第六章第28课和圆有关的位置关系
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3．如图，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别是A，B，∠P＝ 60°，PA＝10，则⊙O的半径是 ___5___．
B组 4．如图，在同一平面直角坐标系中有5个点：
A(1，1)，B(－3，－1)，C(－3，1)，D(－22)， E(0，－3)． (1)用尺规作出△ABC的外接圆⊙P，并指出点D与⊙P的位 置关系； (2)若直线l经过点D(－2，－2)，E(0，－3)，判断直线l与 ⊙P的位置关系．
2．直线与圆的位置：已知圆的半径等于5 cm，圆心到直线l的距离 分别是4 cm，5 cm，6 cm，则直线和圆的位置关系分别是 (1)__相__交____，(2)__相__切____，(3)__相__离____．
3．圆的切线的判定：经过半径的___外__端___并且 ___垂__直__于__这___条__半__径__的__直线是圆的切线．
∴直线DM与⊙O相切.
C组
6．如图，AB是⊙O的直径，点F，C是⊙O上两点， 且 AF FC CB ，连接AC，AF，过点C作CD⊥AF
交AF延长线于点D，垂足为点D. (1)求证：CD是⊙O的切线； (2)若CD＝2 3 ，求⊙O的半径．
提示：（1）连接OC，由FC=BC ， 根据圆周角定理，得∠FAC=∠BAC. 而∠OAC=∠OCA，
【变式1】已知，如图，∠AOB＝30°，M为OB边上任 意一点，以M为圆心r为半径的⊙M，当⊙M与OA相切 时，OM＝2 cm，则r＝_____1_____cm.
【考点2】圆的切线的判定 【例2】如图，⊙O经过菱形ABCD的三个顶点A， C，D，且与AB相切于点A.求证：BC为⊙O的切线．
提示：连接OA,OB,OC, ∵⊙O与AB相切于点A, ∴∠OAB=90°. 易证 △AOB≌△COB. ∴∠BCO=∠OAB=90°. ∴BC是⊙O的切线.
解：作图略，点D在⊙P上.
（2）直线DE与⊙P相切
5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径作 ⊙O交AB于点D，连接CD.
(1)求证：∠A＝∠BCD； (2)若M为线段BC上一点，试问当点M在什么位置时，直线DM 与⊙O相切？并说明理由． 证明：（1）∵AC为直径，∴∠ADC=90°.
∵DE⊥BC，∴DE⊥OD．
∴直线DE是⊙O的切线．
【考点3】切线长定理
【例3】如图， 已知△ABC，AC＝BC＝6，∠C＝90°.O是 AB的中点，⊙O与AC，BC分别相切于点D与点E.点F是⊙O 与AB的一个交点，连DF并延长交CB的延长线于点G，求CG 的长度． 解：连接OD，则OD⊥AC.
则∠FAC=∠OCA. 可判断OC∥AF.由于CD⊥AF，所以OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线
（2）连接BC，由AB为直径，得∠ACB=90°.
由 AF FC CB ,得∠BOC=60°.则∠BAC=30°. 所以∠DAC=30°.
4．如图，PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B， 则PA＝_P__B_____，∠1＝__∠_2_____．
二、例题与变式
【考点1】直线与圆的位置
【例1】在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，CB＝3，若以C为 圆心，以r为半径作圆，那么： (1)当直线AB与⊙C相离时，r的取值范围是__0_<_r_<__2_.4____； (2)当直线AB与⊙C相切时，r的取值范围是_r_=__2_.4___； (3)当直线AB与⊙C相交时，r的取值范围是__r_>_2_._4__．
∴∠A+∠DCA=90°. ∵∠ACB=90°，
∴∠DCB+∠ACD=90°. ∴∠DCB=∠A.
（2）解：当MC=MD（或点M是BC的中点）时，
直线DM与⊙O相切.理由如下：
连接DO，∵DO=CO，∴∠ODC=∠OCD，
∵DM=CM，∴∠MDC=∠MCD.
∵∠OCD +∠MCD =90°，∴∠ODC +∠MDC =90°.
《中考新导向初中总复习（数学）》配套课件
第六章 圆 第28课 和圆有关的位置关系
，
一、考点知识
1．点与圆的位置关系：已知圆的半径是8 cm. (1)若点M到O的距离是4 cm，则点M在圆__内________． (2)若点Q到O的距离是8 cm，则点Q在圆___上_______． (3)若点E到O的距离是10 cm，则点E在圆___外_______．
2
三、过关训练 A组
1．正方形ABCD的边长为2 cm，以A为圆心2 cm为半径作 ⊙A，则点B在⊙A__上______；点C 在⊙A__外______；点D 在⊙A__上______．
2．已知圆的半径是6.5 cm，圆心到直线l的距离是4.5 cm，那么这
条直线和圆的公共点பைடு நூலகம்个数是__两__个____．
∴CG=BC+BG= 3 3 2 .
【变式3】如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点， 求证：∠ABO＝ 1 ∠APB
2
证明：连接OP, ∵PA，PB是⊙O的两条切线,A，B为切点， ∴∠OBP=∠OAP=90°. 又∵OB=OA, OP=OP, ∴BP=AP. ∴△OBP≌△OAP. ∴∠OPB=∠OPA. 又∵OA=OB. ∴∠OBA=∠OAB. 又∵∠OBA+∠OAB+∠BOA=180°. ∴∠APB+∠BOA=180°. ∴∠OBA+∠OAB=∠APB. 又∠OBA=∠OAB, ∠ABO= 1∠APB.
【变式2】如图，在△ABC中，AB＝BC，以AB 为直径的⊙O与AC交于点D，过点D作DF⊥BC，交 AB的延长线于点E，垂足为点F，求证：直线DE是 ⊙O的切线 .
证明：连接OD，BD， ∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=∠90°. ∴BD⊥AC.
∵AB=BC，∴AD=DC.
∵OA=OB，∴OD∥BC.
∵∠C=90°，∴OD∥CB. ∵O是AB的中点，∴OD是△ABC的中位线，即OD= 1 BC=3.
2
∵AC=BC=6. ∠C=90°，∴AB= 6 2，则OB= 3 .2
∵OD∥CG，∴∠ODF=∠G.
∵OD=OF，则∠ODF=∠OFD. ∴∠BFG=∠OFD=∠G.
∴BF=BG=OB－OF= 3 2 3 ，
B组 4．如图，在同一平面直角坐标系中有5个点：
A(1，1)，B(－3，－1)，C(－3，1)，D(－22)， E(0，－3)． (1)用尺规作出△ABC的外接圆⊙P，并指出点D与⊙P的位 置关系； (2)若直线l经过点D(－2，－2)，E(0，－3)，判断直线l与 ⊙P的位置关系．
2．直线与圆的位置：已知圆的半径等于5 cm，圆心到直线l的距离 分别是4 cm，5 cm，6 cm，则直线和圆的位置关系分别是 (1)__相__交____，(2)__相__切____，(3)__相__离____．
3．圆的切线的判定：经过半径的___外__端___并且 ___垂__直__于__这___条__半__径__的__直线是圆的切线．
∴直线DM与⊙O相切.
C组
6．如图，AB是⊙O的直径，点F，C是⊙O上两点， 且 AF FC CB ，连接AC，AF，过点C作CD⊥AF
交AF延长线于点D，垂足为点D. (1)求证：CD是⊙O的切线； (2)若CD＝2 3 ，求⊙O的半径．
提示：（1）连接OC，由FC=BC ， 根据圆周角定理，得∠FAC=∠BAC. 而∠OAC=∠OCA，
【变式1】已知，如图，∠AOB＝30°，M为OB边上任 意一点，以M为圆心r为半径的⊙M，当⊙M与OA相切 时，OM＝2 cm，则r＝_____1_____cm.
【考点2】圆的切线的判定 【例2】如图，⊙O经过菱形ABCD的三个顶点A， C，D，且与AB相切于点A.求证：BC为⊙O的切线．
提示：连接OA,OB,OC, ∵⊙O与AB相切于点A, ∴∠OAB=90°. 易证 △AOB≌△COB. ∴∠BCO=∠OAB=90°. ∴BC是⊙O的切线.
解：作图略，点D在⊙P上.
（2）直线DE与⊙P相切
5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径作 ⊙O交AB于点D，连接CD.
(1)求证：∠A＝∠BCD； (2)若M为线段BC上一点，试问当点M在什么位置时，直线DM 与⊙O相切？并说明理由． 证明：（1）∵AC为直径，∴∠ADC=90°.
∵DE⊥BC，∴DE⊥OD．
∴直线DE是⊙O的切线．
【考点3】切线长定理
【例3】如图， 已知△ABC，AC＝BC＝6，∠C＝90°.O是 AB的中点，⊙O与AC，BC分别相切于点D与点E.点F是⊙O 与AB的一个交点，连DF并延长交CB的延长线于点G，求CG 的长度． 解：连接OD，则OD⊥AC.
则∠FAC=∠OCA. 可判断OC∥AF.由于CD⊥AF，所以OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线
（2）连接BC，由AB为直径，得∠ACB=90°.
由 AF FC CB ,得∠BOC=60°.则∠BAC=30°. 所以∠DAC=30°.
4．如图，PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B， 则PA＝_P__B_____，∠1＝__∠_2_____．
二、例题与变式
【考点1】直线与圆的位置
【例1】在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，CB＝3，若以C为 圆心，以r为半径作圆，那么： (1)当直线AB与⊙C相离时，r的取值范围是__0_<_r_<__2_.4____； (2)当直线AB与⊙C相切时，r的取值范围是_r_=__2_.4___； (3)当直线AB与⊙C相交时，r的取值范围是__r_>_2_._4__．
∴∠A+∠DCA=90°. ∵∠ACB=90°，
∴∠DCB+∠ACD=90°. ∴∠DCB=∠A.
（2）解：当MC=MD（或点M是BC的中点）时，
直线DM与⊙O相切.理由如下：
连接DO，∵DO=CO，∴∠ODC=∠OCD，
∵DM=CM，∴∠MDC=∠MCD.
∵∠OCD +∠MCD =90°，∴∠ODC +∠MDC =90°.
《中考新导向初中总复习（数学）》配套课件
第六章 圆 第28课 和圆有关的位置关系
，
一、考点知识
1．点与圆的位置关系：已知圆的半径是8 cm. (1)若点M到O的距离是4 cm，则点M在圆__内________． (2)若点Q到O的距离是8 cm，则点Q在圆___上_______． (3)若点E到O的距离是10 cm，则点E在圆___外_______．
2
三、过关训练 A组
1．正方形ABCD的边长为2 cm，以A为圆心2 cm为半径作 ⊙A，则点B在⊙A__上______；点C 在⊙A__外______；点D 在⊙A__上______．
2．已知圆的半径是6.5 cm，圆心到直线l的距离是4.5 cm，那么这
条直线和圆的公共点பைடு நூலகம்个数是__两__个____．
∴CG=BC+BG= 3 3 2 .
【变式3】如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点， 求证：∠ABO＝ 1 ∠APB
2
证明：连接OP, ∵PA，PB是⊙O的两条切线,A，B为切点， ∴∠OBP=∠OAP=90°. 又∵OB=OA, OP=OP, ∴BP=AP. ∴△OBP≌△OAP. ∴∠OPB=∠OPA. 又∵OA=OB. ∴∠OBA=∠OAB. 又∵∠OBA+∠OAB+∠BOA=180°. ∴∠APB+∠BOA=180°. ∴∠OBA+∠OAB=∠APB. 又∠OBA=∠OAB, ∠ABO= 1∠APB.
【变式2】如图，在△ABC中，AB＝BC，以AB 为直径的⊙O与AC交于点D，过点D作DF⊥BC，交 AB的延长线于点E，垂足为点F，求证：直线DE是 ⊙O的切线 .
证明：连接OD，BD， ∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=∠90°. ∴BD⊥AC.
∵AB=BC，∴AD=DC.
∵OA=OB，∴OD∥BC.
∵∠C=90°，∴OD∥CB. ∵O是AB的中点，∴OD是△ABC的中位线，即OD= 1 BC=3.
2
∵AC=BC=6. ∠C=90°，∴AB= 6 2，则OB= 3 .2
∵OD∥CG，∴∠ODF=∠G.
∵OD=OF，则∠ODF=∠OFD. ∴∠BFG=∠OFD=∠G.
∴BF=BG=OB－OF= 3 2 3 ，