湖南省长沙市玉潭中学高一数学文期末试卷含解析

湖南省长沙市玉潭中学高一数学文期末试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 在△ABC中，若内角和边长满足，，则角A =（）（A）（B）（C）（D）
参考答案：
A
略
2. 函数的零点所在的一个区间是（）
A. B. C. D.
参考答案：
B
满足, f(0)=1＞0.
由零点存在性定理知，零点所在的一个区间为(,0).
3. 已知a=21.2，b=（）﹣0.8，c=2log52，则a，b，c的大小关系为（）
A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a
参考答案：
A
【考点】不等式比较大小．
【专题】不等式的解法及应用．【分析】由函数y=2x在R上是增函数可得a＞b＞20=1，再由c=2log52=log54＜log55=1，从而得到a，b，c的大小关系
【解答】解：由于函数y=2x在R上是增函数，a=21.2，b=（）﹣0.8 =20.8，1.2＞0.8＞0，
∴a＞b＞20=1．
再由c=2log52=log54＜log55=1，
可得 a＞b＞c，
故选A．
4. 在等差数列{a n}中，若a2+a8=10，则a1+a3+a5+a7+a9的值是（）
A．10 B．15 C．20 D．25
参考答案：
D
【考点】85：等差数列的前n项和；84：等差数列的通项公式．
【分析】由等差数列的性质可得：a2+a8=10=a1+a9=a3+a7=2a5，即可得出．
【解答】解：由等差数列的性质可得：a2+a8=10=a1+a9=a3+a7=2a5，
∴a5=5，
∴a1+a3+a5+a7+a9=5a5=25．
故选：D．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5. 已知、表示直线，、、表示平面，则下列命题中不正确的是（）A．若则 B．若则
C．若则 D．若则
参考答案：
D
6. 函数的零点所在的区间为（）
A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4）
参考答案：
C
略
7. 在△ABC中，若，则△ABC是（）
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等腰直角三角形
D.等腰三角形或直角三角形
参考答案：
D
8. 已知，，若与垂直，则的值是( )
A．1 B．－1 C．0 D．±1
参考答案：
B
9. 如图所示，为测一树的高度，在地面上选取A、B两点，从A、B两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A、B两点间的距离为60m，则树的高度为（）
A．B．C．D．
参考答案：
A
【考点】HU：解三角形的实际应用．
【分析】要求树的高度，需求PB长度，要求PB的长度，在△PAB由正弦定理可得．
【解答】解：在△PAB，∠PAB=30°，∠APB=15°，AB=60，
sin15°=sin（45°﹣30°）=sin45°cos30°﹣cos45°sin30°=×﹣×=
由正弦定理得：，∴PB==30（+），∴树的高度为PBsin45°=30（+）×=（30+30）m，
答：树的高度为（30+30）m．
故选A
10. 与图中曲线对应的函数是
A． B．
C． D．
参考答案：
C
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 在△ABC中，已知且则这个三角形的形状
是
.
参考答案：
等边三角形
略
12. 对于正项数列，定义为的“蕙兰”值，现知数列的“蕙
兰”值为，则数列的通项公式为= ．
参考答案：
略
13. 如果幂函数的图象不过原点，则实数m的值是▲．
参考答案：
14. 若幂函数
经过点
，则
__________．
参考答案：
设幂函数为， ∵图象经过点
，
∴，解得：
，
故函数的解析式为：
．
15. 设是定义域为，最小正周期为的函数，若，
则
▲
．
参考答案：
16. 函数y ＝的最大值是______.
参考答案： 4
17.
（4分）已知向量、满足||=1，||=4，且?=2，则与的夹角为
．
参考答案：
考点： 平面向量数量积的运算．
分析： 直接应用数量积的运算，求出与的夹角．
解答： 设向量、的夹角为θ；因为?=2，所以?=||||cosθ=4cosθ=2，所以θ=
故答案为：
．
点评： 正确应用平面向量的数量积的运算，是解好题题目的关键，本题是基础题．
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （12分）如图，平行四边形ABCD 中，AB=2，AD=1，∠A=60°，点M 在AB 边上，且AM=AB ，则
的值是多少？
参考答案：
考点： 平面向量数量积的运算． 专题： 平面向量及应用．
分析： 由题意可得，=，代入?═（+）?（+），整理即可．
解答： ∵平行四边形ABCD 中，AB=2，AD=1，∠A=60°，且AM=AB ，
∴=
∴?=（+）?（+）
=+?+?+?
=12+1×2cos120°+1××2cos120°+×2×2cos0°=1﹣1﹣+=1
点评：本题考查了平面向量的数量积的基本运算以及向量的加法问题，是向量知识的基本应用．19. （本小题满分13分）
如图，在平面直角坐标系中，以轴为始边作两个锐角，它们的终边分别与单
位圆交于两点．已知的横坐标分别为．
（1）求的值；
（2）求的值．
参考答案：
解：（Ⅰ）由已知得：．
∵为锐角
∴．
∴．
∴．--------------------6分（Ⅱ）∵
∴．
为锐角，
∴，
∴． -----------13分
略
20. 已知关于x的不等式(ax－1)(x－2)＜0.
（1）若a=1，求不等式的解集；
（2）若，求不等式的解集。

参考答案：
略
21. 已知向量=（sinx，2cosx），=（5cosx，cosx），函数f（x）=?+||2﹣．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）若x∈（，）时，f（x）=﹣3，求cos2x的值；
（3）若cosx≥，x∈（﹣，），且f（x）=m有且仅有一个实根，求实数m的取值范围．
参考答案：
【考点】三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算．
【分析】（1）根据平面向量数量积运算建立关系，求解f（x），利用二倍角和辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函数的最小正周期
（2）根据x∈（，）时，出内层函数的取值范围，f（x）=﹣3，化简f（x），可求cos2x 的值．
（3）根据cosx≥，x∈（﹣，），确定x的范围，利用数形结合法作f（x）=m有且仅有一个实根，可得答案．【解答】解：（1）由函数f（x）=?+||2﹣．
可得：f（x）=sinxcosx+2cos2x+sin2x+4cos2x﹣
=sin2x+﹣cos2x+3+3cos2x
=sin2x+cos2x
=5sin（2x+）
∴函数f（x）的最小正周期T=．
（2）当x∈（，）
可得2x+∈[，2π]
∵f（x）=﹣3，即5sin（2x+）=﹣3
∴sin（2x+）=
∴cos（2x+）=
∴cos2x=cos[（2x））=cos（2x+）cos）+sin（2x+）sin）=
（3）由题意∵cosx≥，x∈（﹣，），
∴x∈[，]，
∵f（x）=m有且仅有一个实根，即函数f（x）与y=m的图象只有一个交点．
f（x）=5sin（2x+）
∴2x+∈[，]
令2x+=t，则t∈[，]，那么f（x）=5sin（2x+）转化为g（t）=5sint与y=m的图象只有一个交点．
，g（t）=5sint图象如下：
从图象可看出：当﹣5≤m或m=5时，函数y=m与g（t）=5sint只有一个交点．故得实数m的取值范围是{m|﹣5≤m或m=5}
22. 已知函数，
（1）当时，求函数的最大值与最小值；
（2）求实数的取值范围，使在区间上是单调函数．
参考答案：
（1）最大值为37，最小值为1；
（2）≤-5或≥5
略。