A 所在的曲线方程；
〔2〕假设存在点A ，使AC AD ⊥，试求a 的取值范围；
〔3〕假设2a =，动点B 满足4BC BD +=，且AO OB ⊥，试求AOB ∆面积的最大值和最小值．
9．解：〔1〕以O 为圆心，CD 所在直线为轴建立平面直角坐标系
假设223AC AD a +=<03a <<A 所在的曲线不存在；
假设223AC AD a +==，即3a =，动点A 所在的曲线方程为0(33)y x =-≤；
假设223AC AD a +=>3a >A 所在的曲线方程为22
2213
x y a a +=-. ……………………………………………… 4分
〔2〕由〔1〕知3a A ，使AC AD ⊥，
则以O 为圆心，3OC =
26
a≤
所以a
a……………………………………………8分〔3〕当2
a=时，其曲线方程为椭圆
2
21
4
x
y
+=
由条件知,A B两点均在椭圆
2
21
4
x
y
+=上，且AO OB
⊥
设
11
(,)
A x y，
22
(,)
B x y，OA的斜率为k(0)
k≠，则OA的方程为y kx
=，OB的方程为
1
y x
k
=-
解方程组2
21
4
y kx
x
y
=
⎧
⎪
⎨
+=
⎪⎩
得2
12
4
14
x
k
=
+
，2
12
4
14
k
y
k
=
+
同理可求得
2
2
22
4
4
k
x
k
=
+
，2
22
4
4
y
k
=
+
…………………………………………… 10分AOB
∆
面积
2
S=
=………………12分
令2
1(1)
k t t
+=>
则S==
令2
2
991125
()49()(1)
24
g t t
t t t
=-++=--+>
所以
25
4()
4
g t
<≤，即
4
1
5
S
≤<……………………………………………… 14分
当0
k=时，可求得1
S=,故
4
1
5
S
≤≤，
故S的最小值为
4
5
，最大值为1. ………………………………………………
10.〔本小题总分值15分〕
某工厂有216名工人接受了生产1000台GH型高科技产品的总任务，已知每台GH
型产品由4个G型装置和3个HG型装置或3个H同时开始
．．．．G型装置的工人有x人，他们加工完G型装置所需时间为g〔x〕，其余工人加工完H型装置所需时间为h〔x〕〔单位：小时，可不为整数〕.
〔1〕写出g〔x〕，h〔x〕的解析式；
〔2〕比较g〔x〕与h〔x〕的大小，并写出这216名工人完成总任务的时间f〔x〕的解析式；〔3〕应怎样分组，才能使完成总任务用的时间最少？
10.
解：〔1〕由题知，需加工G型装置4000个，加工H型装置3000个，所用工人分别为x人，〔216－x〕人.
∴g 〔x 〕=x
64000，h 〔x 〕=3)216(3000⋅-x ， 即g 〔x 〕=x 32000，h 〔x 〕=x
-2161000〔0＜x ＜216，x ∈N *〕. ……………………4分 〔2〕g 〔x 〕－h 〔x 〕=
x 32000－x -2161000=)216(3)5432(1000x x x --⋅. ∵0＜x ＜216，∴216－x ＞0.
当0＜x ≤86时，432－5x ＞0，g 〔x 〕－h 〔x 〕＞0，g 〔x 〕＞h 〔x 〕；
当87≤x ＜216时，432－5x ＜0，g 〔x 〕－h 〔x 〕＜0，g 〔x 〕＜h 〔x 〕.
∴f 〔x 〕=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈<≤-∈≤<.,21687,2161000,,860,32000**N N x x x
x x x ……………………8分
〔3〕完成总任务所用时间最少即求f 〔x 〕的最小值.
当0＜x ≤86时，f 〔x 〕递减，
∴f 〔x 〕≥f 〔86〕=8632000⨯=129
1000. ∴f 〔x 〕min =f 〔86〕，此时216－x =130. 当87≤x ＜216时，f 〔x 〕递增，
∴f 〔x 〕≥f 〔87〕=872161000-=129
1000. ∴f 〔x 〕min =f 〔87〕，此时216－x =129. ∴f 〔x 〕min =f 〔86〕=f 〔87〕=129
1000. ∴加工G 型装置，H 型装置的人数分别为86、130或87、129……………………15分
11.抛掷一枚骰子,当它每次落地时,向上的点数称为该次抛掷的点数,可随机出现1到6点中的任一个结果,连续抛掷三次,将第一次,第二次,第三次抛掷的点数分别记为c b a ,,,求长度为c b a ,,的三条线段能构成等腰三角形的概率.
11.【解】连续抛掷三次, 点数分别为c b a ,,的基本领件总数为216666=⨯⨯ 长度为c b a ,,的三条线段能构成等腰三角形有以下两种情形
①当c b a ==时, 能构成等边三角形,有;1,1,1;2,2,2; 6,6,6共6种可能.
②当c b a ,,恰有两个相等时,设三边长为z y x ,,,其中}6,5,4,3,2{∈x ,且y x ≠;
假设2=x ,则y 只能是1或3,共有2种可能; 假设3=x ,则y 只以是5,4,2,1,共有4种可能;
假设6,5,4=x ,则y 只以是集合}6,5,4,3,2,1{中除x 外的任一个数,共有53⨯种可能; ∴当c b a ,,恰有两个相等时,符合要求的c b a ,,共有63)5342(3=⨯++⨯
故所求概率为7223
66363
=+=
P 12.已知关于x 的一元二次函数14)(2+-=bx ax x f .
〔1〕设集合P={1，2， 3}和Q={－1，1，2，3，4}，分别从集合P 和Q 中随机取一个
数作为a 和b ，
求函数)(x f y =在区间[),1+∞上是增函数的概率；
〔2〕设点〔a ，b 〕是区域⎪⎩
⎪
⎨⎧>>≤-+0008y x y x 内的随机点，求()[1,)y f x =+∞在区间上是增
函数的概率.
：〔1〕∵函数14)(2+-=bx ax x f 的图象的对称轴为,2a
b
x =
要使14)(2+-=bx ax x f 在区间),1[+∞上为增函数，
当且仅当
a
>0且
a b a
b
≤≤2,12即 ……………………………3分 假设a =1则b =－1， 假设a =2则b =－1，1； 假设a =3则b =－1，
1； ……………………5分
∴事件包含基本领件的个数是1+2+2=5 ∴所求事件的概
率为
51
153
=. ……………………………7分 〔2〕由〔Ⅰ〕知当且仅当a b ≤2且a >0时，
函数),1[14)(2+∞+-=在区是间bx ax x f 上为增函数，
依条件可知试验的全部结果所构成的区域为80(,)00a b a b a b ⎧⎫
+-≤⎧⎪⎪⎪
>⎨⎨⎬⎪⎪⎪
>⎩⎩⎭
构
成
所
求
事
件
的
区
域
为
三
角
形
部
分
.
由
),38,316(20
8得交点坐标为⎪⎩
⎪
⎨⎧==-+a
b b a …………11分 ∴所求事件的概率为31882
138821=⨯⨯⨯
⨯=P .
13.
如
图
，
已
知
椭
圆
22
22:1x y C a b
+=(0)a b >>的左顶点，右焦点分
别为,A F ，右准线为
m 。

圆D ：
22
320x y x y +---=。

〔Ⅰ〕假设圆D 过,A F 两点，求椭圆C 的方程；
〔Ⅱ〕假设直线m 上不存在点Q ，使AFQ ∆为等腰三角形，求椭圆离心率的取值范围。

〔Ⅲ〕在〔Ⅰ〕的条件下，假设直线m 与x 轴的交点为K ，将直线l 绕K 顺时针旋转
4
π得直线l ，动点P 在直线l 上，过P 作圆D 的两条切线，切点分别为M 、N ，求弦长MN 的最小值。

13．解：〔Ⅰ〕圆22920x y x y +---=与x 轴交点坐标为，
(2,0)A -，(0,1)F ，故2,1a c ==， …………………………………………2分
所以b =
椭圆方程是：22
143
x y += …………………………………………5分 〔Ⅱ〕设直线m 与x 轴的交点是Q ，依题意FQ FA ≥，
即2
a c a c c -≥+, 2
2a a c c
≥+, 12a c c a ≥+, 1
12e e
≥+, 2210e e +-≤
102
e <≤
〔Ⅲ〕直线l 的方程是40x y --=，…………………………………………………6分
圆D 的圆心是13(,)228分 设MN 与PD 相交于H ，则H 是MN 的中点，且P M⊥MD，
2222MD MP MD MN NH MD PD PD ⋅==⋅=⋅=……10分 当且仅当PD 最小时，MN 有最小值，
PD 最小值即是点D 到直线l
的距离是13|
4|
d --==12分
所以MN
的最小值是225⨯=
14．〔本小题总分值16分〕
设3x x f =)(，等差数列{}n a 中73=a ，12321=++a a a ，记n S =(
)
3
1+n a f
，令
n n n S a b =，数列}1
{n
b 的前n 项和为n T .
〔Ⅰ〕求{}n a 的通项公式和n S ； 〔Ⅱ〕求证：3
1<
n T ； 〔Ⅲ〕是否存在正整数n m ,，且n m <<1，使得n m T T T ,,1成等比数列？假设存在，求
出n m ,的值，假设不存在，说明理由.
14.解：〔Ⅰ〕设数列{}n a 的公差为d ，由7213=+=d a a ,12331321=+=++d a a a a .
解得11=a ，d =3 ∴23-=n a n
∵3x x f =)( ∴S n =(
)
3
1+n a f =131+=+n a n .
(Ⅱ) )13)(23(+-==n n S a b n n n
∴
)1
31
231(31)13)(23(11+--=+-=n n n n b n ∴31)1311(31<+-
=n T n (Ⅲ)由(2)知，13+=n n n T ∴13,411+==m m T T m ，1
3+=n n
n T
∵n m T T T ,,1成等比数列.
∴ 1341)13(2+=+n n m m 即n n m
m 4
312
+=+6 当1=m 时，7n
n 4
3+=，n =1，不合题意；
当2=m 时，413n n 43+=，n =16，符合题意； 当3=m 时，919n n 43+=，n 无正整数解； 当4=m 时，1625n n 43+=，n 无正整数解； 当5=m 时，2531n n 43+=，n 无正整数解； 当6=m 时，3637n
n 43+=，n 无正整数解； 当7≥m 时，010)3(1622>--=--m m m ，
则1162
<+m m ，而34
343>+=+n n n ， 所以，此时不存在正整数m,n,且1<m<n,使得n m T T T ,,1成等比数列.
综上，存在正整数m=2,n=16,且1<m<n,使得n m T T T ,,1成等比数列.
*,3(N n n n n ∈≥⨯〕个正数排成的n 行n 列数表，a ij 表示第i 行第j 列的一个数，表
中第一列的数从上到下依次成等差数列，其公差为d ，表中各行，每一行的数从左到右依次都成等比数列，且所有公比相等，公比为q ，已知1,8
3
,41322313===a a a ． 〔1〕求11a ，d ，q 的值；
〔2〕设表中对角线上的数11a ，22a ，33a ，…，nn a 组成的数列为}{n a ，记
nn n a a a a T ++++= 332211，
求使不等式4342--<n T n n n 成立的最小正整数n ．
15．解：〔1〕根据题意可列出如下方程组：
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎨⎧=•+=•+=•,1)2(83)(,4
1112
112
11
q d a q d a q a ……… 4分 解得
2
1
,21,111===q d a …………… 6分
〔2〕11-•=n n nn q a a 1
11])1([-•-+=n q
d n a 1)2
1
(]21)1(1[-•⨯++=n n
n n )2
1
)(1(+=， ………………
…… 10分
nn n a a a a T ++++=∴ 332211n n )2
1
()1()21(4)21(3)21(2321•+++⨯+⨯+⨯= ，
132)2
1
()1()21(3)21(221+•+++⨯+⨯=n n n T ， 两式相减得
132)21)(1()21()21()21(121++-++++=n n n n T 1)21)(1(2
11]
)21
(1[2
121++---⨯+=n n n ， n n n T 2
3
3+-=∴， ………………
…… 14分
于是原不等式化为040234>-⨯-n n ，即0)82)(52(>-+n n ，82>∴n
，3>∴n
故使不等式成立的最小正整数为
4． …………………… 16分 16.〔本小题总分值16分〕
已知数列{}n a 中，12a =，23a =，其前n 项和n S 满足1121n n n S S S +-+=+ 其中〔2n ≥，*
n ∈N 〕． 〔1〕求数列{}n a 的通项公式；
〔2〕设14(1)2(n a n n n b λλ-=+-⋅为非零整数，*
n ∈N 〕，试确定λ的值，使得对任意*
n ∈N ，
都有n n b b >+1成立．
16.解：〔1〕由已知，()()111n n n n S S S S +----=〔2n ≥，*
n ∈N 〕，
即11n n a a +-=〔2n ≥，*
n ∈N 〕，且211a a -=．
∴数列{}n a 是以12a =为首项，公差为1的等差数列． ∴1n a n =+． 〔2〕∵1n a n =+，∴114(1)2n n n n b λ-+=+-⋅，要使n n b b >+1恒成立，
∴()()1
12
114412120n
n n n n n n n b b λλ-++++-=-+-⋅--⋅>恒成立，
∴()
1
1343120n n
n λ-+⋅-⋅->恒成立， ∴()
1
112n n λ---<恒成立．
〔ⅰ〕当n 为奇数时，即1
2
n λ-<恒成立，
当且仅当1n =时，1
2n -有最小值为1， ∴1λ<．
〔ⅱ〕当n 为偶数时，即12n λ->-恒成立，
当且仅当2n =时，1
2
n --有最大值2-， ∴2λ>-．
即21λ-<<，又λ为非零整数，则1λ=-．
综上所述，存在1λ=-，使得对任意*n ∈N ，都有1n n b b +> 17．〔此题总分值16分〕
如图，在直角坐标系xOy 中，有一组底边．．长为n a 的等腰直角三角形n n n A B C ),2,1( =n ，底边．．n n B C 依次放置在y 轴上〔相邻顶点重合〕
，点1B 的坐标为(0,)b ，0b >。

〔Ⅰ〕假设123,,,
,n A A A A 在同一条直线上，求证数列{}n a 是等比数列；
〔Ⅱ〕假设1a 是正整数，123,,,
,n A A A A 依次在函数2y x =的图
象上，且前三个等腰直角三角形面积之和不大于432
，求数列{}n a 的
通项公式。

17．解：〔Ⅰ〕n A 点的坐标依次为111(,)22
a a
A b +，
2221(,)22
a a
A b a ++，…，
11(,)22
n n n n a a
A b a a -++++，…， ……………
………………2分 则111(
,)2222
n n n n
n n a a a a A A +++=-+，1,2,3,n =…， 假设123,,,,n A A A A 共线；则11//n n n n A A A A -+，
即1111(
,)//(,)22222222
n n n n n n n n a a a a a a a a --++-+-+， 即1111()()()()0n n n n n n n n a a a a a a a a -+-+-+-+-=， ……………………………4分
2211111111()()0n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a +-+-+-+--+--+--=， 211n n n a a a -+=，
所以数列{}n a 是等比数列。

……………………………………………6分
〔Ⅱ〕依题意211()22
n n n a a
b a a -++
++
=， 21111()22
n n n n a a
b a a a ++-+++++=，
两式作差，则有：111()()
24
n n n n n n a a a a a a +++++-=， ………………………8分 又10n n a a ++≠，故12n n a a +-=， ……………………………………………10分 即数列{}n a 是公差为2的等差数列；此数列的前三项依次为
,2,4a a a ++，
由222(2)(4)43
4442
a a a ++++≤
，可得22a ≤≤， 故1a =，或2a =，或3a =。

………………………………………12分 数列{}n a 的通项公式是21n a n =-，或2n a n =，或21n a n =+。

………14分 由211()22a a b +
=知，1a =时，1
4b =-不合题意； 2a =时，0b =不合题意；
3a =时，3
04
b =>；
所以，数列{}n a 的通项公式是21n a n =+。

……………………………………16分
*11111,,(1),n n n n n a b a b n b a n N ++===+=+-∈。

⑴求35,a a 的值； ⑵求通项公式n a ； ⑶求证：
123
1111134
n a a a a ++++
<。

18.解：⑴352,5a a ==；
⑵由题意，315321231,3,
,(23)n n a a a a a a n --=+=+=+-，
2211(123)(1)
222
n n n a a n n -+--∴=+
=-+；
同理，22n a n n =+，
22
25
442n n n n a n n n ⎧-+⎪⎪∴=⎨⎪+⎪⎩为奇数为偶数； ⑶当3n ≥时，
2
21
111111
()22(2)22n a n n n n n n
-=
<=--+--， 而
*21111,()(1)1
n n N a n n n n ==-∈++， ∴
123213
2122
21111111
11
1()()n n n
a a a a a a a a a a -++++
=+++++++
131111111
(1)(1)2211
a a n n n <
+++--+--+ 1313
11244
<+++=
19.〔本小题总分值16分〕
已知函数.,ln 1)(R ∈+-=
a x
x
a x f 〔I 〕求)(x f 的极值；
〔II 〕假设ln 0(0,),x kx k -<+∞在上恒成立求的取值范围；
〔III 〕已知.:,,0,021212121x x x x e x x x x >+<+>>求证且 19．解：〔Ⅰ〕
/2
ln (),a x f x x
-=
令/()0f x =得a
x e = 当/(0,),()0,()a x e f x f x ∈>为增函数； 当/
(,),()0,()a
x e f x f x ∈+∞<为减函数， 可知()f x 有极大值为()a
a
f e e -=
〔Ⅱ〕欲使ln 0x kx -<在(0,)+∞上恒成立，只需ln x
k x
<在(0,)+∞上恒成立， 设ln ()(0).x
g x x x
=
> 由〔Ⅰ〕知，1()g x x e e
=在处取最大值，
1k e
∴>
〔Ⅲ〕
1210e x x x >+>>，由上可知ln ()x
f x x
=
在(0,)e 上单调递增， 121112112112
ln()ln ln()
ln x x x x x x x x x x x x ++∴
>>++即 ①，
同理
212212
ln()
ln x x x x x x +>+ ②
两式相加得121212ln()ln ln ln x x x x x x +>+=
1212x x x x ∴+>
20．〔本小题总分值16分〕
已知函数x ax x f ln )(+=，),1(e x ∈，且)(x f 有极值． 〔1〕求实数a 的取值范围；
(2〕求函数)(x f 的值域；
〔3〕函数2)(3--=x x x g ，证明：),1(1e x ∈∀，),1(0e x ∈∃，使得)()(10x f x g =成立．
20．解：〔1〕由x ax x f ln )(+=求导可得：
x a x f 1)('+
= 令01
)('=+=x
a x f 可得x a 1-
= ∵),1(e x ∈ ∴)1
,1(1e
x --∈- ∴)1
,1(e
a --∈ …… 2分
又因为),1(e x ∈
所以，
a 的取值范围为
)1
,1(e
--． …………………… 4分
〔2〕由〔Ⅰ〕可知)(x f 的极大值为)1
ln(1)1(a
a f -+-=--
又∵ a f =)1(，1)(+=ae e f
由1+≥ae a ，解得
e
a -≤11
又∵
e
e 1111-<-<- …………………… 6分
∴当e
a -≤<-111时，函数)(x f 的值域为)]1ln(1,1(a
ae -
+-+ 当
e
a e 111-<<-时
，
函
数
)
(x f 的
值
域
为
)]1
ln(1,(a
a -+-． …………………… 10分
〔3〕证明：由2)(3--=x x x g 求导可得13)('2-=x x g
令013)('2=-=x x g ，解得33
±=x
令013)('2>-=x x g ，解得33-<x 或3
3
>x
又∵),3
3
(),1(+∞⊆∈e x ∴)(x g 在),1(e 上为单调递增函
数 …………………… 12分
∵ 2)1(-=g ，2)(3--=e e e g
∴)(x g 在)
,1(e x ∈的
值
域
为
)2,2(3---e e …………………… 14分
∵ >--23e e )1
ln(1a -+-，<-21+ae ，a
<-2
∴⊆-+-+)]1ln(1,1(a ae )2,2(3---e e ， ⊆-+-)]1
ln(1,(a
a )2,2(3---e e
∴
),1(1e x ∈∀，),1(0e x ∈∃，使得)()(10x f x g =成立． ………………… 16分
21．〔本小题总分值16分〕
已知函数1
()2x f x +=定义在R 上.
〔Ⅰ〕假设()f x 可以表示为一个偶函数()g x 与一个奇函数()h x 之和，设()h x t =，
2()(2)2()1()p t g x mh x m m m =++--∈R ，求出()p t 的解析式；
〔Ⅱ〕假设2()1p t m m ≥--对于[1,2]x ∈恒成立，求m 的取值范围； 〔Ⅲ〕假设方程(())0p p t =无实根，求m 的取值范围.
21.解：〔Ⅰ〕假设()()()f x g x h x =+①，其中()g x 偶函数，()h x 为奇函数，
则有()()()f x g x h x -=-+-，即()()()f x g x h x -=-②，
由①②解得()()()2f x f x g x +-=
，()()
()2
f x f x h x --=.
∵()f x 定义在R 上，∴()g x ，()h x 都定义在R 上.
∵()()()()2f x f x g x g x -+-=
=，()()
()()2
f x f x h x h x ---==-. ∴()
g x 是偶函数，()
h x 是奇函数，∵1
()2x f x +=，
∴11()()221
()2222x x x x f x f x g x +-++-+=
==+， 11()()221
()2222
x x x x f x f x h x +-+---===-.
由1
22
x
x t -
=，则t ∈R ， 平方得222211(2)2222x x x x t =-=+-，∴22
21(2)222x x g x t =+=+，
∴22()21p t t mt m m =++-+.
〔Ⅱ〕∵()t h x =关于[1,2]x ∈单调递增，∴315
24
t ≤≤.
∴222()211p t t mt m m m m =++-+≥--对于315,24t ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
恒成立，
∴222t m t +≥-对于315,24t ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
恒成立，
令22()2t t t
ϕ+=-，则212
()(1)2t t ϕ'=-，
∵315,24t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴212()(1)02t t ϕ'=-<，故22()2t t t ϕ+=-在315,24t ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦上单调递减，
∴max 317()()212t ϕϕ==-，∴17
12
m ≥-为m 的取值范围.
〔Ⅲ〕由〔1〕得22(())[()]2()1p p t p t mp t m m =++-+，
假设(())0p p t =无实根，即22[()]2()1p t mp t m m ++-+①无实根，
方程①的判别式2244(1)4(1)m m m m ∆=--+=-. 1°当方程①的判别式0∆<，即1m <时，方程①无实根. 2°当方程①的判别式0∆≥，即1m ≥时，
方程①有两个实根22()21p t t mt m m m =++-+=-
即2
2
210t mt m +++= ②，
只要方程②无实根，故其判别式2
2
244(10m m ∆=-+<，
即得10-<③，且10- ④，
∵1m ≥，③恒成立，由④解得2m <， ∴③④同时成立得12m ≤<．
综上，m 的取值范围为2m <.
22．〔此题总分值16分〕
已知函数()))
2
1f x =
〔Ⅰ〕设t ，求t 的取值范围；
〔Ⅱ〕关于x 的方程()0f x m -=，[]0,1x ∈，存在这样的m 值，使得对每一个确定的m ，方程都有唯一解，求所有满足条件的m 。

〔Ⅲ〕证明：当01x ≤≤时，存在正数β
4f x -x α
β
≤-
，成立的最小
正数2α=，并求此时的最小正数β。

22.解：〔Ⅰ〕函数定义域[]1,1x ∈-，
2202
t t t
=+≥∴≤，
(4)
分〔Ⅱ〕(
)))
21
f x=，由〔Ⅰ〕
()()32
2
t
f x
g t t
==+，t∈，
()2
'
3
20
2
t
g t t
=+>
，()
g t单调递增，
所以()2
f x⎡⎤
∈+
⎣⎦。

设[]
1212
,0,1,
x x x x
∈≠，
则22
12
11
x x
-≠
-，
12
t t≠。

所以，存在m值使得对一个2
m⎡⎤
∈+
⎣⎦，方程都有唯一解
[]
0,1
x
∈。

………10分
)
42
f x
-=
，
22
21
211
=
()
22
2
4
x x
f x
-
=≤-
以下证明，对02
α
<<的数α及数0
β>，4
f x
-
xα
β
≤-()
01
x
≤≤不成立。

反之，由
()
2
2x
f x
-xα
β
≤-，亦即2xα-
()
2
f x
β
≥成立，
因为20
α
->，
()0
0,0
2
f
x
β
=≥，
但()08
f=，这是不可能的。

这说明α是满足条件的最小正数。

4
f x xα
β
≤-[]
()
0,1
x∈恒成立，
即
()
2
2x
f x
-xα
β
≤-恒成立，
∴
2
max
()
2
f x
xα
β
-
⎛⎫
≥ ⎪
⎝⎭
()
max
4
2
f x
⎛⎫
==
⎪
⎝⎭
，最小正数β=4 。

第四篇加试题
1.假设两条曲线的极坐标方程分别为1
=
ρ与⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
+
=
3
cos
2
π
θ
ρ，它们相交于B
A,两点，求线段AB的长．
．解：由1
ρ=得221
x y
+=，
……………………………
又2
2cos()cos,cos sin
3
π
ρθθθρρθθ
=+=-
∴=
220
x y x
∴+-=，………………………
4分
由
22
22
1
x y
x y x
⎧+=
⎪
⎨
+-+
=
⎪⎩
得
1
(1,0),(,
22
A B--,………………………8分
AB
∴==
2.过点P〔－3，0〕且倾斜角为30°直线和曲线
1
,
()
1
x t
t t
y t
t
⎧
=+
⎪⎪
⎨
⎪=-
⎪⎩
为参数相交于A、B 两点．求线段AB
的长．
直线的参数方程为
3,
()
1
2
x
s
y s
⎧
=-+
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
为参数，………………………………………………3分
曲线
1,()1x t t
t y t t ⎧=+⎪⎪⎨
⎪=-
⎪⎩
为参数可以化为
224x y -=．……………………………………………5分
将直线的参数方程代入上式，得2100s -+=． 设
A
、
B
对
应
的
参
数
分
别
为
12
s s ，，
∴
121210s s s s +==． …………………………8分
AB
12s s =-=
＝
10分
3已知曲线C ：3x 2+4y 2
-6=0〔y ≥0〕. (Ⅰ)写出曲线C 的参数方程；
(Ⅱ)假设动点P(x,y)在曲线C 上，求z=x+2y 的最大值与最小值.
(Ⅰ
)x y θ
θ⎧=⎪⎨=⎪⎩
〔0≤θ≤π，θ为参数〕 ……………………………………4分 (Ⅱ)设点P
的坐标为),(0)θθθπ≤≤，则
θθ
=12(cos )2θθ+
=)6
π
θ+. …………6分 ∵0≤θ≤π，∴7666πππθ≤+≤，∴1sin()126π
θ-≤+≤，
∴当1
sin()62
πθ+=-，即θ=π时，z=x+2y
；
当sin()16
π
θ+
=，即3
π
θ=
时，z=x+2y
取得最大值是(),(|)P A B P A B +.
解：由几何概型得: 41()164P A =
=,5()16P B =,1()16
P AB =, ∴4511
()()()()1616162
P A B P A P B P AB +=+-=+-=, ∴1
()1
16(|)5()
516
P AB P A B P B =
==
1T 是逆时针旋转
2
π
的旋转变换，对应的变换矩阵是1M ；变换2T 对应用的变换矩阵是21101M ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦。

〔Ⅰ〕求点(2,1)P 在1T 作用下的点'P 的坐标；
〔Ⅱ〕求函数2y x =的图象依次在1T ，2T 变换的作用下所得曲线的方程。

解：〔Ⅰ〕10110M -⎡⎤=⎢
⎥⎣⎦，12012111012M --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤
==⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
所以点(2,1)P 在1T 作用下的点'P 的坐标是'(1,2)P -。

…………………………5分 〔Ⅱ〕211110M M M -⎡⎤
==⎢
⎥
⎣⎦
， 设x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦是变换后图像上任一点，与之对应的变换前的点是00x y ⎡⎤⎢
⎥⎣⎦
， 则00x x M y y ⎡⎤⎡⎤
=⎢
⎥
⎢⎥⎣⎦
⎣⎦， 也就是⎧⎨
⎩000x y x x y -==，即⎧⎨⎩00x y
y y x
==-，
所以，所求曲线的方程是2
y x y -=
6.已知矩阵A ＝⎣⎢
⎡⎦⎥⎤ 3 3 c d ，假设矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤11，属于
特征值1的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
3－2．求矩阵A ，并写出A 的逆矩阵．
解：由矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11可得，⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 3 c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝6⎣⎢⎡⎦
⎥⎤11， 即
c
＋
d
＝
6； ………………………………………………………2分
由矩阵A 属于特征值1的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤ 3－2，可得⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 3 c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－2，
即
3c
－
2d
＝
－
2， …………………………………………………………6分 解
得
⎩⎨
⎧c ＝2，
d ＝4．
即A ＝
⎣⎢⎡⎦
⎥⎤ 3 3 2 4， …………………………………………8分 7.过点A 〔2，1〕作曲线()23f x x =-的切线l ． 〔Ⅰ〕求切线l 的方程；
〔Ⅱ〕求切线l ，x 轴及曲线所围成的封闭图形的面积S ．
解：〔Ⅰ〕∵1
()23
f x x '=-，∴(2)1f '=，
∴切线l 的方程为12y x -=-，即1y x =-．……………………………………………4分 〔Ⅱ〕令()23f x x =-＝0，则3
2
x =
．令1y x =-＝0，则x ＝1． ∴A ＝22
3
1
2
(1)23x dx x dx ---⎰⎰＝322
2211()(23)31232x x x ---＝16．的逆矩阵是
⎣⎢⎡⎦
⎥⎤ 23 －12 －13 12
ABCDE 中，DA ⊥平面EAB ，CB ∥DA ，2EA DA AB CB ===，
EA AB ⊥，M 是EC 的中点．
〔1〕求证：DM EB ⊥；〔2〕求二面角M BD A --的余弦值．M
C
E
D
A
B
解： 建立如下图的空间直角坐标系， 并设22EA DA AB CB ====，则
〔Ⅰ〕31,1,2DM ⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭，(2,2,0)EB =-，
所以0DM EB ⋅=，从而得
DM EB ⊥；
〔Ⅱ〕设1(,,)n x y z =是平面BD M 的法向量，则由1n DM ⊥，1n DB ⊥及
31,1,2DM ⎛
⎫=- ⎪⎝⎭，(0,2,2)DB =-得11
302220
n DM x y z n DB y z ⎧
⋅=+-=⎪⇒⎨⎪⋅=-=⎩可以取
1(1,2,2)n =． 显然，2(1,0,0)n =为平面ABD 的法向量．
设二面角M BD A --的平面角为θ，则此二面角的余弦值
121212||1
cos |cos ,|3
||||n n n n n n θ⋅=<>=
=⋅．
9.学校文娱队的每位队员唱歌、跳舞至少会一项，已知会唱歌的有2人，会跳舞的有5人，现从中选2人．设ξ为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数，且10
7
)0(P =
>ξ． 〔Ⅰ〕求文娱队的人数；
〔Ⅱ〕写出ξ的概率分布列并计算E ξ．
解：设既会唱歌又会跳舞的有x 人，则文娱队中共有〔7-x 〕人，那么只会一项的人数是〔7-2 x 〕人．
(I)∵10
7)0(P 1)1(P )0(P =
=-=≥=>ξξξ， ∴103)0(P ==ξ．即10
3
C C 2x 722x 7=--．
∴
10
3
)x 6)(x 7()2x 6)(2x 7(=----．
∴x=2． 故文娱队共有5人．
(II) 54C C C )1(P 251412=⋅==ξ，10
1
C C )2(P 2
52
2===ξ， ξ的概率分布列为
∴10
251100E ⨯+⨯+⨯=ξ =1． 10.在一次电视节目的抢答中，题型为判断题，只有“对”和“错”两种结果，其中某明星判断正确的概率为p ，判断错误的概率为q ，假设判断正确则加1分，判断错误则减1分，现记“该明星答完n 题后总得分为n S ”．
〔1〕当21
=
=q p 时，记||3S =ξ，求ξ的分布列及数学期望及方差； 〔2〕当3
2
,31==q p 时，求)4,3,2,1(028=≥=i S S i 且的概率．
1〕||3S =ξ 的取值为1，3，又2
1
==q p ；
故43)2
1()21(2)1(21
3=
⋅==C P ξ，4
1
)21()21()3(33=+==ξP ． 所以 ξ的分布列为：
且ξE =1×
43+3×41=2
3
； 〔2〕当S 8=2时，即答完8题后，答复正确的题数为5题，答复错误的题数是3题，
又已知)4,3,2,1(0=≥i S i ，假设第一题和第二题答复正确，则其余6题可任意答对3题；
假设第一题和第二题答复错误，第三题答复正确，则后5题可任意答对3题． 此时的概率为33
536587123088080()()()()33218733
P C C ⨯=+⋅⋅==或
11.随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元．设1件产品的利润〔单位：万元〕为ξ． 〔Ⅰ〕求ξ的分布列；
〔Ⅱ〕求1件产品的平均利润〔即ξ的数学期望〕；
〔Ⅲ〕经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%．如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？
解：(1)ξ的所有可能取值有6，2，1，-2；126(6)0.63200P ξ==
=，50
(2)0.25200
P ξ=== 20(1)0.1200P ξ==
=，4
(2)0.02200
P ξ=-== 故ξ的分布列为：
6
2 1
-2
〔2〕60.6320.2510.1(2)0.02 4.34E ξ=⨯+⨯+⨯+-⨯= 〔3〕设技术革新后的三等品率为x ，则此时1件产品的平均利润为
()60.72(10.70.01)(2)0.01 4.76(00.29)E x x x x =⨯+⨯---+-⨯=-≤≤。