重庆中考复习数学“线段最值问题”漫谈优质课件

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H´
O
重庆中考复习数学“线段最值问题” 漫谈优 质课件
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分类例析
垂线段最短类
【例9】 2020•营口
基本思想 同侧化异侧、折线化直线
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F1
F´
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【例10】（2020•内江）
AC=5，则AE的最小值是
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法一： 特殊位置定轨迹
E
Q
A
E
A
5
M
P
D
B
4
C
D
B
C
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动点轨迹之----瓜豆原理（核心方法：构相似）
【例3】如图,直角 ABC中,∠C=90∘,D是AC边上一动点,以BD为边,
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核心知识
所有线段最值问题核心知识的老祖宗只有两个： ①两点之间，线段最短； ②点线之间，垂线段最短。
基本图形
A
P
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P
PA+PB>AB
B
A
B
AB最短
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地叨念：“胡不归？胡不归？”
H
这个古老的传说，引起了人们的思索：
小伙子能否提前到家？倘若可以，他应该
沙地
选择一条怎样的路线呢？这就是风靡千百
年的“胡不归”问题。
A
P
驿道 M
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【数学问题】
根据两种路面的状况和在其上行走的速度值，可以在AC上选定一点P，
将军饮马类
【例13】（两动两定型）如图，已知A（﹣6，2），B（﹣2，4），
点M是y轴正半轴上一点，点N是x轴负半轴上一点，连接AB，BM，
MN，NA．则四边形ABMN周长的最小值为
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河边
B1
M1
河边
N1
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A1
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B
D P
C
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动点轨迹之------瓜豆原理
瓜豆原理：若两动点到某定点的距离之比是定值，夹角是定角，
则两动点的运动路径相同。 瓜豆原理是主从联动问题，主动点叫做瓜，从动点叫做豆，
瓜在直线上运动，豆的运动轨迹也是直线；瓜在圆周上运动，豆 的运动轨迹也是圆。
沿射线DB平移得到△A'B'D'，连接B′C，D′C，则B'C+D'C的最
小值是
．
C2
C1
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“胡不归”问题
【古老传说】说的是一个身在他乡的小伙子，得知父亲病危的消息后
便日夜赶路回家。（如下图）点A 是出发地，B 是目的地；AC 是一条
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问题关键
复杂的几何最值问题的关键------明确动
点运动的路径（轨迹）
B
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O D
A
E
C
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【例2】
A
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部的一个动点，且AE⊥BE，则线段CE的最小值为
.
O
E´
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【例8】如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满
足AE=DF。连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H.若正
方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是
⑦圆圆之间，连心线截距最短（长）
基本图形
E
A
O
C
B DM
F
结论
AB最长 CD最短
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解决策略
复杂的几何最值问题都是在基本图形的基础上进行变式 得到的，在解决这一类问题的时候，常常需要通过几何变换 进行转化，逐渐转化为“基本图形”，再运用“基本图形” 的知识解决。常运用的典型几何变换有： （1）平移------“架桥选址” （2）翻折------“将军饮马“ （3）旋转------“费马点问题“ （4）相似------“阿氏圆问题“ （5）三角------“胡不归问题“ （6）多变换综合运用
将军饮马类
【例17】（知识综合型）如图，正方形ABCD的边长是4，点E是
AD边上一动点，连接BE，过点A作AF⊥BE于点F，点P是AD边上
另一动点，则PC+PF的最小值为
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C1
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O
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架桥选址类
【例18】已知A（1，1）、B（4，2）,CD为轴上一条
【例4】
y
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A
Q2
P
M
O
x
Q
解题顺口溜 “两动两定取新点” “相同操作连新从” “手拉手型得相似” Q1 “相似定值得轨迹”
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【例5】
M1 N
解题顺口溜
“连接心动取新点”
“相同操作
”
“A型相似得定值”
“根据定值得轨迹”
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将军饮马类
【例12】（一动两定型）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC
＝4，BC＝6，CD平分∠ACB交AB于点D，点E是AC的中点，点P
是CD上一动点，则PA+PE的最小值是为
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河边
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E1
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深刻理解把握这一问题的基本原理、解决策略，利于我们 把握中考方向，在教学实践中才能做到有的放矢，提高教学的 针对性、有效性。
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基本类型
1.点到点
单动线段最值32..点点到到圆线
线段最值
两动线段最值PPAA
PB kPB
三动线段最值费其马它P点A模 型PB PC型
l
A
A
C
C
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B
B
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动点轨迹之----瓜豆原理（核心方法：构相似）
【例3】如图,直角 ABC中,∠C=90∘,D是AC边上一动点,以BD为边,
在BD上方作等腰直角 BDE,使得∠BDE=90∘，连接AE.若BC=4，
驿道，而驿道靠目的地的一侧是沙地。为了急切回家，小伙子选择了直
线路程AB。但是，他忽略了在驿道上行走要比在砂地上行走快的这一因
素。如果他能选择一条合适的路线（尽管这条路线长一些，但是速度可
以加快），是可以提前抵达家门的。然而，当他气喘吁吁地来到父亲的
面前时，老人刚刚咽气了。人们告诉他，在弥留之际，老人在不断喃喃
在BD上方作等腰直角 BDE,使得∠BDE=90∘，连接AE.若BC=4，
AC=5，则AE的最小值是
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B
E A
E1
5
D
4
C
法二： 构造法 定轨迹
解题顺口溜 “两动两定取新点” “相同操作连新从” “手拉手型得相似” “相似定值得轨迹”
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【例15】（三动点型）如图，点A是⊙O2上一动点，点B是⊙O1
上一动点，点P是直线L上动点，且⊙O1的半径为3，⊙O2的半径
为5，O1O2=18，则PA+PB的最小值是
．
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O2
A P
B O1
l
O2
A P
A1 A2 O3
B O1 B2 l
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【例6】如图,菱形ABCD边长为4,∠A=60〫 ,M是AD边的中点,N是
AB边上一动点,将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A´MN,连
接A´C, 则A´C的最小值是
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A1
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【例7】如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，E是矩形内
由此派生：
③三角形两边之和大于第三边 Nhomakorabea基本图形
A
P
结论
PA+PB>AB
B
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④平行线之间，垂线段最短
基本图形
A
C
BD
结论
AB最短
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M1
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N1
N2
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【例11】（2020•铁岭）如图，已知平行四边形ABCD
的顶点A的坐标为（0，4），顶点B、D分别在x轴和
直线 y＝﹣3 上，则对角线AC的最小值是
．
y
A
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是 AC 上两动点，且 MN=2，则BM+BN的最小值为__________.
解题要点：
将定点沿定长方向平移
定长距离 将军饮马
B1
B1
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架桥选址类
【例20】如图，在矩形ABCD中，AB＝ 3 ，BC＝1，将△ABD
y=-1.5
B OM N
y=-3
x D
C
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分类例析
将军饮马类
基本思想 ------ 同侧化异侧、折线化直线 基本方法 ------ N个动点N条河，N次对称跑不脱 解题关键 ------ 根据结论抓点、线
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将军饮马类
【例14】（两动一定型）如图，∠AOB＝45°，点P是∠AOB
内的定点且OP＝ 2，若点M、N分别是射线OA、OB上异于点
O的动点，则△PMN周长的最小值是
．
P1
河边
N1
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M1
P2
河边
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将军饮马类
⑤点圆之间，点心线截距最短（长） 基本图形
C
B
O
A
结论
P PA最短 PB最长
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⑥线圆之间，心垂线截距最短
基本图形
A
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MO
B NP
结论
PA最长 PB最短
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将军饮马类
＊【例16】（三动点型）如图，在△ABC中, AC=1，∠BAC=60°，
且 AC⊥BC，弧BC所对的圆心角为 60°.若点 P 在弧BC上运动，
E、F 分别在 AB、AC 上，则PE+PF+EF 的最小值为
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P1
A
E
F
B
P P3
P2
C
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O
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1 PA PB 2
动线段，D在C点右边且CD＝1，求：AC+CD+DB的最
小值和此时C点的坐标；
y
y
解题要点：
将定点沿定长方向平移
B
B1
B
A
A1
A
定长距离 将军饮马
O
CD
xO
CD
x
A1
B1
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架桥选址类
【例19】如图，菱形 ABCD 中，AB=4，∠BAD=60°，M、N
小伙子从A走到P，然后从P折往B，可望最早到达B。
问 题 ： 若 在 驿 道 上 行 走 的 速 度 为 v1=8km/h ， 在 沙 地 上 行 走 的 速 度 为
v2=4km/h.（1）小伙子回家需要的时间可表示为 （2）点P选择在何处他回家的时间最短？
AP P; B
84
1 4
1 2
PA
PB
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动点轨迹之----隐圆问题
【模型1】 共端点，等线段模型
O
C
B A
图1
C O
B A
图2
【模型2】 定弦定角模型
N
M
O
C
A
BO
图3
A
B
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“线段最值问题”漫谈
目 录
1 命题地位 2 基本类型 3 核心知识 4 解决策略 5 问题关键 6 分类例析 7 考题赏析
命题地位
“线段最值”问题是重庆中考的热点问题（每年必考），题型 多样，变化灵活，综合性强，考查的知识点众多，涉及多种数 学思想、方法和技能技巧，对学生的各种能力要求较高，一般 都是各题型的压轴题，拉分题。