(新高考)2020版高考数学二轮复习第二部分讲重点选填题专练第2讲逻辑、算法教学案理

第2讲逻辑、算法
调研一命题及逻辑用语
■备考工具——————————————
1．命题
用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．
2．四种命题及其关系
(1)原命题为“若p，则q”，则它的逆命题为“若q，则p”；否命题为“若綈p，则綈q”；逆否命题为“若綈q，则綈p”．
(2)原命题与它的逆否命题等价；逆命题与它的否命题等价．
3．全称命题与特称命题的结构
注意：(1)∃”后面跟的一般是单指的数x0(指某一类中的一个数)．
(2)否定结论时要注意一些词语的否定方法，常见的一些词语及其否定如下：
p且q”的否定形式是“綈p或綈q”．
■自测自评——————————————
1．[2019·开封定位考试]若命题p：∀x∈R，x－ln x>0，则綈p为( )
A ．∃x 0∈R ，x 0－ln x 0≤0
B ．∃x 0∈R ，x 0－ln x 0>0
C ．∀x ∈R ，x －ln x ≤0
D ．∀x ∈R ，x －ln x <0
解析：因为全称命题的否定是特称命题，所以綈p ：∃x 0∈R ，x 0－ln x 0≤0，故选A. 答案：A
2．[2019·湖北重点中学联考]已知p ：∃x 0∈R,3x 0<x 3
0，那么綈p 为( ) A ．∀x ∈R,3x <x 3
B ．∃x 0∈R,3x 0>x 3
0 C ．∀x ∈R,3x
≥x 3
D ．∃x 0∈R,3x 0≥x 3
解析：因为特称命的否定为全称命题，所以綈p ：∀x ∈R,3x
≥x 3
，故选C. 答案：C
3．[2019·安徽示范高中考试]已知下列两个命题，
p 1：存在正数a ，使函数y ＝2x ＋a ·2－x 在R 上为偶函数； p 2：函数y ＝sin x ＋cos x ＋2无零点．
则在命题q 1：p 1∨p 2，q 2：p 1∧p 2，q 3：(綈p 1)∨p 2，q 4：p 1∧(綈p 2)中，真命题是( ) A ．q 1，q 4 B ．q 2，q 3 C ．q 1，q 3
D ．q 2，q 4
解析：当a ＝1时，y ＝2x ＋a ·2－x
在R 上是偶函数，所以p 1为真命题．当x ＝5π4时，
函数y ＝sin x ＋cos x ＋2＝0，所以命题p 2是假命题．所以p 1∨p 2，p 1∧(綈p 2)是真命题，故选A.
答案：A
4．[2019·济南质量评估]已知命题p ：关于m 的不等式log 2m <1的解集为{m |m <2}；命题q ：函数f (x )＝x 3
＋x 2
－1有极值．下列命题为真命题的是( )
A ．p ∧q
B ．p ∧(綈q )
C ．(綈p )∧q
D ．(綈p )∧(綈q )
解析：由log 2m <1，得0<m <2，故命题p 为假命题；f ′(x )＝3x 2
＋2x ，令f ′(x )＝0得
x ＝－2
3
或x ＝0，所以f (x )在⎝
⎛⎭
⎪⎫
－∞，－23和(0，＋∞)上单调递增，在⎝
⎛⎭
⎪⎫－23
，0上单调递减，
故f (x )有极值，所以命题q 为真命题．所以(綈p )∧q 为真命题．
答案：C
5．[2019·太原一模]下列命题中的真命题是( ) A ．若a ·b <0，则向量a 与b 的夹角为钝角 B ．若am 2
≥bm 2
，则a ≥b
C ．若命题“p ∨q 是真命题”，则命题“p ∧q 是真命题”
D ．命题“∃x 0∈R,
<x 2
0”的否定是“∀x ∈R ，2x ≥x 2
”
解析：对于A ，当向量a 与b 的夹角为π时，cos 〈a ，b 〉＝a ·b
|a |·|b |
＝cos π＝－1，
此时a ·b <0，但向量a ，b 的夹角不为钝角，故A 是假命题；对于B ，当m ＝0，a ＝－1，b ＝1时，满足am 2
≥bm 2
，但a <b ，故B 是假命题；对于C ，若p ∨q 是真命题，则p ，q 一真一假，或p ，q 均为真命题，故p ∧q 不一定是真命题，C 是假命题；命题“∃x 0∈R,<x 2
0”
的否定是“∀x ∈R,2x ≥x 2
”，故D 是真命题．选D.
答案：D
6．[2019·南昌二模]已知函数f (x )＝ax 2
＋x ＋a ，命题p ：∃x 0∈R ，f (x 0)＝0，若p 为假命题，则实数a 的取值范围是( )
A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12
B.⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12，12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪⎣⎢⎡⎭
⎪⎫12，＋∞ 解析：∵命题p ：∃x 0∈R ，f (x 0)＝0是假命题，
∴方程f (x )＝0没有实数根，∵f (x )＝ax 2
＋x ＋a ，∴方程ax 2
＋x ＋a ＝0没有实数根． ∵a ＝0时，x ＝0为方程ax 2
＋x ＋a ＝0的根， ∴a ≠0，∴Δ＝1－4a 2
<0且a ≠0， ∴a <－12或a >1
2，故选C.
答案：C
调研二 充要条件
■备考工具—————————————— 1．充分条件与必要条件
(1)若p ⇒q 且q p ，则p 是q 的充分不必要条件． (2)若q ⇒p 且p
q ，则p 是q 的必要不充分条件．
(3)若p ⇒q 且q ⇒p ，则p 是q 的充要条件．
(4)若p
q 且q p ，则p 是q 的既不充分也不必要条件．
2．充要条件的判断方法
记条件p ，q 对应的集合分别为A ，B .若A B ，则p 是q 的充分不必要条件；若A B ，则p 是q 的必要不充分条件；若A ＝B ，则p 是q 的充
要条件
1．[2019·天津卷]设x ∈R ，则“x 2
－5x <0”是“|x －1|<1”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：由x 2
－5x <0可得0<x <5.由|x －1|<1可得0<x <2.由于区间(0,2)是(0,5)的真子集，故“x 2
－5x <0”是“|x －1|<1”的必要而不充分条件．
答案：B
2．[2019·浙江卷]设a >0，b >0，则“a ＋b ≤4”是“ab ≤4”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件
解析：通解：因为a >0，b >0，所以a ＋b ≥2ab ，由a ＋b ≤4可得2ab ≤4，解得ab ≤4，所以充分性成立；当ab ≤4时，取a ＝8，b ＝1
3，满足ab ≤4，但a ＋b >4，所以必要性不成
立．所以“a ＋b ≤4”是“ab ≤4”的充分不必要条件．故选A.
优解：在同一坐标系内作出函数b ＝4－a ，b ＝4
a
的图象，如图，则不等式a ＋b ≤4与ab ≤4
表示的平面区域分别是直线a ＋b ＝4及其左下方(第一象限中的部分)与曲线b ＝4
a
及其左下
方(第一象限中的部分)，易知当a ＋b ≤4成立时，ab ≤4成立，而当ab ≤4成立时，a ＋b ≤4不一定成立．故选A.
答案：A
3．[2019·北京卷]设点A ，B ，C 不共线，则“AB →与AC →的夹角为锐角”是“|AB →＋AC →|>|BC →
|”的( )
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：若|AB →＋AC →|>|BC →|，则|AB →＋AC →|2>|BC →|2，AB →2＋AC →2＋2AB →·AC →>|BC →|2
，∵点A ，B ，
C 不共线，∴线段AB ，BC ，AC 构成一个三角形ABC ，设内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，则由平面向量的数量积公式及余弦定理可知，AB →
2＋AC →
2＋2AB →
·AC →
>|BC →
|2，即c 2＋b 2＋
2bc ·cos A >c 2＋b 2
－2bc ·cos A ，∴cos A >0，又A ，B ，C 三点不共线，故AB →与AC →的夹角为锐角．反之，易得当AB →与AC →的夹角为锐角时，|AB →＋AC →|>|BC →|，∴“AB →与AC →的夹角为锐角”是“|AB →＋AC →
|>|BC →
|”的充分必要条件，故选C.
答案：C
4．[2019·合肥质检一]已知偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递增，则对实数a ，b ，“a >|b |”是“f (a )>f (b )”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：因为f (x )为偶函数，所以f (x )＝f (－x )＝f (|x |)，由于f (x )在[0，＋∞)上单
调递增，因此若a >|b |≥0，则f (a )>f (|b |)，即f (a )>f (b )，所以a >|b |是f (a )>f (b )的充分条件；若f (a )>f (b )，则f (|a |)>f (|b |)，可得|a |>|b |≥0，由于a ，b 的正负不能判断，因此无法得到a >|b |，则a >|b |不是f (a )>f (b )的必要条件，所以“a >|b |”是“f (a )>f (b )”的充分不必要条件，故选A.
答案：A
5．[2019·南昌一模]已知r >0，y ∈R ，p ：“|x |＋|y |2≤1”，q ：“x 2＋y 2≤r 2
”，若p
是q 的必要不充分条件，则实数r 的取值范围是( )
A.⎝
⎛⎦⎥⎤0，255
B ．(0,1]
C.⎣⎢
⎡⎭
⎪⎫255，＋∞ D ．[2，＋∞)
解析：由题意，命题p 对应的是菱形及其内部，当x >0，y >0时，可得菱形的一边所在的直线方程为x ＋y
2＝1，即2x ＋y －2＝0，由p 是q 的必要不充分条件，可得圆x 2
＋y 2
＝r
2
的圆心到直线2x ＋y －2＝0的距离d ＝
2
4＋1
＝255≥r ，又r >0，所以实数r 的取值范围是
⎝
⎛⎦⎥⎤
0，255，故选A.
答案：A
6．[2019·长沙一模]在等比数列{a n }中，“a 1，a 3是方程x 2
＋3x ＋1＝0的两根”是“a 2
＝±1”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：在等比数列{a n }中，a 1·a 3＝a 2
2.由a 1，a 3是方程x 2
＋3x ＋1＝0的两根可得a 1·a 3
＝1，所以a 2
2＝1，所以a 2＝±1，所以“a 1，a 3是方程x 2
＋3x ＋1＝0的两根”是“a 2＝±1”的充分条件；由a 2＝±1得a 1·a 3＝1，满足此条件的一元二次方程不止一个．所以“a 1，a 3是方程x 2
＋3x ＋1＝0的两根”是“a 2＝±1”的充分不必要条件，故选A.
答案：A
调研三 算法
■备考工具—————————————— 1．三种基本逻辑结构
3.
(1)条件结构与分段函数相结合；
(2)当型循环结构的结果输出问题；
(3)直到型循环结构的结果输出问题．
考查题型多为选择题，有时也以填空题形式考查，难度相对较小，属中低档题．
复习时，不管面对含什么结构的程序框图，首先要做的就是弄清程序框图想要实现的最终功能．对于条件结构，要根据条件进行判断，弄清程序的流向；对于循环结构，要弄清楚循环体是什么、变量的初始条件是什么和循环的终止条件是什么，要特别注意循环终止时各变量的当前值．
4．程序框图的补全及逆向求解问题
(1)先假设参数的判断条件满足或不满足；
(2)运行循环结构，一直到运行结果与题目要求的输出结果相同为止；
(3)根据此时各个变量的值，补全程序框图．
5．程序框图的应用技巧
(1)条件结构的应用：利用条件结构解决算法问题时，要引入判断框，根据题目的要求引入一个或多个判断框，而判断框内的条件不同，对应的下一个程序框中的内容和操作要相应地进行变化，故要逐个分析判断框内的条件．
(2)在解决一些有规律的科学计算问题，尤其是累加、累乘等问题时，往往可以利用循
环结构来解决．在循环结构中，需要恰当设置累加、累乘变量和计数变量；执行循环结构首先要分清是先执行循环体，再判断条件，还是先判断条件，再执行循环体．其次注意控制循环的变量是什么，何时退出循环．最后要清楚循环体内的程序是什么，是如何变化的．
6．注意三种统计案例 (1)更相减损术和辗转相除法． (2)秦九韶算法． (3)进位制(除k 取余法)．
■自测自评——————————————
1．[2019·全国卷Ⅰ]如图是求1
2＋
12＋12的程序框图，图中空白框中应填入( )
A ．A ＝
12＋A
B ．A ＝2＋1
A
C ．A ＝
11＋2A
D ．A ＝1＋1
2A
解析：A ＝12，k ＝1,1≤2成立，执行循环体；A ＝1
2＋
1
2
，k ＝2,2≤2成立，执行循环体；
A ＝
1
2＋
12＋12，k ＝3,3≤2不成立，结束循环，输出A .故空白框中应填入A ＝1
2＋A .故选A. 答案：A
2．[2019·全国卷Ⅲ]执行如图的程序框图，如果输入的ε为0.01，则输出s
的值等
A ．2－1
24
B ．2－1
25
C ．2－1
26
D ．2－1
2
7
解析：执行程序框图，
x ＝1，s ＝0，s ＝0＋1＝1，x ＝12
，
不满足x ＜ε＝
1100
， 所以s ＝1＋12＝2－121，x ＝14，不满足x ＜ε＝1
100，
所以s ＝1＋12＋14＝2－122，x ＝18，不满足x ＜ε＝1
100，
所以s ＝1＋12＋14＋18＝2－123，x ＝116，不满足x ＜ε＝1
100，
所以s ＝1＋12＋14＋18＋116＝2－124，x ＝132，不满足x ＜ε＝1
100，
所以s ＝1＋12＋14＋18＋116＋132＝2－125，x ＝164，不满足x ＜ε＝1
100，
所以s ＝1＋12＋14＋18＋…＋164＝2－126，x ＝1128，满足x ＜ε＝1
100，
输出s ＝2－1
26，选C.
答案：C
3．[2019·惠州调研]对一个做直线运动的质点的运动过程观测了8次，得到如下表所
在对上述统计数据的分析中，一部分计算见如图所示的程序框图(其中a 是这8个数据的平均数)，则输出的S 的值是( )
A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
解析：∵a ＝1
8
×(40＋41＋43＋43＋44＋46＋47＋48)＝44，
∴S ＝18×[(－4)2＋(－3)2＋(－1)2＋(－1)2＋02＋22＋32＋42
]＝7.故选B.
答案：B
3题图
4．[2019·合肥调研]执行如图所示的程序框图，若输出的结果为15，则判断框中的条件是( )
A ．i <4?
B ．i <5?
C ．i <6?
D ．i <7?
解析：由程序框图可知，该程序框图的功能是计算S ＝1＋2＋3＋…＋i ＝i (i ＋1)
2的值，
又S ＝15，所以i ＝5，当i ＋1＝6时退出循环，结合选项可知，应填i <6？.故选C.
答案：C
5．[2019·开封定位考试]执行如图所示的程序框图，若输出的结果为3，则输入的x 为( )
A ．－1
B ．0
C ．－1或1
D ．－1或0
解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ x <0，－x 2＋4＝3得x ＝－1；由⎩⎪⎨⎪
⎧ x ≥0，3x ＋2＝3得x ＝0.故选D.
答案：D
6．[2019·福州质量抽测]秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州安岳(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例，若输入n ，x 的值分别为3,3，则输出v 的值为( )
A ．143
B ．48
C ．16
D ．5
解析：开始，n＝3，x＝3，v＝1，i＝2，第一次循环，v＝vx＋i＝1×3＋2＝5，i＝1；第二次循环，v＝vx＋i＝5×3＋1＝16，i＝0；第三次循环，v＝vx＋i＝16×3＋0＝48，i ＝－1，不满足条件，退出循环．输出v＝48，故选B.
答案：B。