2.3双曲线及与直线的交点课件

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(5)从上述过程可以看到，双曲线上任意一点的坐标都满足 方程②；以方程②的解(x，y)为坐标的点到双曲线两个焦点 (－c,0)，(c,0)的距离之差的绝对值为 2a ，即以方程②的解 为坐标的点都在双曲线上，这样，就把方程②叫做双曲线 的标准方程．
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y2 同理求得焦点在 y 轴上时，双曲线方程为 －x2＝1. 1 2
答案 D
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x2 y2 (2)若双曲线以椭圆 ＋ ＝1 的两个顶点为焦点， 且经过椭 16 9 x2 y2 圆的两个焦点，则双曲线的标准方程为 ____________ 7 － 9 ＝1 ． x2 y2 解析 椭圆16＋ 9 ＝1 的焦点在 x 轴上，且 a＝4，b＝3，c
本节课的学习要运用类比的方法，在与椭圆的联系
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与区别中建立双曲线的定义及标准方程．
填一填· 知识要点、记下疑难点
1．双曲线的定义
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把平面内与两个定点 F1， F2 的距离的 ________________ 差的绝对值 等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线， 这两个定
直线与双曲线的位置关系
含 焦 点 区 域 内
含 焦 点 区 域 外
含 焦 点 区 域 内
过点P且与双曲线相 切的直线最多有2条
也就是说过点P作双 曲线的切线条数可 能是2条、1条、0条
当点P在含焦点区域 外的黄色和绿色区域 时，能作2条切线。
当点P在黄色区域时，所作的2条 切线只能分别与双曲线的两支相切。
找一点 B，使 |OB|＝ b 吗？
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答案 以双曲线与 x 轴的交点 A 为圆心，以线段 OF2 为 半径画圆交 y 轴于点 B.
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例 1 (1)已知双曲线的焦点在 y 轴上，并且双曲线过点 (3， 9 －4 2)和 ，5，求双曲线的标准方程； 4 x2 y2 (2)求与双曲线 － ＝ 1 有公共焦点，且过点 (3 2 ， 2) 16 4 的双曲线方程．
x2 y2 (2)方法一 设双曲线方程为 2－ 2＝1. a b
由题意易求得 c＝2 5.
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3 22 4 又双曲线过点(3 2，2)，∴ 2 － 2＝1. a b 又∵a2＋b2＝(2 5)2，∴a2＝12，b2＝8. x2 y2 故所求双曲线的方程为12－ 8 ＝1. x2 y2 方法二 设双曲线方程为 － ＝1 (－4<k<16)， 16－k 4＋k 将点(3 2，2)代入得 k＝4， x2 y2 ∴所求双曲线方程为12－ 8 ＝1.
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y2 的系数符号决定了焦点所在的坐标轴．当 x2 系数为 正时，焦点在 x 轴上；当 y2 系数为正时，焦点在 y 轴 上．而与分母的大小无关．
两种形式可统一表示为 mx2＋ny2＝1(mn<0)．
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问题 3
如图，类比椭圆中 a，b，c 的意义，你能在 y 轴上
_________________ (a>0，b>0) 焦点 焦距 F1(－ c,0)， F2(c,0)
y2 x2 2－ 2＝1 a b ___________________ (a>0，b>0) ___________________
(0，－c) ， ， c) F1__________ F2(0 ______
结论：双曲线的标准方程
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标准 方程
焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上 x2 y2 y2 x2 a2－b2＝1 a2－b2＝1 (a>0，b>0) (a>0，b>0)
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问题 2 两种形式的标准方程怎样进行区别？能否统一？
答案 两个标准方程的区别：双曲线标准方程中 x2 与
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的绝对值为常数 2a,2 2a<|F1F2 |时，动点的轨迹才是双曲线；
当 2a＝|F1F2 |时，动点的轨迹是两条射线；
当 2a>|F1F2 |时，满足条件的点不存在．
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问题 4 已知点 P(x，y)的坐标满足下列条件，试判断下列 各条件下点 P 的轨迹是什么图形？ (1)| x＋52＋y2－ x－52＋y2|＝6；
y2 x2 解 (1)由已知可设所求双曲线方程为 2－ 2＝1 (a>0， a b 32 9 a2 －b2＝1 2 2 a ＝ 16 ， b ＝9， b>0)，则 解得 81 25 2－ 2＝1， a 16 b
y2 x2 ∴双曲线的方程为16－ 9 ＝1.
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当点P在含焦点区域外 的黄色和绿色区域时， 能作4条直线与双曲线 只有一个公共点。
P
P
当点P在双曲线上时，能 作3条直线与双曲线只有 一个公共点。
P
当点P在渐近线上（中心 除外）、含焦点区域内 时，只能作2条直线与双 曲线只有一个公共点。
当点P在其中一条渐近 线上（中心除外）时， 一条是切线，一条是与 另一条渐近线平行。
＝ 7，所以焦点为(± 7，0)，顶点为(± 4,0)． 于是双曲线经过点(± 7， 0)， 焦点为(± 4,0)， 则 a′＝ 7， c′ 2 2 x y ＝4，所以 b′2＝9，所以双曲线的标准方程为 － ＝1. 7 9
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探究点三 与双曲线定义有关的应用问题 x2 y2 例 2 已知双曲线的方程是 － ＝1，点 P 在双曲线上， 16 8
x2 y2 跟踪训练 2 如图，从双曲线 － ＝1 的 3 5 左焦点 F 引圆 x2＋y2＝3 的切线 FP 交双 曲线右支于点 P，T 为切点，M 为线段
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FP 的中点， O 为坐标原点，则|MO|－ |MT |等于 ( C ) A. 3 C. 5－ 3 B. 5 D. 5＋ 3
P
当点P在绿色区域时，所 作的2条切线只能都与双 曲线的一支相切。
P
当点P在渐近线上（中 心除外）、双曲线上 时，只能作1条切线。 P
P
当点P在含焦点区域 内、中心时，不可能 作出双曲线的切线。
P P P
过点P且与双曲线只 有一个公共点的直 线最多有4条
也就是说过点P作与 双曲线只有一个公共 点的直线条数可能是 4条、3条、2条、0条
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且到其中一个焦点 F1 的距离为 10，点 N 是 PF1 的中点， 求|ON|的大小(O 为坐标原点)．
解
设双曲线的另一个焦点为 F2，连接 PF2，ON 是三
角形 PF1F2 的中位线， 1 所以|ON|＝ 2|PF2 |，因为||PF1|－ |PF2 ||＝8， |PF1|＝10， 1 所以|PF2|＝2 或 18， |ON|＝2|PF2 |＝1 或 9.
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b 跟踪训练 1 (1)过点(1,1)且 ＝ 2的双曲线的标准方程是 a x2 2 y2 A. －y ＝1 B. －x2＝1 1 1 2 2 2 2 2 y x y C．x2－ ＝1 D. －y2＝1 或 －x2＝1 1 1 1 2 2 2 b 解析 由于 ＝ 2，∴b2＝2a2. a x2 y2 当焦点在 x 轴上时，设双曲线方程为 2－ 2＝1，代 a 2a 2 1 x 入(1,1)点，得 a2＝2.此时双曲线方程为 1 －y2＝1. 2 ( )
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小结
(1) 双曲线标准方程的求解方法是 “ 先定型，后计
算”． 先看焦点所在的坐标轴是 x 轴还是 y 轴，从而设出
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相应的标准方程． (2)在求双曲线的方程时，若不知道焦点的位置，则进行讨 论，或可直接设双曲线的方程为 Ax2＋By2＝1 (AB<0)． x2 y2 (3)与双曲线 2－ 2＝1 共焦点的双曲线的标准方程可设为 a b x2 y2 2 2 － ＝ 1( － b < λ < a )． a2－ λ b2＋ λ
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问题 2
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双曲线的定义中强调平面内动点到两定点的距离
差的绝对值为常数，若没有绝对值，则动点的轨迹是什 么？
答案 支．
若没有绝对值，动点的轨迹就成了双曲线的一
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问题 3 双曲线的定义中， 为什么要限制到两定点距离之差
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探究点二 双曲线的标准方程 问题 1 类比椭圆的标准方程推导过程， 思考怎样求双曲线 的标准方程？
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答案 (1)建系：以直线 F1F2 为 x 轴，F1F2 的中点为原 点建立平面直角坐标系．
(2)设点：设 M(x，y)是双曲线上任意一点，且双曲线的 焦点坐标为 F1(－c,0)，F2(c,0)．
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小结
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双曲线的定义是解决与双曲线有关的问题的主要依
据． 在应用时， 一是注意条件||PF1 |－|PF2 ||＝2a (0<2a<|F1F2 |) 的使用，二是注意与三角形知识相结合，经常利用正、余 弦定理，同时要注意整体运算思想的应用．
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(2) x＋42＋y2－ x－42＋y2＝6.
解
(1)∵ | x＋52＋y2－ x－52＋y2 |表示点 P(x，y)
到两定点 F1(－5,0)、F2(5,0)的距离之差的绝对值，
|F1F2 |＝10，∴ ||PF1|－ |PF2 ||＝6<|F1F2 |，
双曲线的焦点 ， 两焦点间的距离 点叫做______________ ______________叫做双曲线的
焦距．
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2．双曲线的标准方程 焦点在 x 轴上
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焦点在 y 轴上
x2 y2 － ＝1 标准方程 _________________ a2 b2
P
当点P在含焦点区域 内时，两条是分别与 两条渐近线平行。
P
当点P在双曲线的中 心时，不可能作出一 条直线与双曲线只有 一个公共点。
P
The end
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2．3.1
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双曲线及其标准方程
1．了解双曲线的定义，几何图形和标准方程的推导过程． 2．掌握双曲线的标准方程． 3．会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题．
2 2
a ＋b |F1F2|＝ 2c，c2＝ ________
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探究点一 双曲线的定义
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问题 1 取一条拉链， 拉开它的一部分， 在拉开的两边上各 选择一点， 分别固定在点 F1， F2 上， 把笔尖放在点 M 处， 拉开闭拢拉链，笔尖经过的点可画出一条曲线，思考曲 线满足什么条件？
(3)列式：由|MF1 |－|MF2 |＝± 2a， 可得 x＋c2＋y2－ x－c2＋y2＝± 2a. ①
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(4)化简：移项，平方后可得 (c2－a2)x2－ a2y2＝a2(c2－a2)． 令 c2－a2＝b2，得双曲线的标准方程为 x2 y2 2－ 2＝ 1 (a>0， b>0)． a b ②
故点 P 的轨迹是双曲线．
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(2)∵ x＋ 42＋ y2－ x－ 42＋ y2表示点 P(x， y)到两定
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点 F1(－ 4,0)、 F2(4,0)的距离之差，|F1F2|＝ 8， ∴|PF1|－ |PF2 |＝6<|F1F2|， 故点 P 的轨迹是双曲线的右支．
答案 如图，曲线上的点满足条件： |MF1|－|MF2|＝常数；如果改变一下位置， 使|MF2|－|MF1|＝常数，可得到另一条曲线．
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结论：平面内与两个定点 F1、F2 的距离的差的绝对值等于 常数(小于|F1F2 |) 的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做 双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．