(好题)初中数学九年级数学上册第一单元《特殊平行四边形》检测题(有答案解析)

一、选择题
1．如图，矩形ABCD 被两条对角线分成4个小三角形OAB ∆、OAD ∆、OBC ∆和OCD ∆，若这4个小三角形的周长之和为68，对角线10AC =，则矩形ABCD 的周长是（ ）
A ．14
B ．18
C ．21
D ．28
2．如图，依据尺规作图的痕迹，则α∠是（ ）
A ．54°
B ．36°
C ．28°
D ．72°
3．如图，在菱形ABCD 中，60A ∠=︒，4AB =，O 为对角线BD 的中点，过O 点作OE AB ⊥，垂足为E ．则下列说法错误的是（ ）
A ．点O 为菱形ABCD 的对称中心
B ．2OE =
C ．CDB ∆为等边三角形
D ．4BD =
4．下列说法中正确的是（ ）
A ．对角线互相垂直的四边形是菱形
B ．有一个角是直角的平行四边形是正方形
C ．有两个角相等的四边形是平行四边形
D ．平移和旋转都不改变图形的形状和大小 5．如图，对折矩形纸片ABCD ，使AB 与DC 重合得到折痕EF ，将纸片展平，再一次
折叠，使点D 落到EF 上的点G 处，并使折痕经过点A ，已知2BC =，则线段EG 的长度为（ ）
A ．1
B ．3
C ．5
D ．2 6．如图所示，△ABC 是等边三角形，AQ=PQ ，PR=PS ，PR ⊥AB 于R ，PS ⊥AC 于S ，则四个
结论正确的是( )
①点 P 在∠A 的平分线上； ②AS=AR ； ③QP //AR ； ④△BRP ≌△QSP ．
A ．全部正确
B ．①②正确
C ．①②③正确
D ．①③正确 7．如图，已知正方形ABCD 的边长为4，
E 是边CB 延长线上一点，
F 为AB 边上一点，BE ＝BF ，连接EF 并延长交线段AD 于点
G ，连接CF 交BD 于点M ，连接CG 交BD 于点N ．则下列结论：
①AE ＝CF ；
②∠BFM ＝∠BMF ；
③∠CGF ﹣∠BAE ＝45°；
④当∠BAE ＝15°时，MN ＝433
． 其中正确的个数有（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
8．如图，在矩形ABCD 中，点E 是AD 的中点，EBC ∠的平分线交CD 于点F ，将DEF 沿EF 折叠，点D 恰好落在BE 上M 点处，延长BC 、EF 交于点N ．有下列四个结论：
① DF CF =；②BF EN ⊥；③BEN 是等边三角形；④3BEF DEF S S =△△． 其中，将正确结论的序号全部选对的是（ ）
A ．①②③
B ．①②④
C ．②③④
D ．①②③④
9．如图，在长方形ABCD 中，动点P 从A 出发，以相同的速度，沿A B C D A ----方向运动到点A 处停止．设点P 运动的路程为,x PCD ∆的面积为y ，如果y 与x 之间的关系如图所示，那么长方形ABCD 的面积为（ ）
A ．12
B ．24
C ．20
D ．48
10．如图，矩形ABCD 的两条对角线的一个交角为60︒，两条对角线的长度之和为24cm ，则这个矩形的一条短边的长为（ ）
A ．6cm
B ．12cm
C ．24cm
D ．48cm
11．如图，矩形ABCD 中，3AB =，4BC =，点E 是BC 边上一点，连接AE ，把B 沿AE 折叠，使点B 落在点'B 处，当'CEB ∆为直角三角形时，BE 的长为（ ）
A ．3
B ．32
C ．2或3
D ．3或32
12．菱形OBCA 在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C 的坐标是()8,0，点A 的纵坐标是2，则点B 的坐标是（ ）
A ．()4,2
B ．()4,2-
C ．()2,6-
D ．()2,6
二、填空题
13．如图所示，在矩形ABCD 中，AB a ，BC b =，两条对角线相交于点O ，OB 、OC 为邻边作第1个平行四边形1OBB C ，对角线相交于点1A ，以为11A B 、1A C 邻边作第2个平行四边形111A B C C ，对角线相交于1O ；再以11O B 、11O C 为邻边作第3个平行四边形1121O B B C ……此类推，第2020个平行四边形的面积__________．
14．如图，在菱形ABCD 中，AB=18cm ，∠A=60°，点E 以2cm/s 的速度沿AB 边由A 向B 匀速运动，同时点F 以4cm/s 的速度沿CB 边由C 向B 运动，F 到达点B 时两点同时停止运动．当点E 运动_______秒时，△DEF 为等边三角形．
15．我们把两条对角线所成两个角的大小之比是1：2的矩形叫做“和谐矩形”，如果一个“和谐矩形”的对角线长为10cm ，则矩形的面积为_____cm 2．
16．如图，△ABC 中，13AB AC ==，10BC =，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，点E 为AC 的中点，连接DE ，则△CDE 的周长是________．
17．如图，在ABC ∆中，AC BC =，点D 、E 分别是边AB 、AC 的中点．延长DE 到点F ，使DE EF =，得四边形ADCF ．当ACB =∠________︒时，四边形ADCF 是长方形．
18．在数学课上，老师提出问题：如图，将锐角三角形纸片()ABC BC AC >经过两次折叠，得到边,,AB BC CA 上的点,,D E F ，使得四边形DECF 恰好为菱形．小明给出的折叠方法：如图，①AC 边向BC 边折叠，使AC 边落在BC 边上，得到折痕交AB 于D ；②C 点向AB 边折叠，使C 点与D 点重合，得到折痕交BC 边于E ，交AC 边于F ．老师说：“小明的作法正确．”请回答：小明这样折叠的依据是①______是平行四边形；②______是菱形．
19．如图，长方形ABCD 中，F 是BC 上一点，将ABF ∆沿着AF 翻折，使得翻折后的BF 恰好经过AD 边的中点E ，翻折后的点B 记作点G ．若EF DF =，1FC =，则线段BF 的长度为______．
20．已知四边形ABCD 中，AC BD ⊥，且8AC =，10BD =，E 、F 、M 、N 分别为AB 、BC 、CD 、DA 的中点，那么四边形EFMN 的面积等于______．
三、解答题
21．如图，BD 是△ABC 的角平分线，过点作DE //BC 交AB 于点E ，DF //AB 交BC 于点F ． （1）求证：四边形BEDF 是菱形；
（2）若∠ABC ＝60°，∠ACB ＝45°，CD ＝6，求菱形BEDF 的边长．
22．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝15，E 是BC 上的一点，将△ABE 沿着AE 折叠，点B 刚好落在CD 边上点G 处；点F 在DG 上，将△ADF 沿着AF 折叠，点D 刚好落在AG 上点H
处，且CE ＝45
BE ， （1）求AD 的长；
（2）求FG 的长
23．如图，长方形ABCD 中，AD ＝a cm ，AB ＝b cm ，且a 、b 满足|8－a|＋(b －4)2＝0．
（1）长方形ABCD 的面积为 ；
（2）动点P 在AD 所在直线上，从A 出发向左运动，速度为2cm/s ，动点Q 在DC 所在直线上，从D 出发向上运动，速度为4cm/s ．动点P 、Q 同时出发，设运动时间为t 秒． ①当点P 在线段AD 上运动时，求以D 、P 、B 、Q 为顶点的四边形面积；（用含t 的式子表示）
②求当t 为何值时，S △BAP ＝S △CQB ．
24．如图，已知四边形ABCD 中，90ABC ADC ∠=∠=︒，点E 是AC 中点，点F 是BD 中点．
（1）求证：EF BD ⊥；
（2）过点D 作DH AC ⊥于H 点，如果BD 平分HDE ∠，求证：BA BC =． 25．在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，点D 在射线BC 上（与B 、C 两点不重合），以AD 为边作正方形ADEF ，使点E 与点B 在直线AD 的异侧，射线BA 与直线CF 相交于点G ．
（1）若点D 在线段BC 上，如图（1），判断：线段BC 与线段CG 的数量关系 ，位置关系 ；
（2）如图（2），
①若点D 在线段BC 的延长线上，（1）中判断线段BC 与线段CG 的数量关系与位置关系是否仍然成立，并说明理由；
②当G 为CF 中点，BC ＝2时，求线段AD 的长．
26．如图，在长方形ABCD 中，4AB =，5AD =，点E 为BC 上一点，将ABE △沿AE 折叠，使点B 落在长方形内点F 处，连接DF ，且3DF =，求AFD ∠的度数和BE 的长．
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一、选择题
1．D
解析：D
【分析】
四个小三角形的周长是两条对角线长的2倍与矩形周长的和，由此可求矩形周长．
【详解】
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，
四个小三角形的周长=2AC+2BD+AD+DC+BC+BA，
即40+矩形周长=68，
所以矩形周长为28．
故选：D.
【点睛】
本题考查了矩形的性质和矩形的周长，抓住矩形的对角线相等和四个小三角形的周长=4倍的对角线长+矩形的周长是解决本题的关键．
2．A
解析：A
【分析】
先根据矩形的性质得出AD∥BC，故可得出∠DAC的度数，由角平分线的定义求出∠EAF的度数，再由EF是线段AC的垂直平分线得出∠AEF的度数，根据三角形内角和定理得出∠AFE的度数，进而可得出结论．
【详解】
解：如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB=72°．
∵由作法可知，AF是∠DAC的平分线，
∴∠EAF=1
∠DAC=36°．
2
∵由作法可知，EF是线段AC的垂直平分线，
∴∠AEF=90°，
∴∠AFE=90°-36°=54°，
∴∠α=54°．
故选：A．
【点睛】
本题考查的是作图-基本作图，熟知角平分线及线段垂直平分线的作法是解答此题的关键．3．B
解析：B
【分析】
根据菱形的性质，等边三角形的判定，含30度的直角三角形的性质，勾股定理即可判断得出答案．
【详解】
菱形对角线互相垂直平分，O为对角线BD的中点，也是菱形对角线的交点，所以点O为菱形ABCD的对称中心，故A选项正确；
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB=BC=CD，
∵∠A=60°，
∴∠A=∠C =60°，
∴△ABD和△CBD是等边三角形，故C选项正确；
∴BD=AB=4，故D选项正确；
∠OBE=60°，
∵OE⊥AB，
∴∠BOE=30°，
∵O为对角线BD的中点，
∴OB=1
BD=2，
2
∴BE=1
OB =1，
2
∴
==B选项错误；
故选：B．
【点睛】
本题考查了菱形的性质以及等边三角形的判定与性质，含30度的直角三角形的性质，勾股定理等．注意证得△ABD是等边三角形是关键．
4．D
解析：D
【分析】
根据平行四边形，菱形，正方形的判定，依据平移旋转的性质一一判断即可．
【详解】
解：A、对角线互相垂直的四边形是菱形，错误．应该是对角线互相垂直平分的四边形是菱形，本选项不符合题意．
B、有一个角是直角的平行四边形是正方形，错误．应该是有一个角是直角且邻边相等的平行四边形是正方形，本选项不符合题意．
C、有两个角相等的四边形是平行四边形，错误，可能是等腰梯形．本选项不符合题意．
D、平移和旋转都不改变图形的形状和大小，正确，
故选：D．
【点睛】
本题考查平行四边形的判定，菱形的判定，正方形的判定，平移变换，旋转变换的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
5．B
解析：B
【分析】
由折叠的性质可得AE=1
2
AD=
1
2
BC=1，AG=AD=2，由勾股定理得出EG即可．
【详解】
解：如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，对折矩形纸片ABCD，使AB与DC重合得到折痕EF，
∴AE=1
2AD=
1
2
BC=1，EF⊥AD，
∴∠AEF=90°，
∵再一次折叠，使点D落到EF上点G处
∴AG=AD=2，
∴22
213
-=，
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了翻折变换的性质以及矩形的性质，熟练掌握折叠的性质是解题关键．6．A
解析：A
【分析】
因为△ABC为等边三角形，根据已知条件可推出Rt△ARP≌Rt△ASP，则AR＝AS，故②正确，∠BAP＝∠CAP，所以AP是等边三角形的顶角的平分线，故①正确，根据等腰三角形的三线合一的性质知，AP也是BC边上的高和中线，即点P是BC的中点，因为AQ＝PQ，所以点Q是AC的中点，所以PQ是边AB对的中位线，有PQ∥AB，故③正确，又可推出
△BRP≌△QSP，故④正确．
【详解】
解：∵PR⊥AB于R，PS⊥AC于S
∴∠ARP＝∠ASP＝90°
∵PR＝PS，AP＝AP
∴Rt△ARP≌Rt△ASP
∴AR＝AS，故②正确，∠BAP＝∠CAP
∴AP是等边三角形的顶角的平分线，故①正确
∴AP是BC边上的高和中线，即点P是BC的中点
∵AQ＝PQ
∴点Q是AC的中点
∴PQ是边AB对的中位线
∴PQ∥AB，故③正确
∵Q是AC的中点，
∴QC=QP，
∵∠C=60°，
∴△QPC是等边三角形，
∴PB=PC=PQ，
∵PR＝PS，∠BRP＝∠QSP＝90°，
∴△BRP≌△QSP，故④正确
∴全部正确．
故选：A．
【点睛】
本题利用了等边三角形的性质：三线合一，全等三角形的判定和性质，中位线的性质，熟练掌握上述性质和判定方法是解题的关键．
7．B
解析：B
【分析】
①根据已知条件证明△ABE≌△CBF，即可判断；
②由△ABE≌△CBF和已知条件证明四边形DGEB是平行四边形，再证明△FBC≌△GDC，当且仅当∠FCG=45°时，∠BFM=∠BMF，即可判断；
③结合①②证明∠FMB=∠CGF，进而可以判断；
④当∠BAE=15°时，∠BCM=∠GCD=∠BAE=15°，可得△CMN是等边三角形，作CH⊥BD于点H，根据正方形边长为4，即可求出MN的值，进而可以判断.
【详解】
解：①∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABE＝∠CBF＝90°，
在△ABE和△CBF中，
BE BF ABE CBF AB CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ABE ≌△CBF （SAS ），
∴AE ＝CF ，故①正确；
②∵△ABE ≌△CBF ，
∴∠BCF ＝∠BAE ，
∵∠GEC ＝∠DBC ＝∠ADB ＝45°，
∴∠BMF ＝∠FCB +∠DBC ＝∠FCB +45°，
∵∠GEC ＝∠DBC ，
∴EG ∥DB ，
∵DG ∥BE ，
∴四边形DGEB 是平行四边形，
∴BE ＝DG ，
在△FBC 和△GDC 中，
BF DG FBC GDC BC DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△FBC ≌△GDC （SAS ），
∴∠BCF ＝∠DCG ，
∴∠BFM ＝∠FCD ＝∠DCG +∠FCG ＝∠BCF +∠FCG ，
∴当且仅当∠FCG ＝45°时，∠BFM ＝∠BMF ，故②错误；
③∵GE ∥BD ，
∴∠FMB ＝∠GFC ，
∵△FBC ≌△GDC ，
∴CF ＝CG ，
∴∠GFC ＝∠CGF ，
∴∠FMB ＝∠CGF ，
∴∠CGF ﹣∠BAE ＝∠FMB ﹣∠BCM ＝∠MBC ＝45°，故③正确；
④当∠BAE ＝15°时，∠BCM ＝∠GCD ＝∠BAE ＝15°，
∴∠FCG ＝90°﹣∠BCM ﹣∠GCD ＝60°，
∵BD ∥EG ，
∴∠GFC ＝∠NMC ，∠FGC ＝∠MNC ，
∵∠GFC ＝∠FGC ，
∴∠NMC ＝∠MNC ，
∴CM ＝CN ，∠MCN ＝60°，
∴△CMN 是等边三角形，
作CH ⊥BD 于点H ，如图，
∴CH＝1
2BD＝
1
2
22
44
＝2，
∴CM22
3×2
46
，
∴MN＝CM＝6
3
，故④错误．
所以其中正确有①③，2个．
故选：B．
【点睛】
本题是四边形的综合题，考查了正方形、全等三角形、平行四边形的性质和判定，在有中点和直角三角形的前提条件下，可以利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半来证明两条线段相等.
8．B
解析：B
【分析】
由折叠的性质、矩形的性质与角平分线的性质，可证得CF＝FM＝DF，即可判断①；
易求得∠BFE＝∠BFN，则可得BF⊥EN，即可判断②；
易证得△BEN是等腰三角形，但无法判定是等边三角形，即可判断③；
易求得BM＝2EM＝2DE，即可得EB＝3EM，根据等高三角形的面积比等于对应底的比，即可判断④．
【详解】
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠BCD＝90°，DF＝MF，
由折叠的性质可得：∠EMF＝∠D＝90°，
即FM⊥BE，CF⊥BC，
∵BF平分∠EBC，
∴CF＝MF，
∴DF＝CF；故①正确；
∵∠BFM＝90°−∠EBF，∠BFC＝90°−∠CBF，
∴∠BFM＝∠BFC，
∵∠MFE＝∠DFE＝∠CFN，
∴∠BFE＝∠BFN，
∵∠BFE＋∠BFN＝180°，
∴∠BFE＝90°，
即BF ⊥EN ，故②正确；
∵在△DEF 和△CNF 中，
90D FCN DF CF
DFE CFN ∠∠︒⎧⎪⎨⎪∠∠⎩
＝＝＝＝ ∴△DEF ≌△CNF （ASA ），
∴EF ＝FN ，
∴BF 垂直平分EN ，
∴BE ＝BN ，
假设△BEN 是等边三角形，则∠EBN ＝60°，∠EBA ＝30°，
则AE ＝12
BE ， 又∵AE ＝
12AD ，则AD ＝BC ＝BE ， 而明显BE ＝BN ＞BC ，
∴△BEN 不是等边三角形；故③错误；
∵∠BFM ＝∠BFC ，BM ⊥FM ，BC ⊥CF ，
∴BM ＝BC ＝AD ＝2DE ＝2EM ，
∴BE ＝3EM ，
∴S △BEF ＝3S △EMF ＝3S △DEF ；
故④正确．
故选：B ．
【点睛】
此题考查了折叠的性质、矩形的性质、角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
9．B
解析：B
【分析】
根据题意结合图象得出AB 、BC 的长度，再求出面积即可．
【详解】
由题意可知，当点P 从点A 运动到点B 时，△PCD 的面积不变，结合图象可知AB=6， 当点P 从点B 运动到点C 时，△PCD 的面积逐渐变小直到为0，结合图象可知BC=4， ∴长方形ABCD 的面积为：AB•BC=6×4=24．
故选：B ．
【点睛】
本题考查了矩形的性质和动点问题的函数图象，能根据图形得出正确信息是解此题的关键．
10．A
解析：A
【分析】
根据矩形的性质求出OA=OB，AC=BD，求出AC的长，求出OA和OB的长，推出等边三角形OAB，求出AB=OA，代入求出即可．
【详解】
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OC=1
2AC，OD=OB=
1
2
BD，AC=BD，
∴OA=OB，
∵AC+BD=24，
∴AC=BD=12cm，
∴OA=OB=6cm，
∵OA=OB，∠AOB=60°，
∴△OAB是等边三角形，
∴AB=OA=6cm，
故选：A．
【点睛】
本题考查了矩形的性质和等边三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是求出等边三角形OAB和求出OA的长．
11．D
解析：D
【分析】
当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示．连结AC，先利用勾股定理计算出AC=5，根据折叠的性质得∠AB′E=∠B=90°，而当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，所以点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，则EB=EB′，AB=AB′=3，可计算出CB′=2，设BE=x，则EB′=x，CE=4-x，然后在Rt△CEB′中运用勾股定理可计算出x．
②当点B′落在AD边上时，如答图2所示．此时ABEB′为正方形．
【详解】
当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：
①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示．
连结AC，
在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，
∴5
∵∠B沿AE折叠,使点B落在点B′处，
∴∠AB′E=∠B=90°，
当△CEB′为直角三角形时,只能得到∠EB′C=90°,
∴点A. B′、C共线,即∠B沿AE折叠,使点B落在对角线AC上的点B′处，
∴EB=EB′,AB=AB′=3，
∴CB′=5−3=2，
设BE=x,则EB′=x，CE=4−x，
在Rt△CEB′中，
∵EB′2+CB′2=CE2，
∴x2+22=(4−x)2,解得x=3
2
，
∴BE=3
2
；
②当点B′落在AD边上时，如答图2所示．此时ABEB′为正方形，
∴BE=AB=3.
综上所述,BE的长为3
2
或3.
故选D.
【点睛】
此题主要考查矩形的折叠问题，解题的关键是根据题意分情况讨论.
12．B
解析：B
【分析】
连接AB交OC于点D，由菱形OACB中，根据菱形的性质可得OD=CD=4，BD=AD=2，由此即可求得点B的坐标．
【详解】
∵连接AB交OC于点D，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB⊥OC，OD=CD，AD=BD，
∵点C的坐标是（8，0），点A的纵坐标是2，
∴OC=8，BD=AD=2，
∴OD=4，
∴点B的坐标为：（4，-2）．
故选B ．
【点睛】
本题考查了菱形的性质与点与坐标的关系．熟练运用菱形的性质是解决问题的关键，解题时注意数形结合思想的应用．
二、填空题
13．【分析】结合题意根据矩形性质得平行四边形为菱形从而依次计算前4个平行四边形的面积并通过归纳计算规律即可得到第2020个平行四边形的面积
【详解】∵矩形中两条对角线相交于点∴∵为邻边作第1个平行四边形∴ 解析：2020
2ab 【分析】
结合题意，根据矩形性质，得平行四边形1OBB C 为菱形，从而依次计算前4个平行四边形的面积，并通过归纳计算规律，即可得到第2020个平行四边形的面积．
【详解】
∵矩形ABCD 中，AB a ，BC b =，两条对角线相交于点O
∴OB OC OA ==
∵OB 、OC 为邻边作第1个平行四边形1OBB C
∴11OB OC BB CB ===
∴平行四边形1OBB C 为菱形
∵平行四边形1OBB C ，对角线相交于点1A ，
∴1OA BC ⊥，1112BA CA BC ==
，111OA A B = ∵OC OA = ∴11122
OA AB a == ∴第1个平行四边形1OBB C 面积112
BC OA a b =⨯=⨯ ∴第2个平行四边形111A B C C 面积1111122
AC A B a b =⨯=⨯ 同理，得第3个平行四边形1121O B B C 面积21111122222a b a b ⎛⎫=⨯⨯=⨯ ⎪⎝⎭
第4个平行四边形2221A B C C 面积222
1111122222a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯=⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
以此类推，第2020个平行四边形2221A B C C 面积为：
10101010202020201
112222
ab a b ab ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 故答案为：
20202
ab ． 【点睛】 本题考查了数字及图形规律、三角形中位线、幂的乘方、平行四边形、矩形、菱形的知识；解题的关键是熟练掌握数字及图形规律、幂的乘方、平行四边形、矩形的性质，从而完成求解．
14．3s 【分析】连接BD 易证△ADE ≌△BDF 即可推出AE ＝BF 列出方程即可解决问题【详解】连接BD 如图：∵四边形ABCD 是菱形∠A ＝60°∴AD ＝CD ＝BC ＝AB ＝18△ADB △BDC 都是等边三角形∴
解析：3s
【分析】
连接BD ．易证△ADE ≌△BDF ，即可推出AE ＝BF ，列出方程即可解决问题．
【详解】
连接BD ．如图：
∵四边形ABCD 是菱形，∠A ＝60°，
∴AD ＝CD ＝BC ＝AB ＝18，△ADB ，△BDC 都是等边三角形，
∴AD ＝BD ，∠ADB ＝∠DBF ＝60°，
∵△DEF 是等边三角形，
∴∠EDF ＝60°，
∴∠ADB ＝∠EDF ，
∴∠ADE ＝∠BDF ，
在△ADE 和△BDF 中，
60A DBF AD BD
ADE BDF ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， ∴△ADE ≌△BDF （ASA ），
∴AE ＝BF ，
∴2t ＝18−4t ，
∴t ＝3，
故答案为：3s ．
【点睛】
本题考查菱形的性质、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定与性质、一元一次方
程等知识，解题的关键是利用全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
15．25【分析】根据和谐矩形的性质求出∠ADB＝30°由含30°角的直角三角形的性质求出ABAD的长即可得出答案【详解】解：∵四边形ABCD是和谐矩形∴OA＝OCOB＝ODAC＝BD＝10∠BAD＝90
解析：
【分析】
根据“和谐矩形”的性质求出∠ADB＝30°，由含30°角的直角三角形的性质求出AB、AD的长，即可得出答案．
【详解】
解：∵四边形ABCD是“和谐矩形”，
∴OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD＝10，∠BAD＝90°，∠CAD：∠BAC＝1：2，
∴OA＝OD，∠CAD＝30°，∠BAC＝60°，
∴∠ADB＝∠CAD＝30°，
∴AB＝1
2
BD＝5，AD＝
∴矩形ABCD的面积＝AB×AD＝
cm2）；
故答案为：
【点睛】
本题考查了矩形的性质、新定义、等腰三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握矩形的性质和含30°角的直角三角形的性质是解题的关键．
16．18【详解】根据等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BCDC=BC再根据直角三角形的性质可得DE=EC=AC=65然后可得答案【解答】解：∵AB=ACAD平分∠BAC∴AD⊥BCDC=BC∵BC=10
解析：18
【详解】
根据等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC，DC=1
2
BC，再根据直角三角形的性质可得
DE=EC=1
2
AC=6.5，然后可得答案．
【解答】
解：∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，DC=1
2
BC，
∵BC=10，
∴DC=5，
∵点E为AC的中点，
∴DE=EC=1
2
AC=6.5，
∴△CDE的周长为：DC+EC+DE=13+5=18，
故答案为：18．
【点睛】
此题主要考查了等腰三角形的性质，以及直角三角形的性质，关键是掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．
17．60【分析】由E是AC中点且DE=EF据对角线互相平分的四边形是平行四边形知四边形ADCF是平行四边形因此只需DF和AC相等据对角线相等的平行四边形是矩形就得四边形ADCF是矩形所以只需∠ACB的大
解析：60
【分析】
由E是AC中点且DE=EF，据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”知四边形ADCF是平行四边形．因此只需DF和AC相等据“对角线相等的平行四边形是矩形”就得四边形ADCF 是矩形，所以只需∠ACB的大小能使DF=AC就行了．
【详解】
当∠ACB=60°时，四边形ADCF是矩形．理由如下：
∵AB=AC，∠ACB=60°
∴△ABC为正三角形
∴AC=BC
∵D、E是AB、AC的中点
∴DE=1
BC（三角形中位线定理）
2
又∵DE=EF
∴DF=BC=AC①
∵E是AC中点且DE=EF
∴四边形ADCF是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）
又由①知DF=AC
∴四边形ADCF是矩形即长方形．（对角线相等的平行四边形是矩形）
故答案为：60．
【点睛】
本题综合考查平行四边形、矩形的判定，也运用了三角形中位线定理．其中关键是结合图形和题目所给条件选择合适判定方法．
18．对角线互相平分的四边形对角线互相垂直的平行四边形【分析】根据折叠的性质得到CD和EF互相垂直且平分结合菱形的判定定理对角线互相垂直平分的四边形是菱形证得结论【详解】解：如图连接DFDE根据折叠的性质
解析：对角线互相平分的四边形对角线互相垂直的平行四边形
【分析】
根据折叠的性质得到CD和EF互相垂直且平分，结合菱形的判定定理“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”证得结论．
【详解】
解：如图，连接DF、DE．
根据折叠的性质知，CD⊥EF，且OD=OC，OE=OF．
则四边形DECF恰为菱形．
∴依据是：①对角线互相平分的四边形是平行四边形；②对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
故答案为：对角线互相平分的四边形；对角线互相垂直的平行四边形．
【点睛】
本题考查了菱形的判定和平行四边形的判定，翻折变换（折叠问题）．①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等=菱形）；②四条边都相等的四边形是菱形．③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．
19．3【分析】根据等腰三角形的性质得出EP=PD进而得出AD的长利用矩形的性质解答即可【详解】解：过F点作FP⊥AD于
P∵EF=DFFP⊥AD∴EP=PD∵FP⊥AD∴FP∥CD∵四边形ABCD是矩形∴
解析：3
【分析】
根据等腰三角形的性质得出EP=PD，进而得出AD的长，利用矩形的性质解答即可．
【详解】
解：过F点作FP⊥AD于P，
∵EF=DF，FP⊥AD，
∴EP=PD，
∵FP⊥AD，
∴FP∥CD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴PD∥FC，∠PDC=90°，AD=BC，
∴四边形PFCD是矩形，
∴FC=PD=1，
∴ED=2PD=2，
∵翻折后的BF恰好经过AD边的中点E，
∴AD=2AE=4，
∴BC=4，
∴BF=4-1=3，
故答案为：3．
【点睛】
本题考查了折叠的性质：叠前后图形的形状和大小不变，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质．
20．20【分析】根据三角形的中位线定理证明四边形EFGH 是平行四边形再证明EF ⊥EH 证得四边形EFGH 是矩形即可根据矩形的面积公式计算得出答案【详解】∵点EF 分别是边ABBC 的中点∴EF ∥ACEF=AC
解析：20
【分析】
根据三角形的中位线定理，证明四边形EFGH 是平行四边形，再证明EF ⊥EH ，证得四边形EFGH 是矩形，即可根据矩形的面积公式计算得出答案．
【详解】
∵点E 、F 分别是边AB 、BC 的中点，
∴EF ∥AC ，EF=12
AC=4， 同理，HG ∥AC ，HG=
12AC=4，EH ∥BD ，EH=12BD=5， ∴EF=HG ，EF ∥HG ，
∴四边形EFGH 是平行四边形，
∵AC ⊥BD ，EF ∥AC ，
∴EF ⊥BD ，
∵EH ∥BD ，
∴EF ⊥EH ，
∴∠HEF=90°，
∴四边形EFGH 是矩形，
∴四边形EFGH 的面积=4520EF EH ⋅=⨯=,
故答案为：20．
【点睛】
此题考查三角形的中位线性质定理，矩形的判定定理，能证得四边形是矩形是解题的关键．
三、解答题
21．（1）见解析；（2）26
【分析】
（1）由题意可证BE＝DE，四边形BEDF是平行四边形，即可证四边形BEDF为菱形；（2）过点D作DH⊥BC于H，由直角三角形的性质可求解．
【详解】
证明：（1）∵DE∥BC，DF∥AB，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∵DE∥BC，
∴∠EDB＝∠DBF，
∵BD平分∠ABC，
∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBF＝1
2
∴∠ABD＝∠EDB，
∴DE＝BE，
又∵四边形BEDF为平行四边形，
∴四边形BEDF是菱形；
（2）如图，过点D作DH⊥BC于H，
∵DF ∥AB ，
∴∠ABC ＝∠DFC ＝60°，
∵DH ⊥BC ，
∴∠FDH ＝30°，
∴FH ＝12DF ，DH 33， ∵∠C ＝45°，DH ⊥BC ，
∴∠C ＝∠HDC ＝45°，
∴DC 2DH ＝
62DF ＝6， ∴DF ＝6 ，
∴菱形BEDF 的边长为6．
【点睛】
本题考查了菱形的判定和性质，直角三角形的性质，掌握菱形的判定定理是本题的关键． 22．（1）AD= 9；（2）FG=7.5
【分析】
（1）设CE 4x =，则BE 5x =，在Rt △CEG 和Rt △AGD 中，分别求得CG 3x =，()22159x -CG+GD=CD=15，构造方程求得x 的值，即可求解； （1）设HF y =，利用ADG AFG ADF S
S S =+，构造方程求得y 的值，即可求解． 【详解】
（1）∵CE ＝45
BE ， ∴设CE 4x =，则BE 5x =，
∴BC=AD=CE+ BE 9x =，
∵△AGE 是由△ABE 翻折得到的，
∴GE= BE 5x =，AG=AB=15，
在Rt △CEG 中，由勾股定理可知：
()()
2222543EG EC x x x -=-=， 在Rt △AGD 中，由勾股定理可知： ()2222159AG AD x -=-，
∵CG+GD=CD=15，
∴315x +=，
解得：1x =，
AD 9=；
（2）由（1）知：CG=3，GD=12，
设HF y =，
∵△AHF 是由△ADF 翻折得到的，
∴HF=DF y =，
∵ADG AFG ADF S S S =+，即111222
DG AD AG FH DF AD ⨯=⨯+⨯， ∴129159y y ⨯=+，
解得： 4.5y =，即DF 4.5=，
∴FG=CD-CG-DF=15-3-4.5=7.5．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，翻折变换，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
23．（1）32cm 2；（2）①四边形的面积为S ＝12t ＋16（cm 2）；②当t ＝
43或45时，S △BAP ＝S △CQB ．
【分析】
(1) 由|8－a|＋(b －4)2＝0．可求=8=4a b ，，可求长方形ABCD 的面积=AD•AB ＝32(cm 2)；
(2)① 当P 在线段AD 上运动时，如图，DP ＝8－2t ，DQ ＝4t ，连BD ，可求S 四边形BPDQ ＝S △BDP ＋S △BDQ ＝12t ＋16(cm 2)；
②由S △BAP ＝S △CQB ，可列方程
12×2t×4＝12
×|4t －4|×8，化去绝对值44t t -=±分类解方程即可．
【详解】
解：(1) a 、b 满足|8－a|＋(b －4)2＝0．
∵()28-0,40a b ≥-≥， ∴8-=04=0a b -，，
∴=8=4a b ，，
∴AD ＝8cm ，AB ＝4cm ，
∴长方形ABCD 的面积=AD•AB ＝32(cm 2)；
(2)① 当P 在线段AD 上运动时，如图，DP ＝8－2t ，DQ ＝4t ，连BD ，
S 四边形BPDQ ＝S △BDP ＋S △BDQ ， ＝12(8－2t)×4＋12
×4t×8， ＝12t ＋16(cm 2)； ②由S △BAP ＝S △CQB ，得：
12×2t×4＝12×|4t －4|×8， 即|4t －4|＝t ，
44t t -=±，
44t t -=或44t t -=-，
解得：t ＝43或45
， 当t ＝43或45
时，S △BAP ＝S △CQB ． 【点睛】
本题考查非负数和的性质，矩形面积，四边形面积，一元一次方程，掌握非负数的性质，利用非负数求出AD ，AB ，会求矩形面积，以及四边形面积，会利用三角形面积列方程解决问题是解题关键．
24．（1）见详解；（2）见详解
【分析】
（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及等腰三角形“三线合一”，即可得到结论；
（2）先证明DH ∥BE ，再证明BE 垂直平分AC ，即可得到结论．
【详解】
（1）90ABC ADC ∠=∠=︒，点E 是AC 中点，
∴DE=
12AC ,BE=12
AC ， ∴DE=BE ，
∵点F 是BD 中点，
∴EF BD ⊥； （2）∵BD 平分HDE ∠，
∴∠HDB=∠EDB ，
∵DE=BE ，
∴∠EDB=∠∠EBD ，
∴∠HDB=∠EBD，
∴DH∥BE，
∵DH AC
⊥，
∴BE⊥AC，
∵点E是AC中点，
∴BE垂直平分AC，
∴BA BC
=．
【点睛】
本题主要考查直角三角形的性质，等腰三角形的性质定理以及中垂线的性质定理，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形“三线合一”是解题的关键．
25．（1）BC＝BG，BC⊥BG；（2）①（1）中结论仍然成立，理由见解析；
【分析】
（1）由题意易得∠ACB＝∠B＝45°，AD＝AF，∠DAF＝90°，则有∠BAD＝∠CAF，进而可证△ABD≌△ACF，然后问题可求解；
（2）①由题意易得∠ACB＝∠B＝45°，AD＝AF，∠DAF＝90°，则有∠BAD＝∠CAF，进而可证△ABD≌△ACF，则问题可求解；
②过点A作AM⊥BD于M，由题意易得AM＝1
2
BC＝1，CG＝2，由①△ABD≌△ACF，则
有BD＝CF，进而可得BD＝CF＝4，DM＝BD﹣AM＝3，最后根据勾股定理可求解．【详解】
解：（1）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠ACB＝∠B＝45°，
∵四边形ADEF是正方形，
∴AD＝AF，∠DAF＝90°，
∴∠CAF＝90°﹣∠CAD，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣∠CAD，
∴∠BAD＝∠CAF，
∵AB＝AC，
∴△ABD≌△ACF（SAS），
∴∠ACF＝∠B＝45°，
∴∠B CG＝90°，
∴BC⊥CG，∠G＝90°﹣∠B＝45°＝∠B，
∴BC＝BG，
故答案为：BC＝BG，BC⊥BG；
（2）①（1）中结论仍然成立，
理由：在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠ACB＝∠B＝45°，
∵四边形ADEF是正方形，
∴AD ＝AF ，∠DAF ＝90°，
∴∠CAF ＝90°+∠CAD ，
∵∠BAC ＝90°，
∴∠BAD ＝90°+∠CAD ，
∴∠BAD ＝∠CAF ，
∵AB ＝AC ，
∴△ABD ≌△ACF （SAS ），
∴∠ACF ＝∠B ＝45°，
∴∠B CG ＝90°，
∴BC ⊥CG ，∠G ＝90°﹣∠B ＝45°＝∠B ，
∴BC ＝BG ；
②如图，
过点A 作AM ⊥BD 于M ，
∵BC ＝2，△ABC 是等腰直角三角形，
∴AM ＝12BC ＝1， ∵BC ＝CG ，
∴CG ＝2，
由①△ABD ≌△ACF ，
∴BD ＝CF ，
∵点G 是CF 的中点，
∴CF ＝2CG ＝4，
∴BD ＝CF ＝4，
∴DM ＝BD ﹣AM ＝3，
在Rt △AMD 中，根据勾股定理得，AD ＝22AM DM +＝10．
【点睛】
本题主要考查正方形的性质、勾股定理及等腰直角三角形的性质，熟练掌握正方形的性质、勾股定理及等腰直角三角形的性质是解题的关键．
26．902AFD BE ∠=︒=，
【分析】
根据勾股定理的逆定理即可得证；说明点D、E、F三点共线，再根据勾股定理即可求解．【详解】
根据折叠可知：AB=AF=4，
∵AD=5，DF=3，
32+42=52，
即FD2+AF2=AD2，
根据勾股定理的逆定理，得△ADF是直角三角形，
∴∠AFD=90°，
设BE=x，
则EF=x，
∵根据折叠可知：∠AFE=∠B=90°，
∵∠AFD=90°，
∴∠DFE=180°，
∴D、F、E三点在同一条直线上，
∴DE=3+x，
CE=5-x，DC=AB=4，
在Rt△DCE中，根据勾股定理，得
DE2=DC2+EC2，即(3+x)2=42+(5-x)2，
解得x=2．
答：BE的长为2．
【点睛】
本题考查了折叠问题、勾股定理及其逆定理、矩形的性质，解决本题的关键是勾股定理及其逆定理的运用．。