广州市华附奥校高中数学选修2-2第一章《推理与证明》检测(答案解析)

一、选择题
1．甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问数学考试的成绩老师说：你们四人中有两位优秀、两位良好，我现在给乙看甲、丙的成绩，给甲看丙的成绩，给丁看乙的成绩，看后乙对大家说：我还是不知道我的成绩.根据以上信息，则（ ） A ．甲可以知道四人的成绩 B ．丁可以知道四人的成绩 C ．甲、丁可以知道对方的成绩 D ．甲、丁可以知道自己的成绩 2．观察下列各式：a+b=1.a 2+b 2=3，a 3+b 3=4 ，a 4+b 4=7,a 5+b 5=11,…，则a 10+b 10=（ ） A ．28
B ．76
C ．123
D ．199
3．甲、乙、丙、丁四个孩子踢球打碎了玻璃．甲说：“是丙或丁打碎的．”乙说：“是丁打碎的．”丙说：“我没有打碎玻璃．”丁说：“不是我打碎的．”他们中只有一人说了谎，请问是（ ）打碎了玻璃． A ．甲
B ．乙
C ．丙
D ．丁
4．观察如图中各多边形图案，每个图案均由若干个全等的正六边形组成，记第n 个图案中正六边形的个数是()f n .
由(1)1f =，(2)7f =，(3)19f ，…，可推出(10)f =（ ） A ．271
B ．272
C ．273
D ．274
5．某个命题与正整数n 有关，如果当()*,n k k N =∈ 时命题成立，那么可推得当
1n k =+时命题也成立. 现已知当n=8时该命题不成立，那么可推得 （ ） A ．当n=7时该命题不成立 B ．当n=7时该命题成立 C ．当n=9时该命题不成立 D ．当n=9时该命题成立
6．已知n 为正整数用数学归纳法证明2()135(21)f n n n =++++-=时，假设
*(n k k N =∈）时命题为真，即2
()f k k =成立，则当1n k =+时，需要用到的(1)f k +与
()f k 之间的关系式是( )
A ．(1)()23f k f k k +=+-
B ．(1)()21f k f k k +=+-
C ．(1)()21f k f k k +=++
D ．(1)()23f k f k k +=++
7．用数学归纳法证明“l+2+3+…+n 3
=632
n n +，n ∈N*”，则当n=k+1时，应当在n=k 时对应
的等式左边加上（ ） A ．k 3+1 B ．（k 3+1）+（k 3+2）+…+（k+1）3
C ．（k+1）3
D ．63(1)(1)2
k k +++
8．（河南省南阳市第一中学2018届高三第十四次考试）某校有A ，B ，C ，D 四件作品参加航模类作品比赛.已知这四件作品中恰有两件获奖.在结果揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四件参赛作品的获奖情况预测如下： 甲说：“A 、B 同时获奖”； 乙说：“B 、D 不可能同时获奖”； 丙说：“C 获奖”；
丁说：“A 、C 至少一件获奖”.
如果以上四位同学中有且只有二位同学的预测是正确的，则获奖的作品是 A ．作品A 与作品B B ．作品B 与作品C C ．作品C 与作品D
D ．作品A 与作品D
9．对命题“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想出：四面都为正三角形的正四面
体的内切球切于四个面的什么位置？ A ．正三角形的顶点
B ．正三角形的中心
C ．正三角形各边的中点
D ．无法确定
10．下面结论正确的是（ ）
①“所有2的倍数都是4的倍数，某数m 是2的倍数，则m 一定是4的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的.
②在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适. ③由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理. ④一个数列的前三项是1,2,3，那么这个数列的通项公式必为(
)n a n n =∈*
N .
A ．①③
B ．②③
C ．③④
D ．②④
11．若a ，b 是常数，a >0，b >0，a ≠b ，x ，y ∈(0，＋∞)，则()2
22a b a b x y x y
++≥+，当且仅当
a x ＝
b y 时取等号．利用以上结论，可以得到函数f (x )＝3413x x +
- (0<x <1
3
)的最小值为( ) A ．5 B ．15 C ．25
D ．2
12．根据给出的数塔猜测12345697⨯+=（ ）
19211⨯+=
1293111⨯+=
123941111⨯+= 12349511111⨯+= 1234596111111⨯+=
…
A ．1111110
B ．1111111
C ．1111112
D ．1111
113 二、填空题
13．在圆中：半径为r 的圆的内接矩形中，以正方形的面积最大，最大值为22r .类比到球
中：半径为R 的球的内接长方体中，以正方体的体积最大，最大值为__________． 14．观察下列等式：
请你归纳出一般性结论______.
15．在平面几何中有如下结论：若正三角形ABC 的内切圆周长为1C ，外接圆周长为2C ，
则
121
2
C C =.推广到空间几何可以得到类似结论：若正四面体ABC
D 的内切球表面积为1S ，外接球表面积为2S ，则
1
2
S S =__________． 16．观察下列各式：(1) 2()2x x '=，(2) 43()4x x '=，(3) (cos )sin x x '=-，……，根据以上事
实，由归纳推理可得：若定义在R 上的偶函数()f x 的导函数为()g x ，则(0)g =____. 17．刘老师带甲、乙、丙、丁四名学生去西安参加自主招生考试，考试结束后刘老师向四名学生了解考试情况．四名学生回答如下： 甲说：“我们四人都没考好．” 乙说：“我们四人中有人考的好．” 丙说：“乙和丁至少有一人没考好．” 丁说：“我没考好．”
结果，四名学生中有两人说对了，则这四名学生中的______________两人说对了． 18．甲、乙、丙三名同学中只有一人考了满分，当他们被问到谁考了满分时， 甲说：丙没有考满分； 乙说：是我考的； 丙说：甲说真话．
事实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得满分的同学是_____． 19．在探究实系数一元二次方程的根与系数的关系时，可按下述方法进行：
设实系数一元二次方程2
2100a x a x a ++=……①
在复数集C 内的根为1x ，2x ，则方程①可变形为()()2120a x x x x --=， 展开得()2
22122120a x a x x x a x x -++=.……②
比较①②可以得到：112
20
122a x x a a x x a ⎧
+=-⎪⎪
⎨⎪=⎪⎩
类比上述方法，设实系数一元n 次方程1
1100n n n n a x a x a x a --++
++=（2n ≥且
*N n ∈）在复数集C 内的根为1x ，2x ，…，n x ，则这n 个根的积1
n
i i x ==∏ __________．
20．用反证法证明“,a b N ∈，ab 可被5整除，那么a ，b 中至少有一个能被5整除”时，应假设_______.
三、解答题
21．在数列{}n a 中，已知11a =，112n
n n
a a a +=+. （1）计算2a ，3 a ，4a ；
（2）根据计算结果猜想出{}n a 的通项公式n a ，并用数学归纳法证明你的结论.
22．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足2
2n n S a n =+
（1）求1a ，2a ，3a 的值，并猜想数列{}n a 的通项公式并用数学归纳法证明； （2）令1
1
n n n b a a +=
⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ．
23．已知()()()2
012211+=+-+-n
x a a x a x ()()1++-∈n
n a x n *N .
（1）求0a 及12n n S a a a =++
+；
（2）试比较n S 与223n n -的大小，并用数学归纳法证明. 24．求证：()
()2
3
3
3
*
1212L n L n n N +++=+++∈.
25．记S n =1+2+3+…+n ，T n =12+22+32+…+n 2． （Ⅰ）试计算
3
12123,,S S S T T T 的值，并猜想n n
S T 的通项公式． （Ⅱ）根据（Ⅰ）的猜想试计算T n 的通项公式，并用数学归纳法证明之． 26．设a ，b 均为正数，且a b ．证明：
（1）664224a b a b a b +>+ （2
>
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1．D 解析：D 【分析】
先由乙不知道自己成绩出发得知甲、丙和乙、丁都是一优秀、一良好，那么甲、丁也就结合自己看的结果知道自己成绩了. 【详解】
解：乙看后不知道自己成绩，说明甲、丙必然是一优秀、一良好，则乙、丁也必然是一优秀、一良好；甲看了丙的成绩，则甲可以知道自己和丙的成绩；丁看了乙的成绩，所以丁可以知道自己和乙的成绩，故选D. 【点睛】
本题考查了推理与证明，关键是找到推理的切入点.
2．C
解析：C 【详解】 由题观察可发现，
347,4711,71118+=+=+=， 111829,182947+=+=， 294776,4776123+=+=，
即1010123a b +=, 故选C.
考点：观察和归纳推理能力.
3．D
解析：D 【分析】
假设其中一个人说了谎，针对其他的回答逐个判断对错即可，正确答案为丁． 【详解】
假设甲打碎玻璃，甲、乙说了谎，矛盾， 假设乙打碎了玻璃，甲、乙说了谎，矛盾， 假设丙打碎了玻璃，丙、乙说了谎，矛盾， 假设丁打碎了玻璃，只有丁说了谎，符合题意， 所以是丁打碎了玻璃； 故选：D 【点睛】
本题考查了进行简单的合情推理，采用逐一检验的方法解题，属基础题．
4．A
解析：A
观察图形，发现，第一个图案中有一个正六边形，第二个图案中有7个正六边形；… 根据这个规律，即可确定第10个图案中正六边形的个数． 【详解】
由图可知，()11f =，
()212667f =+⨯-=， ()()312362619f =++⨯-⨯=，
()()212362619f =++⨯-⨯=， ()()4123463637f =+++⨯-⨯=，
…
()()101234...10696271.f =+++++⨯-⨯=
故选A. 【点睛】
此类题要能够结合图形，发现规律：当2n ≥时，()()()161.f n f n n --=-
5．A
解析：A 【解析】
分析：本题考查的知识点是数学归纳法，由归纳法的性质，我们由P （n ）对n=k 成立，则它对n=k+1也成立，由此类推，对n ＞k 的任意整数均成立，结合逆否命题同真同假的原理，当P （n ）对n=k 不成立时，则它对n=k-1也不成立，由此类推，对n ＜k 的任意正整数均不成立，由此不难得到答案．
详解：由题意可知，原命题成立则逆否命题成立， P （n ）对n=8不成立，P （n ）对n=7也不成立， 否则n=7时成立，由已知推得n=8也成立． 与当n=7时该命题不成立矛盾 故选：A ．
点睛：当P （n ）对n=k 成立，则它对n=k+1也成立，由此类推，对n ＞k 的任意整数均成立；结合逆否命题同真同假的原理，当P （n ）对n=k 不成立时，则它对n=k-1也不成立，由此类推，对n ＜k 的任意正整数均不成立．
6．C
解析：C 【解析】
分析：先根据条件确定()1f k +式子，再与()f k 相减得结果. 详解：因为()()13521f n n =+++
+-，所以()()13521f k k =++++-
()()()11352121f k k k +=++++-++，所以()()121f k f k k +-=+,
选C.
点睛：本题考查数学归纳法，考查数列递推关系.
7．B
解析：B 【解析】
分析：当项数从n k =到1n k =+时，等式左边变化的项可利用两个式子相减得到。

详解：当n k = 时，等式左边3123....k =+++
当1n k =+时，等式左边3
3
3
3
3
123....(1)(2)(3)...(1)k k k k k =+++++++++ 所以增加的项为3
3
3
3
(1)(2)(3)...(1)k k k k +++++ 所以选B
点睛：本题考查了数学归纳法的应用，当项数变化时分析出增加的项，属于简单题。

8．D
解析：D 【解析】
根据题意，,,,A B C D 作品中进行评奖，由两件获奖， 且有且只有二位同学的预测是正确的，
若作品A 与作品B 获奖，则甲、乙，丁是正确的，丙是错误的，不符合题意； 若作品B 与作品C 获奖，则乙、并、丁是正确的，甲是错误的，不符合题意； 若作品C 与作品D 获奖，则甲、乙，丙是正确的，丁是错误的，不符合题意； 只有作品A 与作品D 获奖，则乙，丁是正确的，甲、丙是错误的，符合题意， 综上所述，获奖作品为作品A 与作品D ，故选D.
9．B
解析：B 【解析】
分析：由题意结合几何体的空间关系进行类比推理即可求得最终结果.
详解：绘制正三棱锥的内切球效果如图所示，很明显切点在面内而不在边上，则选项AC 错误，由“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想出：四面都为正三角形的正四面体的内切球切于四个面的正三角形的中心. 本题选择B 选项.
点睛：在进行类比推理时，要尽量从本质上去类比，不要被表面现象所迷惑；否则只抓住一点表面现象甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误．
10．A
解析：A 【解析】
①“所有2的倍数都是4的倍数，某数m 是2的倍数，则m 一定是4的倍数”这是三段论推理，但其结论是错误的，原因是大前提“所有2的倍数都是4的倍数”错误，故①正确；②在类比时，平面中的三角形与空间中的四面体作为类比对象较为合适，故②错误；③由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理，且是类比推理，正确；④一个数列的前三项是1,2,3，那么这个数列的通项公式是(
)n a n n N
*
=∈错误，如数列
1,2,3,5，故④错误，∴正确的命题是①③，故选A.
11．C
解析：C 【解析】
由题意可得f (x )＝3413x x +-＝2232313x x +
-≥()2
32313x
x ++-＝25， 当且仅当33x ＝213x -，即x ＝15
时取等号，故最小值为25. 故选：C
12．B
解析：B 【解析】 由1×9+2=11； 12×9+3=111； 123×9+4=1111； 1234×9+5=11111； …
归纳可得：等式右边各数位上的数字均为1，位数跟等式左边的第二个加数相同，
∴123456×9+7=1111111， 本题选择B 选项.
二、填空题
13．【解析】分析：圆的内接矩形中以正方形的面积最大当边长等于时类比球中内接长方体中以正方体的体积最大棱长为详解：圆的内接矩形中以正方形的面积最大当边长时解得时类比球中内接长方体中以正方体的体积最大当棱长
解析：
3
9
R 【解析】
时，类比球中内接长方体
R
详解：圆的内接矩形中，以正方形的面积最大，当边长2
2
2
a a (2)r +=时，解得a =时，
类比球中内接长方体中，以正方体的体积最大，当棱长2222
a a a (2)R ++=, 解得
a =
3R
点睛：类比推理，理会题意抓住题目内在结构相似的推导过程，不要仅模仿形式上的推导过程。

14．【解析】分析：根据题意观察各式可得其规律用将规律表示出来即可（且为正整数）详解：根据题意观察各式可得：第①式中；②式中第③式中；…规律可表示为：即答案为点睛：本题要求学生通过观察分析归纳并发现其中的 解析：222222(7)(74)(75)(71)(72)(76)k k k k k k ++++=+++++k z ∈
【解析】
分析：根据题意，观察各式可得其规律，用k 将规律表示出来即可．（2k ≥，且k 为正整数）
详解：根据题意，观察各式可得： 第①式中，1k =-； ②式中，0k = 第③式中，1k =；…
规律可表示为：()()()()()()2
2
2
2
2
2
77475717276k k k k k k ++++=+++++ k z ∈ 即答案为()()()()()()2
2
2
2
2
2
77475717276k k k k k k ++++=+++++ k z ∈. 点睛：本题要求学生通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．
15．【解析】分析：平面图形类比空间图形二维类比三维得到类比平面几何的结论确定正四面体的外接球和内切球的半径之比即可求得结论详解：平面几何中圆的周长与圆的半径成正比而在空间几何中球的表面积与半径的平方成正
解析：1 9
【解析】
分析：平面图形类比空间图形,二维类比三维得到,类比平面几何的结论,确定正四面体的外接球和内切球的半径之比,即可求得结论.
详解：平面几何中，圆的周长与圆的半径成正比，而在空间几何中，球的表面积与半径的
平方成正比，因为正四面体的外接球和内切球的半径之比是1
3
，1
2
1
9
S
S
∴=，故答案为1
9
.
点睛：本题主要考查类比推理，属于中档题.类比推理问题，常见的类型有：（1）等差数列与等比数列的类比；（2）平面与空间的类比；（3）椭圆与双曲线的类比；（4）复数与实数的类比；（5）向量与数的类比.
16．0【解析】由（x2）=2x中原函数为偶函数导函数为奇函数；（x4）=4x3中原函数为偶函数导函数为奇函数；（cosx）=﹣sinx中原函数为偶函数导函数为奇函数；…我们可以推断偶函数的导函数为奇函数
解析：0
【解析】
由（x2）'=2x中，原函数为偶函数，导函数为奇函数；
（x4）'=4x3中，原函数为偶函数，导函数为奇函数；
（cosx）'=﹣sinx中，原函数为偶函数，导函数为奇函数；
…
我们可以推断，偶函数的导函数为奇函数．
若定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=f（x），
则函数f（x）为偶函数，
又∵g（x）为f（x）的导函数，则g（x）奇函数
故g（﹣x）+g（x）=0，即g（﹣0）=﹣g（0），g（0）=0
故答案为：0．
17．乙丙【解析】甲与乙的关系是对立事件二人说话矛盾必有一对一错如果选丁正确则丙也是对的所以丁错误可得丙正确此时乙正确故答案为乙丙
解析：乙，丙
【解析】
甲与乙的关系是对立事件，二人说话矛盾，必有一对一错，如果选丁正确，则丙也是对的，所以丁错误，可得丙正确，此时乙正确．故答案为乙，丙．
18．甲【详解】分析题意只有一人说假话可知假设只有甲说的是假话即丙考满分则乙也是假话故假设不成立；假设只有乙说的是假话则甲和丙说的都是真话即乙没有得满分丙没有得满分故甲考满分假设只有丙说的是假话即甲和乙说
解析：甲 【详解】
分析题意只有一人说假话可知，
假设只有甲说的是假话，即丙考满分，则乙也是假话，故假设不成立；
假设只有乙说的是假话，则甲和丙说的都是真话，即乙没有得满分，丙没有得满分，故甲考满分.
假设只有丙说的是假话，即甲和乙说的是真话，即丙说了真话，矛盾，故假设不成立. 综上所述，得满分的是甲.
19．【解析】计算可得：①设方程a0x+a1=0的1个根是x1则；②设方程a0x2+a1x+a2=0的2个根是x1x2则；③设方程a0x3+a1x2+a2x+a3=0的3个根是x1x2x3则；④设方程a0 解析：()
1n
n
a a - 【解析】 计算可得：
①设方程a 0x +a 1=0的1个根是x 1,则1
10
a x a =-
； ②设方程a 0x 2+a 1x +a 2=0的2个根是x 1,x 2,则2
120
a x x a =
； ③设方程a 0x 3+a 1x 2+a 2x +a 3=0的3个根是x 1,x 2,x 3,则3
1230
a x x x a =-
； ④设方程a 0x 4+a 1x 3+a 2x 2+a 3x +a 4=0的4个根是x 1,x 2,x 3,x 4,则4
12340
a x x x x a =； …
观察式子的变化规律，
发现每一个方程的一个根都可能写成规律性的式子， 是首项与尾项的分式形式，且符号是正负相间：
3
12000
,,a a a a a a -
- 依此类推,第n 个式子是()
1n
n
a a -. 点睛：归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，由归纳推理所得的结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法．
20．中没有能被整除的数【分析】反证法证明中假设时只需要对结论进行否定即可【详解】至少有个的否定是最多有个故应假设中没有一个能被5整除【点睛】本题考查了反证法的定义注意对于像含有至少至多都或且等特殊词语命
解析：,a b 中没有能被5整除的数 【分析】
反证法证明中，假设时只需要对结论进行否定即可. 【详解】
“至少有n 个”的否定是“最多有1n -个”，故应假设a ，b 中没有一个能被5整除． 【点睛】
本题考查了反证法的定义，注意对于像含有“至少”“至多”“都”“或”“且”等特殊词语命题的否定，属于简单题.
三、解答题
21．（1）213
a =，315a =，41
7a =；（2）121n a n =-，证明见解析.
【分析】
（1）利用()
*11112n
n n
a a a n N a +==
∈+，，n 分别取234，，可求出234,,a a a ，并由此猜想
数列{}n a 的通项公式n a 的表达式；
（2）根据计算结果猜想数列{}n a 的通项公式n a 的表达式，用数学归纳法证明①当1n =时，111211
a =
=⨯-，猜想成立；②假设n k =成立，利用()*112n n n a a n N a +=∈+，可证得当1n k =+时猜想也成立，故可得结论. 【详解】
（1）∵111,(1,2,3,)12n
n a a a n a
+===⋅⋅⋅+， ∴1211
123
a a a =
=+， 同理可得：315a =
，417
a =. （2）由（1）计算结果猜想1
21
n a n =-， 下面用数学归纳法证明： ①当1n =时，11
1211
a ==
⨯-，猜想成立， ②假设当()*
1n k k N
=+∈时，猜想成立，即：1
21
k
a
k =
-. 则当()*
1n k k N =+∈时，11
1121212212(1)1121
k k k a k a a k k k +-====+++-+-，
所以，当1n k =+时，猜想成立. 根据①②可知猜想对任何*n N ∈都成立. 【点睛】
本题主要考查了以数列递推式为载体，考查了数列的通项的猜想与证明，解题的关键是利用数学归纳法证明，尤其第二步的证明.属于中档题．
22．（1）11a =，22a =，33a =，猜想n a n =，见解析；（2）1
n n T n =+ 【分析】
（1）分别计算1a ，2a ，3a ，猜想得n a ，然后依据数学归纳法的证明步骤，可得结果. （2）根据（1）得n b ，然后利用裂项相消法，可得结果. 【详解】 （1）当1n =时，
21121S a =+，解得11a =
当2n =时，
22222S a =+，即()22214a a +=+，得22a =
当3n =时，
23323S a =+，即()332129a a ++=+，得33a =
猜想n a n =，下面用数学归纳法证明： 当1n =时， 11a =，猜想成立 假设当(N n k k +=∈时，猜想成立， 即k a k =， (1)
2
k k k S +=
， 则当1n k =+时， 2
112(1)k k S a k ++=++，
∴()2
112(1)k k k S a a k +++=++，
221(1)2(1)(1)1k k a k S k k k k +∴=+-=+-+=+，
所以猜想成立
综上所述， 对于任意N n +∈，n a n =均成立． （2）由（1）得111(1)1
n
b n n n
n
所以11111
112231n T n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+
+- ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
则1111
n n T n n =-=++ 【点睛】
本题考查数学归纳法证明方法以及裂项相消法求和，熟练掌握数学归纳法的步骤，同时对
常用的求和方法要熟悉，属基础题.
23．（1）3n ，43n n -；（2）223,n n S n n N *
>-∈.
【解析】
分析：（1）令2x =，则
4n
n i
i a
==∑，1x =，则03n a =，两式做差得到结果；（2）要比
较n S 与223n n -的大小，只要比较4n 与22n 的大小，接下来应用数学归纳法得到结果即可. 详解：
（1）令1x =，则03n
a =，
令2x =，则
4n
n i
i a
==∑，
所以
1
43n
n n i
i a
==-∑．
（2）要比较n S 与223n n -的大小，只要比较4n 与22n 的大小． 猜想：2
*
42,n
n n N >∈． 下面用数学归纳法证明： ①当1n =时，42>,结论成立． ②假设当(
)*
n k k N =∈时结论成立，即24
2k
k >，
则当1n k =+时，(
)1
22224
444222k k k k k k +=⨯>⨯=++，
因为*k N ∈，所以22221k k k +≥+，所以()()
()2
2
2
2
2
2222121k
k k k
k k ++≥++=+
所以()2
1421k k +>+， 即1n k =+时结论也成立．
由①②可知，*n N ∈时，242n n >
所以2*
23,n n S n n N >-∈.
点睛：本题考查了二项式展开式的系数和问题，以及数学归纳法的证明的应用，数学归纳法，注意假设n=k+1的证明过程中，一定要用到n=k 的结论. 24．见解析. 【解析】
试题分析：等式是关于正整数n 的一个式子，所以可以用数学归纳法证明，先检验n=1的情况，再假设当*
n k,k 1,k N =≥∈时，等式成立，即()2
3331+2++k 1+2+
+k =，继
而证明n k 1=+时， ()()()3
2
3
3331+2++k +k 11+2+
+k +k 1+=+成立，即可。

证明：（数学归纳法）
（1）当n 1=时，左边=1，右边=1，等式成立；
（2）假设当*
n k,k 1,k N =≥∈时，等式成立，即()2
3331+2+
+k 1+2++k =，
那么，当n k 1=+时， ()()()3
23
3331+2++k +k 11+2+
+k +k 1+=+，
下证：()()()()2
2
3
1+2++k +k 11+2++k k 1+=++， 事实上，()(
)()()()()22
2
1+2+
+k k 11+2++k +21+2+
+k k 1k 1++=+++
()()()()()()()2
2
2
2
2
k k+11+2++k +2
k 1k 11+2++k +k k 1k 12
=+++=+++
()()2
3
1+2++k +k 1=+
这就是说，当n k 1=+时，等式成立， 由（1）（2）可知，对任意正整数n ，()2
3331+2++n 1+2+
+n =
25．（Ⅰ）333
1,,;5721
n + （Ⅱ）见解析
【解析】 试题分析：
(1)利用题意求解数列的前3项可得通项公式n n S T =321
n +； (2)利用题意猜想通项公式为()()
1216
n n n n T ++= ，然后利用数学归纳法证明结论即可.
试题 解：（Ⅰ）
猜想：
，
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的猜想：
又，
故
（n ∈N *），
证明：①当（Ⅱ）时，左边T 1=1，右边=左边=右边，猜想成
立．
②假设n=k 时，猜想成立．即
成立．
则当n=k+1时， =， =
=
，
=
=
，
∴当n=k+1时，猜想也成立． 由①②知对于任意的n ∈N *，
均成立．
26．（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】
（1）运用作差比较法()()()()2
664224222
2
+a b a b a b a b a b +-+=-，判断差的符号，可
得证；
（2）运用作差比较法(2
+a b
a b
a b
b a ab
-
=
号，可得证. 【详解】
（1）因为a ，b 均为正数，且a
b ，
所以(
)()()()6
6
42
24642624a b
a b a b a a b b a b +-+=-+-
()()()()()()2
4
2
242
222442222++>0a a b b b a a b a b a b a b =--=--=-，
所以()()6
642
24>0a
b a b
a b +-+，
所以664224a b a b a b +>+成立. （2）因为a ，b 均为正数，且a b ，
所以(
+a a b b a b b a
a b b
a ab
---=
()
2
+a b a b a b
a b
ab
ab
-=
=
，
a b b a
>. 【点睛】
本题考查用作差比较法证明不等式，把差式化成因式乘积的形式，是解题的关键，属于中
档题.。