高二数学上学期期末考试试题文含解析 (2)

耀华中学2021—2021学年度第一学期期末考试
高二年级数学学科试卷〔文科〕
Ⅰ卷〔40分〕
一、选择题：将选择题答案填在题中括号里〔每一小题4分，一共计40分〕 1.设命题:p x ∃∈R ，22012x >，那么P ⌝为〔 〕． A. x ∀∈R ，22012x ≤ B. x ∀∈R ，22012x > C. x ∃∈R ，22012x ≤ D. x ∃∈R ，22012x <
【答案】A 【解析】 【分析】
根据含有一个量词的命题的否认，可直接得出结果. 【详解】解：P ⌝表示对命题P 的否认，
“x ∃∈R ，22012x >〞的否认是“x ∀∈R ，22012x ≤〞 ． 应选A ．
【点睛】此题主要考察命题的否认，只需改写量词与结论即可，属于常考题型.
2.命题“假设a ，b 都是奇数，那么+a b 是偶数〞的逆否命题是〔 〕． A. 假设两个整数a 与b 的和+a b 是偶数，那么a ，b 都是奇数 B. 假设两个整数a ，b 不都是奇数，那么+a b 不是偶数
C. 假设两个整数a 与b 的和+a b 不是偶数，那么a ，b 都不是奇数
D. 假设两个整数a 与b 的和+a b 不是偶数，那么a ，b 不都是奇数 【答案】D
【解析】 【分析】
根据逆否命题的概念，即可写出结果. 【详解】解：由逆否命题定义可知：
命题“a ，b 都是奇数，那么a b +是偶数〞的逆否命题是：“假设a b +不是偶数，那么a ，
b 不都是奇数〞．
应选D
【点睛】此题主要考察逆否命题，熟记四种命题间的关系即可，属于根底题型.
3.设2
:2310p x x -+≤，2:(21)(1)0q x a x a a -+++≤，假设p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，
那么实数a 的取值范围是〔 〕． A. 10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
C. (]1
,0,2⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭
D. 1(,0),2⎛⎫
-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭
【答案】A 【解析】 【分析】
先由题意分别得到,p q 对应的集合A 与集合B ，再由p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，得到
A B ，进而可求出结果.
【详解】由题意可得：
p 对应集合112A x
x ⎧⎫
=≤≤⎨⎬⎩⎭
，
q 对应集合{}|1B x a x a =≤≤+，
∵p ⌝是q ⌝的必要不充分条件， ∴p 是q 的充分不必要条件， ∴A B ， ∴11a +≥且1
2
a ≤， ∴102
a ≤≤． 应选A
【点睛】此题主要考察由必要不充分条件求参数的问题，熟记充分条件与必要条件概念，以及集合间的关系即可，属于常考题型.
4.椭圆的中点在原点，焦点在x 轴上，且长轴长为12，离心率为1
3
，那么椭圆的方程为〔 〕．
A. 22
13624x y +
= B. 22
13620x y +
= C. 22
13236
x y +
= D.
22
13632x y += 【答案】D 【解析】 【分析】
根据长轴长以及离心率，可求出6a =，2c =，再由222b a c =-，进而可求出结果. 【详解】解：由题意知，
212a =，13
c a =，
所以6a =，2c =， ∴22232b a c =-=，
又因为焦点在x 轴上，
∴椭圆方程：22
13632x y +
=． 应选D ．
【点睛】此题主要考察根据,,a b c 求椭圆方程，熟记椭圆的HY 方程即可，属于根底题型.
5.设抛物线212y x =的焦点为F ，点P 在此抛物线上且横坐标为5，那么||PF 等于〔 〕． A. 4 B. 6
C. 8
D. 10
【答案】C 【解析】 【分析】
先由抛物线方程得到6P =，再由抛物线定义，即可求出结果. 【详解】解：因为抛物线方程212y x =，所以6P =， 由抛物线的定义可得：6
||5822
P P PF x =+=+=． 应选C ．
【点睛】此题主要考察求抛物线上的点到焦点间隔 ，熟记抛物线的定义即可，属于根底题型.
6.假设双曲线过点，且渐近线方程为1
3y x =±，那么该双曲线的方程是〔 〕．
A. 2
2
19
x y -=
B. 2
219y x -=
C. 2
2
19
y x -=
D.
2
219x y -= 【答案】A 【解析】
【分析】
先由渐近线方程，设双曲线方程为2
2(0)9
x y λλ-=≠，再由题意，即可求出结果.
【详解】解：因为双曲线的渐近线方程为1
3y x =±，
所以，可设双曲线HY 方程为：2
2(0)9x y λλ-=≠，
∵双曲线过，代入方程得1λ=-，
∴双曲线方程：2
2
19
x y -=．
应选A ．
【点睛】此题主要考察求双曲线的方程，熟记双曲线HY 方程的求法即可，属于根底题型.
7.圆22240x y x my +-+-=上两点M ，N 关于直线20x y +=对称，那么圆的半径为〔 〕．
A. 9
B. 3
C. D. 2
【答案】B 【解析】
由题意知，圆心(1,)2m
-
在直线2x ＋y ＝0上，∴2－12
m ＝0，解得m ＝4， ∴圆的方程为(x －1)2
＋(y ＋2)2
＝9，圆的半径为3.
2
=x 的焦点，A,B 是该抛物线上的两点，=3AF BF +，那么线段AB 的中点到y 轴的间隔 为
〔 〕
A.
3
4
B. 1
C.
54
D.
74
【答案】C 【解析】
试题分析：：∵F 是抛物线2y x =的焦点，F 〔14，0〕准线方程x=-1
4
，设A ()11,x y ，B ()22,x y
∴|AF|+|BF|=1211344
x x +++=，解得125
2x x +=∴线段AB 的中点横坐标为54
∴线段AB 的中点到y 轴的间隔 为5
4
考点：抛物线方程及性质 【此处有视频，请去附件查看】
9.以下四个命题中真命题是〔 〕． 1:(0,1)P x ∀∈，112
3
log log x x ≤
2:(0,)P x ∃∈+∞，12
1log 2x
x ⎛⎫
⎪⎝⎭≤
13:0,3P x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，131log 2x
x ⎛⎫
⎪⎝⎭≥
4:(0,)P x ∀∈+∞，1123x
x
⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
≥
A. 2P ，3P
B. 2P ，4P
C. 1P ，3P
D. 1P ，
4P
【答案】A 【解析】 【分析】
根据对数函数与指数函数的性质，逐项判断，即可得出结果. 【详解】解：1P ：()0,1x ∀∈，
112
3
log log x x >故
1P 不正确；
2P ：()0,x ∃∈+∞，12
1log 2x
x ⎛⎫
≤ ⎪⎝⎭故2P 正确；
3P ：10,3x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，13
1log 2x
x ⎛⎫
≤ ⎪⎝⎭故3P 正确；
4P ：()0,x ∀∈+∞，1123x x
⎛⎫⎛⎫
> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
故4P 不正确．
应选A ．
【点睛】此题主要考察命题真假的断定，熟记指数函数与对数函数的性质即可，属于常考题型.
10.设P 是双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>与圆2222x y a b +=+在第一象限的交点，1F ，2F 分
别是双曲线的左，右焦点，假设21tan 3PF F ∠=，那么双曲线的离心率为〔 〕．
【答案】B 【解析】 【分析】
先由双曲线定义与题中条件得到12||||2PF PF a -=，21tan 3PF F ∠=，求出1||3PF a =，2||PF a =，再由题意得到1290F PF ∠=︒，即可根据勾股定理求出结果.
【详解】解：根据双曲线定义：12||||2PF PF a -=，21tan 3PF F ∠=，
∴12||3||PF PF =，
∴1||3PF a =，2||PF a =
，r c =， ∴12F F 是圆的直径，
∴1290F PF ∠=︒，在12Rt F PF △中，222(3)(2)a a c +=
，得e =． 应选B ．
【点睛】此题主要考察求双曲线的离心率，熟记双曲线的简单性质即可，属于常考题型.
第二卷〔60分〕
二、填空题：〔每一小题5分，一共计25分〕
11.设:14x α<≤；:x m β<，假设α是β的充分条件，那么实数m 的取值范围是__________． 【答案】4m ≥ 【解析】 【分析】
先令{}|14A x x =<≤，{}|B x x m =<，由命题间的关系，得到集合之间关系，进而可求出结果.
【详解】解：令{}|14A x x =<≤，{}|B x x m =<， 因为α是β的充分条件， 那么A B ⊆， ∴4m ≥． 故答案为4m ≥
【点睛】此题主要考察由充分条件求参数，熟记充分条件的概念，以及命题间的关系即可，属于常考题型.
12.设1F ，2F 分别是椭圆22
12516x y +
=的左，右焦点，P 为椭圆上一点，M 是1F P 的中点，||3OM =，那么P 点到椭圆左焦点的间隔 为__________．
【答案】4 【解析】
【分析】
先由题意得到，OM 是12PF F △中位线，由||3OM =求出2||6PF =，再由椭圆定义，即可求出结果.
【详解】解：根据题意知，OM 是12PF F △中位线， ∵||3OM =， ∴2||6PF =，
∵12||||210PF PF a +==， ∴1||4PF =． 故答案为4
【点睛】此题主要考察椭圆上的点到焦点的间隔 ，熟记椭圆定义即可，属于根底题型.
13.双曲线22
1916
x y -=上一点P 到点()15,0F -的间隔 为7，
那么点P 到点()25,0F 的间隔 为__________． 【答案】13 【解析】 【分析】
先由双曲线方程得到3a =，1||7PF =，根据双曲线的定义，即可求出结果. 【详解】根据题意3a =，1||7PF =， 1226PF PF a -==，
即2||13PF =或者21PF =， 又22PF c a ≥-=，所以2||13PF =. 故答案为13
【点睛】此题主要考察双曲线的定义，熟记定义即可，属于根底题型.
14.P 是抛物线24x y =上的一动点，那么点P 到直线1:4370l x y --=和2:1l y =-的间隔 之和的最小值是__________． 【答案】2 【解析】 【分析】
先设200,4x P x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，
根据点到直线间隔 公式得到P 到1l 间隔 为2
00347
45
x x --，再得到P 到2l 间隔 为20
14
x +，进而可求出结果.
【详解】解：设2
00,4x P x ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，
那么P 到1l 间隔 为200347
4
5
x x --， 那么P 到2l 间隔 为20
14
x +，
∵2
200
03385
4704433
x x x ⎛⎫--=---< ⎪⎝⎭， ∴点P 到两直线间隔 和为
2
2
00200347241(1)2545
x x x x -+
+++=-+，
∴当01x =时，间隔 和最小为2． 故答案为2
【点睛】此题主要考察抛物线的应用，熟记抛物线的定义与简单性质即可，属于常考题型.
15.双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的两条渐近线均和圆22:650C x y x +-+=相切，且双曲线
的右焦点为圆C 的圆心，那么该双曲线的方程为__________．
【答案】25x －24y ＝1 【解析】
试题分析：圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0,是以〔3,0〕为圆心，2为半径的圆，可知双曲线中的c=2，双曲线的渐进性方程为：
根据题意点〔3,0〕到渐近线的间隔 为2，
运用点到直线的间隔 公式可得 故双曲线方程为2
5
x －24y ＝1. 考点：双曲线的几何性质.
三、解答题：〔一共3小题，合计35分〕
16.设命题2:,2P x R x x a ∀∈->，命题:Q x R ∃∈,2220x ax a ++-=；假如“P Q ∨〞为真，“P Q ∧〞为假，求a 的取值范围.
【答案】()[)2,11,--⋃+∞
【解析】
试题分析：首先确定
为真时实数的取值范围,再根据p q ∨为真，p q ∧为假可知一真一假,分两种情况:
真假时,假真,即可得的取值范围.
试题解析：解：
对任意的x R ∈恒成立，
令222(1)1l x x x =-=--，∴min 1l =- ∴1a <-
2:44(2)0q a a ∆=-⨯-≥，∴2a ≤-或者1a ≥
命题p q ∨为真，p q ∧为假，那么中一真一假
1{{2121a p a a q <-⇒⇒-<<--<<真假
或者1{{121a p a a a q ≥-⇒⇒≥≤-≥假
或真 ∴的取值范围为21a -<<-或者1a ≥.
考点：1.简单逻辑联结词；2.一元二次不等式.
17.以点(1,2)A -为圆心的圆与直线1:270l x y ++=相切，过点(2,0)B -的动直线l 与圆A 相交于M ，N 两点．
〔1〕求圆A 的方程．
〔2〕当||219MN =时，求直线l 的方程．〔用一般式表示〕
【答案】(1)
(2)或者 【解析】
【分析】
〔1〕利用圆心到直线270x y ++=间隔 等于半径求得圆的半径，进而得到圆的方程；〔2〕由垂径定理可求得AQ ，分别在直线斜率存在与不存在两种情况下来判断，根据圆心到直线的间隔 来求得结果.
【详解】〔1〕由题意知：点()1,2A -到直线270x y ++=的间隔 为圆A 的半径R 147
55R -++∴==∴圆A 的方程为：()()221220x y ++-=
〔2〕连接QA ，那么由垂径定理可知：90MQA ∠=且||19MQ =在Rt AMQ ∆中，由勾股定理知：2
21AQ R MQ =-= 当动直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为1a =-，显然满足题意；
当动直线l 的斜率存在时，设动直线l 的方程为：()2y k x =+
由点()1,2A -到动直线l 的间隔 为1得：22211k k k -+-=+，解得：34k = 此时直线l 的方程为：3460x y -+=
综上，直线l 的方程为：3460x y -+=或者1a =- 【点睛】此题考察直线与圆位置关系的相关问题的求解，涉及直线与圆相切、直线被圆截得的弦长的问题.
18.中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为
12
，且经过点31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 〔1〕求椭圆C 的方程．
〔2〕是否存在过点(2,1)P 的直线1l 与椭圆C 相交于不同的两点A ，B ，满足
2PA PB PM ⋅=？假设存在，求出直线1l 的方程；假设不存在，请说明理由． 【答案】〔1〕；〔2〕存在，.
【解析】
此题考察求椭圆的HY 方程的方法，直线和圆锥曲线的位置关系，两个向量的数量积公式，求出12x x 和12y y 的值是解题的关键
解：⑴设椭圆C 的方程为22
221(0)x y a b a b +=>>，由题意得22222
19141{2
a b c a a b c +===+ 解得22
4,3a b ==，故椭圆C 的方程为22
143x y +=．……………………4分 ⑵假设存在直线1l 满足条件的方程为1(2)1y k x =-+，代入椭圆C 的方程得
22211111(34)8(21)161680k x k k x k k +--+--=．
因为直线1l 与椭圆C 相交于不同的两点,A B ，设,A B 两点的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ，
所以2221[8(21)]4(34)(16168)32(63)0.k k k k k k ∆=---+--=+> 所以． 又21111121222
118(21)16168,3434k k k k x x x x k k ---+==++， 因为2PA PB PM ⋅=，即12125(2)(2)(1)(1)4x x y y --+--=
， 所以2212(2)(2)(1)||x x k PM --+=54
=． 即2121215[2()4](1)4
x x x x k -+++=． 所以222222216168448(21)5[24](1)3434344k k k k k k k k k --+--⋅++==+++，解得112
k =±． 因为,A B 为不同的两点，所以12
k =． 于是存在直线1l 满足条件，其方程为12
y x =
．………………………………12分
励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。

厚积薄发，一鸣惊人。

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耕耘今天，收获明天。

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不要自满，别人不比你笨。

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敢闯敢拼，**协力，争创佳绩。

丰富学校体育内涵，共建时代校园文化。

奋勇冲击，永争第一。

奋斗冲刺，誓要蟾宫折桂;全心拼搏，定能金榜题名。

放心去飞，勇敢去追，追一切我们为完成的梦。

翻手为云，覆手为雨。

二人同心，其利断金。

短暂辛苦，终身幸福。

东隅已逝，桑榆非晚。

登高山，以知天之高;临深溪，以明地之厚。

大智若愚，大巧若拙。

聪明出于勤奋，天才在于积累。

把握机遇，心想事成。

奥运精神，永驻我心。

“想”要壮志凌云，“干”要脚踏实地。

**燃烧希望，励志赢来成功。

楚汉名城，喜迎城运盛会，三湘四水，欢聚体坛精英。

乘风破浪会有时，直挂云帆济沧海。

不学习，如何养活你的众多女人。

不为失败找理由，要为成功想办法。

不勤于始，将悔于终。

不苦不累，高三无味;不拼不搏，高三白活。

不经三思不求教不动笔墨不读书，人生难得几回搏，此时不搏，何时搏。

不敢高声语，恐惊读书人。

不耻下问，学以致用，锲而不舍，孜孜不倦。

博学强识，时不我待，黑发勤学，自首不悔。

播下希望，充满**，勇往直前，永不言败。

保定宗旨，砥砺德行，远见卓识，创造辉煌。

百尺高梧，撑得起一轮月色;数椽矮屋，锁不住五夜书声。