江苏省高邮市城北中学苏科版九年级上册数学第一次月考试卷(Word版含答案)

江苏省高邮市城北中学苏科版九年级上册数学第
一次月考试卷(Word版含答案)
数学试题2021.9
一、选择题〔本大题共8 小题，每题3 分，共24 分〕
1.用缩小镜将图形缩小，应该属于〔B 〕
A.平移变换
B.相似变换
C.对称变换
D.旋转变换
【考点】：相似图形的定义
【解析】：依据相似图形的定义知，用缩小镜将图形缩小，属于图形的外形相反，大小不相反，所以属于相似变换.应选B.
【答案】：B.
2.在比例尺是1:8000的高邮市地图上，通湖路的长度约为25c m，那么它的实践长度为〔D 〕.
A、200m
B、2021cm
C、2021km
D、2021m
【考点】：比例线段
【解析】：
设它的实践长度为xcm，依据题意得：
1÷8000=25x，解得：x=202100，
∵202100cm=2021m，∴它的实践长度为2021m.
故答案为：D、2021m.
【答案】：D.
3.以下命题中的假命题是〔A〕
A. 三点确定一个圆
B. 三角形的内心到三角形各边的距离都相等
C. 在同一个圆内，同弧或等弧所对的圆周角相等
D. 在同一个圆中，相等的弧所对的弦相等
【考点】：确定圆的条件，圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，三角形的内切圆与内心，命题与定理
【解析】：A. 应为不在同不时线上的三点确定一个圆，故本选项错误；
B. 三角形的内心到三角形各边的距离都相等，是三角形的内心的性质，故本选项正确；
C. 同圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，正确；
D. 同圆中，相等的弧所对的弦相等，正确。

【答案】：应选A.
4.如图，在△ABC 中，DE∥BC，AD=2，AB=6，DE=3，那么BC 的长为〔A〕
A. 9
B. 6
C. 4
D. 3
【考点】：平行线分线段成比例
【解析】：
由DE∥BC，依据平行线分线段成比例定理，可得出
AD：AB=DE：BC，再代入条件即可求出BC 的长度．
∵DE∥BC，∴AD:AB=DE:BC，
∵AD=2，AB=6，DE=3，
∴2:6=3:BC，
∴BC=9.
【答案】：应选：A.
5.⊙O 的半径为R，圆心到点A 的距离为d，且R、d 区分是方程x 2 -6x+8=0 的两根，那么点
A 与⊙O 的位置关系是〔
B 〕
A. 点A 在⊙O 外部
B. 点A 在⊙O 上
C. 点A 在⊙O 外部
D. 点A 不在⊙O 上【考点】：勾股定理, 角平分线的性质
【解析】：先依据题意求得方程的解，即R、d 的值，分状况停止讨论：
①R＞d 时，点A 在⊙O 外部；②R=d 时，点A 在⊙O 上；③R＜d，点A 在⊙O 外
部．解方程x 2 -6x+8=0 的两根，得R=d=3，
∴R=d 时，点A 在⊙O 上
【答案】：故答案为：B
6 如图,在⊙O 中,∠AOB 的度数为160 度,C 是弧ACB 上一点,D,E 是弧AB 上不同的两点(不
与A,B 两点重合)，那么∠D+∠E 的度数为〔B 〕.
A、160°
B、100°
C、110°
D、80°
【考点】：圆周角定理
【解析】：
衔接OC，
∵在⊙O 中,∠AOB=160°，
∴∠AOC+∠BOC=360°−∠AOB=200°，
∵∠D=1/2∠AOC,∠E=1/2∠BOC，
∴∠D+∠E=1/2∠AOC+1/2∠BOC=1/2(∠AOC+∠BOC)=100°
【答案】：应选B.
7.如图，OA，OB 是⊙O 的半径，∠AOB=40°，∠OBC=50°，那么∠OAC 的度数是〔C〕
A.50°
B.40°
C.30°
D.10°
【考点】：圆周角与圆心角的关系，
【解析】：
∵等弧所对的圆周角是圆心角的一半，∴∠ACB=1
2
∠AOB=20°D
设线段AC 和BO 相交的点为D
∵∠CDB 和∠ADO 为对顶角∴∠ADO=∠CDB=180°-20°-50°=110°
∴∠OAC=180°-40°-110°=30°
【答案】：选C.
8.O 的半径r=3，设圆心O 到一条直线的距离为d，圆上到这条直线的距离为2 的点的个数
为m，给出以下命题：
①假定d>5，那么m=0；②假定d=5，那么m=1；③假定1<d<5，那么m=3；④假定d=1，那么m=2；
⑤假定0≤d<1，那么m=4.其中正确命题的个数是
( B ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【考点】：直线与圆的位置关系, 命题与定理
【解析】：
①假定d>5 时，直线与圆相离，那么m=0，故正确；
②假定d=5 时，直线与圆相离，那么m=1，故正确；③假定1<d<5，那么m=2，故错误；
④假定d=1 时，直线与圆相交，那么m=3，故错误；
⑤假定0≤d<1 时，直线与圆相交，那么m=4，故正
确。

应选：B.
【答案】：应选B.
二、填空题〔本大题共10小题，每题3分，共30分〕
9.a:b=3:2,那么〔a-b〕a= 1:3 .
【考点】：比例的性质
【答案】：a 为3 份，b 为2 份，a-b 为1 份，所以〔a-b〕a=1:3。

10.圆的半径为6，圆心角为60 度的弧长为2π。

【考点】：扇形的弧长，
【解析】：∵半径r=6，圆心角为60°∴l π
【答案】：2π
11.假设线段a=2，且a，b b= ..
【考点】：比例线段
【解析】：依据比例中项的概念，a b，那么可求得线段b 的值．
a：b ∴ab=10，
∵a=2，∴b=5∴线段b=5.
【答案】：故答案为：b=5.
12.圆锥的母线长为13cm，正面展开图的面积为65πcm2，这个圆锥的底面半为5cm．【考点】：圆锥的计算
【解析】：∵S 扇形=1
2
l r〔l 为弧长r 为母线〕∴即65π=
1
2
l×13 解得l=10π
设圆锥的底面半径为R，弧长=底面周长，即10π=2πR 解得R=5cm
【答案】：5.
13.直角三角形的两条直角边长区分为16 和12，那么此三角形的外接圆半径是_10 。

【考点】：三角形的外接圆与外心
【解析】：
首先依据勾股定理求得该直角三角形的斜边是10，再依据其外接圆的半径等于斜边的一半和内切圆的半径等于两条直角边的和与斜边的差的一半停止计算．
由勾股定理可知：当两条直角边长区分为16 和12,那么直角三角形的斜边长=20
依据直角三角形的外接圆的半径是斜边的一半，那么其外接圆的半径是10；
【答案】：10.
14.一个三角形的三边之比为2：3：4，和它相似的另一个三角形的最大边为16，那么它的最小边的长是8 ．
【考点】：相似三角形的性质
【解析】：首先设它的最小边为x，不长不短的边为y，由一个三角形的三边之比为2：3：4，和它相似的另一个三角形的最大边为16，依据相似三角形的对应边成比例，可得
设它的最小边为x，不长不短的边为y，
由题意，得2：3：4=x：y：16，
解得x=8，y=12，所以它的最小边的长是8，周长是36．
【答案】8.
15.在Rt△ABC 中，∠C=90∘，AC=3cm，BC=4cm，以C 为圆心，r 为半径作圆，假定圆C 与直线AB 相切，那么r 的值为 2.4cm..
【考点】：切线的性质
【解析】：
如下图，过C 作CD⊥AB，交AB 于点D，在直角三角形ABC 中，由AC 与BC 的长，应用勾股定理求出AB 的长，应用面积法求出CD 的长，即为所求的r．
如下图，过C 作CD⊥AB，交AB 于点D，在
Rt△ABC 中，AC=3cm，BC=4cm，依据勾股
定理得：AB==5cm，
∵S△ABC=12BC⋅AC=12AB⋅CD，
∴12×3×4=12×5CD，解得：
CD=2.4，那么r=2.4cm.
【答案】：2.4cm.
16.如图,点O 是△ABC 的内切圆的圆心,假定∠BAC=80∘,那么∠BOC=130°.
【考点】：三角形的内切圆与内心
【解析】：
运用三角形内角和定理得出∠ABC+∠ACB 的度数，再依据点O 是△ABC 的内切圆的圆心，得出∠OBC+∠OCB=50°，从而得出答案．
∵∠BAC=80°，
∴∠ABC+∠ACB=180°−80°=100°，
∵点O 是△ABC 的内切圆的圆心，
∴BO，CO 区分为∠ABC，∠BCA 的角平分线，
∴∠OBC+∠OCB=50°，
∴∠BOC=130°.
【答案】：130°.
17.如图,在扇形OAB 中,∠AOB=110∘,半径OA=18,将扇形OAB 沿过点B 的直线折叠,点O 恰恰落在弧AB 上的点D 处,折痕交OA 于点C,那么弧AD 的长为_5π.
【考点】：弧长的计算, 翻折变换〔折叠效果〕
【解析】：如图，衔接OD.
依据折叠的性质知，OB=DB.
又∵OD=OB，
∴OD=OB=DB，即△ODB 是等边三角形，
∴∠DOB=60∘.
∵∠AOB=110∘，
∴∠AOD=∠AOB−∠DOB=50∘，
∴弧ADˆ的长为=5π.
【答案】：5π.
18.如图,矩形 ABCD 中，为动点,且满足∠BAP=∠PBC ，Q 为边 CD 上的动
点，那么 AQ+PQ 1
【考点】：点与圆位置关系、圆周角定理、轴对称与圆最短效果
【解析】：解题的关键是确定点 P 位置，学会求圆外一点到圆的最小、最大距离，属于中 考常考题型．
∵四边形 ABCD 是矩形，∴∠ABC=90°
即∠ABP+∠PBC=90°
∴点 P 在以 AB 为直径的半圆上即 PQ 的长度最短时
就是 OQ 最短时
因此效果转化为求在 CD 上一点 Q 到 A 和到 Q 的距离和最短时的长度
即牛饮水效果，作 O 关于 DC 的对称点 O ’，衔接 AO ’
∵AD=3，AB=2
∴AQ ’1-
1
三、解答题〔本大题共有 10 小题，共 96 分〕
19.〔此题 8 分〕234x y z ==，且 2x +3y −z =18，求 x 、y 、z 的值。

【考点】：比例的性质
【解析】：设234x y z k ===得出 x=2k ，y=3k ，z=4k ，代入 2x+3y-z=18 即可求出 k ，
再求出答案即可．
【答案】：设234x y z k ===，那么
x =2k ，y =3k ，z =4k ， ∵2x +3y −z =18，∴4k +9k −4k =18，
解得：k =2，即 x =4，y =6，z =8.
20〔.(此题总分值 8 分〕如图,在 12×12 的正方形网格中,△TAB 的顶点区分为 T (1,1),A (2,3),B (4,2).
(1)以点 T (1,1)为位似中心,按比例尺(TA ′:TA )3:1 的位似中心的同侧将 TAB 缩小为△TA ′B ′, 缩小后点 A ,B 的对应点区分为 A ′,B ′,画出△TA ′B ′,并写出点 A ′,B ′的坐标； (2)
在(1)中,假定 C (a ,b )为线段 AB 上任一点,写出变化后点 C 的对应点 C ′的坐标。

剖析：
【考点】：作图-位似变换
【解析】：
〔1〕依据标题的表达，正确地作出图形，然后确定各点
的坐标即可．
〔2〕依据〔1〕中变换的规律，即可写出变化后点 C 的
对应点 C ′的坐标．
【答案】：解答：
(1)所画图形如下所示：
点 A ′,B ′的坐标区分为：A ′(4,7),B ′(10,4)；
(2)变化后点 C 的对应点 C ′的坐标为：C ′(3a −2,3b −2)或填
C ′(3(a −1)+1,3(b −1)+1).
21.〔此题总分值8分〕如图，CD 为O 的直径，弦AB 交CD 于点E，衔接BD、OB. (1)求证：△AEC∽△DEB；
(2)假定CD⊥AB，AB=8，DE=2，求O 的半径。

【考点】：相似三角形的判定与性质, 垂径定理
【解析】：〔1〕由同弧的圆周角相等即可得出
∠ACE=∠DBE，结合∠AEC=∠DEB，即可证出
△AEC∽△DEB；
〔2〕设O 的半径为r，那么CE=2r-2，依据垂径定理以
及三角形相似的性质即可得出关于r 的一元一次方程，
解方程即可得出r 值，此题得解．
【答案】：(1)证明：
∵∠AEC=∠DEB，∠ACE=∠DBE，
∴△AEC∽△DEB.
(2)设O 的半径为r，那么CE=2r−2.
∵CD⊥AB，AB=8，
∴AE=BE=12AB=4.
∵△AEC∽△DEB，
∴AE D E=CEBE,即42=2r−24，
解得：r=5.
22.〔此题总分值8分〕如图，DE∥B C，CD 与BE 相交于点O，并且S△DOE:S△COB=4:9，〔1〕求AE:AC 的值；
〔2〕求△A DE 与四边形DBCE 的面积比。

【考点】：相似三角形对应边成比例，相似三角形的面积比
等于相似比的平方，平行于三角形一边的直线和其他两边
〔或两边的延伸线〕相交，所构成的三角形与原三角形相似
【解析】：
面积比求线段比，由D E∥BC 可得△DOE∽△C OB 和
△A ED∽△A CB，依据相似三角形的性质即能够失掉ED:BC 的值；
再由相似三角形的性质失掉ED:BC=AE:AC，至此效果就不难解答
【答案】：〔1〕∵ED∥BC，
∴△DOE∽△COB，△AED∽△ACB.
∵△DOE∽△COB，S△DOE:S△COB=4:9，
∴ED:BC=2:3.
∵△AED∽△ACB，
∴ED:BC=AE:AC.
∵ED:BC=2:3，ED:BC=AE:AC，
∴AE:AC=2:3.
〔2〕∵△AED∽△ACB AE:AC=2:3
∴S△ADE:S△ACB=4:9
∴S△ADE:S 四DBCE=4:5
23.〔此题总分值10 分〕如图,P 是O 外一点,PO 交圆O 于点C,OC=CP=2,弦AB⊥OC,
劣弧AB 的度数为120∘，衔接PB.
(1)求BC 的长；
(2)求证：PB 是O 的切线。

【考点】：
切线的判定, 等边三角形的判定与性质, 垂径定理
【解析】：
〔1〕首先衔接OB，由弦AB⊥OC，劣弧AB 的度数为120°，易证得△OBC 是等边三角形，
那么可求得BC 的长；
〔2〕由OC=CP=2，△OBC 是等边三角形，可求得BC=CP，即可得∠P=∠CBP，又由等边三角形的性质，∠OBC=60°，∠CBP=30°，那么可证得OB⊥BP，继而证得PB 是O 的切线．
【答案】：
(1)衔接OB，
∵弦AB⊥OC,劣弧AB 的度数为120∘，∴弧BC 与弧AC 的度数为：60∘，
∴∠BOC=60∘，
∵OB=OC，∴△OBC 是等边三角形，∴BC=OC=2；
(2)证明：∵OC=CP，BC=OC，∴BC=CP，∴∠CBP=∠CPB，
∵△OBC 是等边三角形，∴∠OBC=∠OCB=60∘，∴∠CBP=30∘，
∴∠OBP=∠CBP+∠OBC=90∘，∴OB⊥BP，
∵点B 在O 上，
∴PB 是O 的切线。

24.〔此题总分值10 分〕如图，AB 是⊙O 的直径，C 是AB 延伸线上一点，CD 与⊙O 相切于点E，AD⊥CD 于点D。

〔1〕求证：AE 平分∠DAC；
〔2〕假定AB=4，∠ABE=60°，求出图中阴影局部的面积。

【考点】：切线的性质；扇形面积的计算.
【解析】：〔1〕连接OE，如图，根据切线的性质由CD
与⊙O 相切得到OD⊥CD，而AD⊥CD，那么OE∥AD，
所以∠DA E=∠AE O，由于∠AE O=∠OA E，所以∠OA E=∠DA E；
先计算出∠AOE=120°，然后依据
扇形面积公式和阴影局部的面积=S 扇形AOE-S△AOE=S 扇形AOE-1
S△ABE 停止计算．
2
【答案】：〔1〕证明：衔接OE，如图，
∵CD 与⊙O 相切于点E，∴OE⊥CD，
∵AD⊥CD，∴OE∥AD，∴∠DAE=∠AEO，∵AO=OE，
∴∠AEO=∠OAE，∴∠OAE=∠DAE，
∴AE 平分∠DAC；
〔2〕∵OA=OB，
∴∠AEO=∠OAE=30°，
∴∠AOE=120°，∴阴影局部的面积=S 扇形AOE-S△AOE=S 扇形AOE-1
2
S△ABE
25.〔此题总分值10 分〕：如图,AE2=AD⋅AB，且∠ABE=∠ACB.
试说明：(1)△ADE∽△AEB；
(2)DE∥BC；
(3)△BCE∽△EBD.
【考点】：相似三角形的判定与性质
【解析】：〔1〕由AE2=AD•AB，∠A 是公共角，
依据有两边对应成比例且夹角相等三角形相似，
即可证得△ADE∽△AEB；
〔2〕由相似三角形的对应角相等，即可得∠AED=∠ABE，又由∠ABE=∠ACB，可得∠AED=∠ACB，即可得DE∥BC；
〔3〕由平行线，可得∠DEB=∠EBC，继而可得△BCE∽△EBD．
【答案】：
证明：(1)∵AE2=AD⋅AB，
∴AD:AE=AE:AB，
∵∠A 是公共角，
∴△ADE∽△AEB；
(2) ∵△ADE∽△AEB，
(3) ∴∠AED=∠ABE，
∵∠ABE=∠ACB，
∴∠AEB=∠ACB，
∴DE∥BC；
(3)∵DE∥BC，
∴∠DEB=∠EBC，
∵∠ABE=∠ACB，
∴△BCE∽△EBD.
26〔. 此题总分值 10 分〕如图,⊙O 是直角△ABC 的外接圆,∠ABC =90∘ ，
AB =12，BC =5，弦 BD =BA ，BE 垂直 DC 的延伸线于点 E ，
〔1〕求证：∠BCA =∠BAD .
〔2〕求证：△ABC ∽△DEB
〔3〕求 DE 的长。

【考点】：切线的判定，圆周角定理
【解析】：
〔1〕依据等腰三角形的性质由 BD=BA 失掉
∠BDA=∠BAD ，再依据圆周角定理得∠BCA=∠BDA ，
然后应用等量代换即可失掉∠BCA=∠BAD ．
〔2〕先依据勾股定理计算出 AC=13，再证明△BED ∽△CBA ，然后应用相似比计算 DE ； 〔3〕连结 OB ，由〔1〕得∠BCA=∠BAD ，由圆内接四边形的性质得∠BCE=∠BAD ，所 以∠BCA=∠BCE ，而∠BCO=∠CBO ，那么∠BCE=∠CBO ，于是可判别 OB ∥ED ，由于 BE ⊥ED ，所以 EB ⊥BO ，然后依据切线的判定定理失掉 BE 是⊙O 的切线．
【答案】：
解答： (1)证明：∵BD =BA ，∴∠BDA =∠BAD ，∵∠BCA =∠BDA ，
∴∠BCA =∠BAD ； (2)∵∠ABC =90∘ ，AB =12，BC =5，
∴AC ，
∵∠BDE =∠CAB ，而∠BED =∠CBA =90∘ ，∴△BED ∽△CBA ，
〔3〕∵△BED ∽△CBA ∴BD DE AC AB =,即121312DE =，∴DE =14413
27.〔此题总分值 12 分〕如图，△ABC 中，AB =AC ，以 AB 为直径的 O 与 BC 相交于点 D ， 与 CA 的延伸线相交于点 E ，过点 D 作 DF ⊥AC 于 F.
(1)求证：DF 是 O 的切线；
(2)假定 AC =3AE ,求AF FC
的值。

【考点】：切线的判定
【解析】：
〔1〕衔接 OD ，依据等边对等角性质战争行线的判定和性质证得 OD ⊥DF ，从而证得 DF 是 O 的切线；
〔2〕依据圆周角定理、勾股定理得出 BE
【答案】：
(1)证明：衔接 OD ，∵OB=OD ，∴∠B=∠ODB ，
∵AB=AC ，∴∠B=∠C ，∴∠ODB=∠C ，∴OD ∥AC ，
∵DF ⊥AC ，∴OD ⊥DF ，∴DF 是 O 的切线；
(2)衔接 BE ，AD ，
∵AB 是直径，∴∠AEB=90∘ ，
∵AB=AC ，AC=3AE ，∴AB=3AE ，CE=4AE ，
∴ = AE ，∴BE CE =∵∠DFC=∠AEB=90∘ ，∴DF ∥BE ，∴△DFC ∽△BEC ，
∴DF FC =2BE CE =，∴DF= 2FC ∵AB 是直径，∴AD ⊥BC ，∴DF 2=AF ⋅ FC ，
∴(
2FC)2=AF⋅FC，∴
1
2
FC=AF，∴
AF
FC
=
1
2
28〔.此题12 分〕如图,Rt△ABC 中,∠ACB=90∘,AC=6cm,BC=8cm,动点P 从点B 动身,在BA 边上以每秒5cm 的速度向点A 匀速运动,同时动点Q 从点C 动身,在CB 边上以每秒4cm 的速度向点B 匀速运动,运动时间为t 秒(0<t<2)，衔接PQ.
(1)假定△BPQ 与△ABC 相似，求t 的值；
(2)当t 为何值时，四边形ACQP 的面积最小，最小值是多少?
(3)衔接AQ，CP，假定AQ⊥CP，求t 的值。

【考点】：相似形综合题
【解析】：
〔1〕依据勾股定理求出AB，分△BPQ∽△BAC、
△BPQ∽△BCA 两种状况，依据相似三角形的性质列出比例式，计算即可；
〔2〕作PE⊥BC 于E，依据相似三角形的性质列出比例式，用t 表示出PE，依据三角形的面积公式计算即可；
〔3〕过P 作PM⊥BC 于点M，AQ，CP 交于点N，那么有PB=5t，PM=3t，MC=8-4t，根据△ACQ∽△CMP，得出AC：CM=CQ：MP，代入计算即可．
【答案】：(1)①△BPQ∽△BAC 相似时，那么BP BQ BA BC
=
∵BP=5t，QC=4t，AC=6cm，BC=8cm，
∴584
108
t t
-
=，解得：t=1；
②△BPQ∽△BCA 相似时，
那么BP BQ
BC AB
=,即
584
810
t t
-
=，解得：t=
32
41
综合上述：当t=1 或t=32
41
时，△BPQ 与△ABC 相似，
(2)作PM⊥BC 于点M.那么△BPM∽△BAC，
∴BP PM
BA AC
=,即
6
BP PM
BA
=，解得，PM=3t，
设四边形ACQP 的面积为y,由题意得：y=1
2
×6×8−
1
2
(8−4t)×3t=6(t−1)2+18
∴当t=1 时，面积最小为18.
(3)过点P 作PM⊥BC 于点M，设AQ 与CP 相交于点N，那么有PB=3t，MC=8−4t，∵∠NAC+∠NCA=90∘,∠PCM+∠NCA=90∘，∴∠NAC=∠PCM，又
∵∠ACQ=∠CMP=90∘，∴△ACQ∽CMP，
∴AC CO
CM PM
=,即
64
843
t
t t
=
-
，解得：t=
7
8。