高中数学第一章三角函数专题整合课件苏教版必修4
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第二十一页，共25页。
估计某一天的白昼时间的小时数 D(t)可由下式计算： D(t)＝k2sin326π5(t－79)＋12，其中 t 表示某天的序号，t＝0 表示 1 月 1 日，依此类推，常数 k 与某地所处的纬度有关． (1)如在波士顿，k＝6，试画出函数当 0≤t≤365 时的图象； (2)在波士顿哪一天白天时间最长？哪一天最短？ (3)估计在波士顿一年中有多少天的白昼超过 10.5 小时?
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第八页，共25页。
＝2－×（6×－（19－0）190＋）1＝－6110.
[点评] 同角三角函数的基本关系式主要考查 利 用公 式进行恒 等变形的技能(jìnéng)，以及基本运算能力，特别突出 推理、计 算的考查．
第九页，共25页。
三角函数(sānjiǎhánshù)式的化简和 证明 化简三角函数式,证明三角恒等式或条件等式，是三角变换 中的一个 基本题型.许多三角函数问题，常需要先将三角函数 式化简，再研究 其图象和性质，许多三角等式的证明 过程， 也就是三角函数式的化 简过程．因此，三角函数式的 化简是 三角函数问题的解题基础．充 分观察三角函数式的结构特点,利用同角三角函数关系(guān xì)及诱导 公式，通过变异为同,化切为弦,高次降幂等手段，对三角函数式进行 恒等变形，是三角函数 式化简和证明的解题关键．
第十七页，共25页。
[解] 原函数可化简为 y＝1＋ 22sin [2π＋(2x－π4)]＝1＋ 22sin(2x－π4)． (1)当 sin(2x－π4)＝1，2x－π4＝π2＋2kπ(k∈Z)， 即 x＝38π＋kπ(k∈Z)时，ymax＝1＋ 22； 当 sin(2x－π4)＝－1，2x－π4＝32π＋2kπ(k∈Z)， 即 x＝78π＋kπ(k∈Z)时，ymin＝1－ 22.
第七页，共25页。
9m2－8m－20＝0，即(9m＋10)(m－2)＝0. ∴m＝－190或 m＝2. 又 sin α、cos α 为实根，∴Δ＝36m2－32(2m＋1)≥0. 即 9m2－16m－8≥0，∴m＝2 不合题意，舍去． 故 m＝－190. ∴sin1 α＋co1s α＝sisninαα＋cocsosαα＝2－m3＋4m1＝2－m6＋m1
第十九页，共25页。
(4)y＝
22cos(2x－π2)＝
22cos(π2－2x)＝
2 2 sin
2x.
函数的图象可由 y＝ 22sin 2x 的图象向右平移π8个单位长度， 再向上平移 1 个单位长度而得到．
[点评] 函数的最大(小)值是反映函数特征的一个重要性 质，求函数的最大(小)值，思想性强，方法灵活多变，是数 学解题中的一个难点．对三角函数而言，求最大(小)值的常 用方法有换元法，单调法，有界法，几何法，不等式法，图
第三页，共25页。
[解] r＝ （3m）2＋（－4m）2＝5|m|， 若 m＞0，则 r＝5m，α 为第四象限角． sin α＝yr＝－54mm＝－45； cos α＝xr＝53mm＝35； tan α＝xy＝－34mm＝－43. 若 m＜0，则 r＝－5m，α 为第二象限角．
第四页，共25页。
sin α＝yr＝－－45mm＝45； cos α＝xr＝－3m5m＝－35； tan α＝xy＝－34mm＝－43. [点评] 利用三角函数的定义求三角函数值要考虑角 α 终 边可能在的位置，即要考虑三角函数值符号问题，同时注 意应用“勾股数”等解题以减少运算．
[分析] 本题(běntí)为三角函数应用题，可按如下四步进行：审题 →建模→解模→还原评价．
第二十二页，共25页。
[解] (1)先用五点法作出 f(t)＝3sin326π5(t－79)的简图，由326π5(t
－79)＝0 及326π5(t－79)＝2π，得 t＝79 及 t＝444，列出下表:
t
第十六页，共25页。
函数 y＝tanπ4－sin54πsin(74π＋2x)，x∈R. 求：(1)函数的最大值、最小值； (2)函数的最小正周期； (3)函数的单调区间； (4)函数的图象可由函数 y＝ 22cos(2x－π2)，x∈R 的图象经 过怎样的变换得到？
[分析(fēnxī)] 先将原函数进行恒等变形，化为y＝Asin(ωx＋φ) ＋B的形式，即可求解．
(2)白昼时间最长的一天即 D(t)取最大值一天，此时 t＝ 170 对应的是 6 月 20 日(闰年除外)，类似地，t＝353 时 D(t)取最小值，即 12 月 20 日白昼最短．
第二十四页，共25页。
(3)D(t)>10.5， 即 3sin326π5(t－79)＋12>10.5， 3sin326π5(t－79)>－32，t∈[0，365]， ∴49≤t<292，292－49＝243. 约有 243 天的白昼时间超过 10.5 小时．
第六页，共25页。
已知 sin α、cos α 是关于 x 的方程 8x2＋6mx＋2m＋1
＝0
的两根，求 1 sin
＋1 α cos
的值． α
[分析] 利用sin α＋cos α与sin α、cos α的联系(liánxì)可确
定方程中的m.
[解] ∵sin α、cos α 是方程 8x2＋6mx＋2m＋1＝0 的两根, ∴sin α＋cos α＝－34m，sin αcos α＝2m8＋1. ∴(－34m)2－2×2m8＋1＝1，整理得
第1章 三角函数(sānjiǎhánshù)
第一页，共25页。
第二页，共25页。
三角函数的有关(yǒuguān)概念 掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义及三角函数线，能够 利用三角函数的定义求三角函数值，利用三角函数线判断三 角函数的符号，借助三角函数线求三角函数的定义域．
已知角α的终边经过点P(3m，－4m)(m≠0)， 求sin α，cos α，tan α的值． [分析] 利用三角函数定义求值，注意对m进行分类(fēn lèi)讨 论．
[解] ∵x∈[0，π2]，∴2x＋π6∈[π6，76π]，sin(2x＋π6)∈[－ 12，1]．
∴当 a＞0 时，a－＋a2b＋＝b1＝，－5，解得ab＝ ＝－ 4，3. 当 a＜0 时，－a＋21ab＋＝b－＝51，，解得ab＝ ＝－ －41，.
∴a、b 的取值分别是 4、－3 或－4、－1.
第十二页，共25页。
已知函数 y＝asin(2x＋π6)＋b 在 x∈[0，π2]上的值域 为[－5，1]，求 a、b 的值． [分析] 由于 y＝asin(2x＋π6)＋b 含参数 a，因此需先由 x 的 范围确定 sin(2x＋π6)的范围，再根据 a 的符号，讨论 a、b 的取值．
第十三页，共25页。
α＋cos
α）
（ ＝
sin
α＋cos α）2＋（sin α＋cos 1＋sin α＋cos α
α）
＝（sin
α＋cos α）（1＋sin α＋cos 1＋sin α＋cos α
α）＝sin
α＋cos
α.
[点评] 三角(sānjiǎo)变形要注意“1”的变换，如1＝sin2α＋cos2α ， 1＝tan 45°等．
第十四页，共25页。
[点评] 本题是先由定义域确定正弦函数 y＝sin(2x＋π6) 的值域，但整个函数的最值的取得与 a 的正、负有关系， 故对 a 进行分类讨论．
第十五页，共25页。
函数(hánshù)y＝Asin(ωx＋φ)的图象及图象 变换
关于函数 y＝Asin(ωx＋φ)有两种基本的计算问题：一种 是根据已知条件求函数解析式，其中 A 是振幅，可由函 数的最值确定，ω 可结合函数的周期公式 T＝2ωπ确定，φ 是初相，可令函数值为最值确定；另一种题型是给出函 数解析式，作图或探讨性质．
第十页，共25页。
化简1＋sin
α＋cos α＋2sin 1＋sin α＋cos α
αcos
α .
[分析] 分子(fēnzǐ)要分组分解出因式(1＋sin α＋cos α)，才 能分子(fēnzǐ)、分母约分化简．
பைடு நூலகம்
[解] 原式
（ ＝
sin2α＋cos2α＋2sin αcos α）＋（sin 1＋sin α＋cos α
79 170 262 353 444
f(t)
0
3
0 －3 0
若 t＝0，f(0)＝3sin326π5(－79)＝3sin(－1.36)≈－2.9.
∵f(x)的周期为 365.
第二十三页，共25页。
∴f(365)≈－2.9，将 f(x)，t∈[0，365]图象向上平移 12 个单位，得 D(t)的图象如图所示．
第十八页，共25页。
(2)函数的最小正周期为 T＝π. (3)由－π2＋2kπ≤2x－π4≤π2＋2kπ(k∈Z)， 得－π8＋kπ≤x≤38π＋kπ(k∈Z)； 由π2＋2kπ≤2x－π4≤32π＋2kπ(k∈Z)， 得38π＋kπ≤x≤78π＋kπ(k∈Z)． 所以函数在区间[－π8＋kπ，38π＋kπ](k∈Z)上是单调递增函 数，在区间[38π＋kπ，78π＋kπ](k∈Z)上是单调递减函数.
第五页，共25页。
三角(sānjiǎo)变换中的求值问题
利用同角三角函数关系、诱导公式以及三角函数的图象和 性 质，求含有未知角的三角函数式的值，是三角变换中的一 类 重要题型，它解法灵活，技巧性强，对三角恒等变形能力 有 较高的要求．深入分析已知与未知的内在联系，用分析、 综 合、方程等思想方法进行转化，是解题(jiě tí)的基本策略．
象法等，解题过程中要根据函数解析式的结构特点适当选
取，同时要注意函数的定义域及函数式的恒等变形．
第二十页，共25页。
三角函数模型的应用(yìngyòng)问题 三角函数是刻画周期现象的重要数学模型，在解决实际 问题时要注意搜集数据，作出相应的“散点图”，通过观 察散点图并进行函数拟合而获得具体的数学模型，最后 利用这个函数模型解决实际问题．
第十一页，共25页。
三角函数(sānjiǎhánshù)的图象和性 质
三角函数作为中学阶段所学的基本初等函数之一，在考查时 往往与后面的知识相联系，着重考查三角函数的几大性质. 解答此类问题时，时常用到数形结合(jiéhé)、分类讨论、化归 转化等数学思想，知识体系相对较复杂，是我们学习的一个 重中之重，应引起足够重视．
[点评] 本题考查三角函数y＝Asin(ωx＋φ)的实际应用.把实际问 题转化成三角函数的问题，借助函数的图象(tú xiànɡ)来求解.
第二十五页，共25页。
估计某一天的白昼时间的小时数 D(t)可由下式计算： D(t)＝k2sin326π5(t－79)＋12，其中 t 表示某天的序号，t＝0 表示 1 月 1 日，依此类推，常数 k 与某地所处的纬度有关． (1)如在波士顿，k＝6，试画出函数当 0≤t≤365 时的图象； (2)在波士顿哪一天白天时间最长？哪一天最短？ (3)估计在波士顿一年中有多少天的白昼超过 10.5 小时?
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＝2－×（6×－（19－0）190＋）1＝－6110.
[点评] 同角三角函数的基本关系式主要考查 利 用公 式进行恒 等变形的技能(jìnéng)，以及基本运算能力，特别突出 推理、计 算的考查．
第九页，共25页。
三角函数(sānjiǎhánshù)式的化简和 证明 化简三角函数式,证明三角恒等式或条件等式，是三角变换 中的一个 基本题型.许多三角函数问题，常需要先将三角函数 式化简，再研究 其图象和性质，许多三角等式的证明 过程， 也就是三角函数式的化 简过程．因此，三角函数式的 化简是 三角函数问题的解题基础．充 分观察三角函数式的结构特点,利用同角三角函数关系(guān xì)及诱导 公式，通过变异为同,化切为弦,高次降幂等手段，对三角函数式进行 恒等变形，是三角函数 式化简和证明的解题关键．
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[解] 原函数可化简为 y＝1＋ 22sin [2π＋(2x－π4)]＝1＋ 22sin(2x－π4)． (1)当 sin(2x－π4)＝1，2x－π4＝π2＋2kπ(k∈Z)， 即 x＝38π＋kπ(k∈Z)时，ymax＝1＋ 22； 当 sin(2x－π4)＝－1，2x－π4＝32π＋2kπ(k∈Z)， 即 x＝78π＋kπ(k∈Z)时，ymin＝1－ 22.
第七页，共25页。
9m2－8m－20＝0，即(9m＋10)(m－2)＝0. ∴m＝－190或 m＝2. 又 sin α、cos α 为实根，∴Δ＝36m2－32(2m＋1)≥0. 即 9m2－16m－8≥0，∴m＝2 不合题意，舍去． 故 m＝－190. ∴sin1 α＋co1s α＝sisninαα＋cocsosαα＝2－m3＋4m1＝2－m6＋m1
第十九页，共25页。
(4)y＝
22cos(2x－π2)＝
22cos(π2－2x)＝
2 2 sin
2x.
函数的图象可由 y＝ 22sin 2x 的图象向右平移π8个单位长度， 再向上平移 1 个单位长度而得到．
[点评] 函数的最大(小)值是反映函数特征的一个重要性 质，求函数的最大(小)值，思想性强，方法灵活多变，是数 学解题中的一个难点．对三角函数而言，求最大(小)值的常 用方法有换元法，单调法，有界法，几何法，不等式法，图
第三页，共25页。
[解] r＝ （3m）2＋（－4m）2＝5|m|， 若 m＞0，则 r＝5m，α 为第四象限角． sin α＝yr＝－54mm＝－45； cos α＝xr＝53mm＝35； tan α＝xy＝－34mm＝－43. 若 m＜0，则 r＝－5m，α 为第二象限角．
第四页，共25页。
sin α＝yr＝－－45mm＝45； cos α＝xr＝－3m5m＝－35； tan α＝xy＝－34mm＝－43. [点评] 利用三角函数的定义求三角函数值要考虑角 α 终 边可能在的位置，即要考虑三角函数值符号问题，同时注 意应用“勾股数”等解题以减少运算．
[分析] 本题(běntí)为三角函数应用题，可按如下四步进行：审题 →建模→解模→还原评价．
第二十二页，共25页。
[解] (1)先用五点法作出 f(t)＝3sin326π5(t－79)的简图，由326π5(t
－79)＝0 及326π5(t－79)＝2π，得 t＝79 及 t＝444，列出下表:
t
第十六页，共25页。
函数 y＝tanπ4－sin54πsin(74π＋2x)，x∈R. 求：(1)函数的最大值、最小值； (2)函数的最小正周期； (3)函数的单调区间； (4)函数的图象可由函数 y＝ 22cos(2x－π2)，x∈R 的图象经 过怎样的变换得到？
[分析(fēnxī)] 先将原函数进行恒等变形，化为y＝Asin(ωx＋φ) ＋B的形式，即可求解．
(2)白昼时间最长的一天即 D(t)取最大值一天，此时 t＝ 170 对应的是 6 月 20 日(闰年除外)，类似地，t＝353 时 D(t)取最小值，即 12 月 20 日白昼最短．
第二十四页，共25页。
(3)D(t)>10.5， 即 3sin326π5(t－79)＋12>10.5， 3sin326π5(t－79)>－32，t∈[0，365]， ∴49≤t<292，292－49＝243. 约有 243 天的白昼时间超过 10.5 小时．
第六页，共25页。
已知 sin α、cos α 是关于 x 的方程 8x2＋6mx＋2m＋1
＝0
的两根，求 1 sin
＋1 α cos
的值． α
[分析] 利用sin α＋cos α与sin α、cos α的联系(liánxì)可确
定方程中的m.
[解] ∵sin α、cos α 是方程 8x2＋6mx＋2m＋1＝0 的两根, ∴sin α＋cos α＝－34m，sin αcos α＝2m8＋1. ∴(－34m)2－2×2m8＋1＝1，整理得
第1章 三角函数(sānjiǎhánshù)
第一页，共25页。
第二页，共25页。
三角函数的有关(yǒuguān)概念 掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义及三角函数线，能够 利用三角函数的定义求三角函数值，利用三角函数线判断三 角函数的符号，借助三角函数线求三角函数的定义域．
已知角α的终边经过点P(3m，－4m)(m≠0)， 求sin α，cos α，tan α的值． [分析] 利用三角函数定义求值，注意对m进行分类(fēn lèi)讨 论．
[解] ∵x∈[0，π2]，∴2x＋π6∈[π6，76π]，sin(2x＋π6)∈[－ 12，1]．
∴当 a＞0 时，a－＋a2b＋＝b1＝，－5，解得ab＝ ＝－ 4，3. 当 a＜0 时，－a＋21ab＋＝b－＝51，，解得ab＝ ＝－ －41，.
∴a、b 的取值分别是 4、－3 或－4、－1.
第十二页，共25页。
已知函数 y＝asin(2x＋π6)＋b 在 x∈[0，π2]上的值域 为[－5，1]，求 a、b 的值． [分析] 由于 y＝asin(2x＋π6)＋b 含参数 a，因此需先由 x 的 范围确定 sin(2x＋π6)的范围，再根据 a 的符号，讨论 a、b 的取值．
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α＋cos
α）
（ ＝
sin
α＋cos α）2＋（sin α＋cos 1＋sin α＋cos α
α）
＝（sin
α＋cos α）（1＋sin α＋cos 1＋sin α＋cos α
α）＝sin
α＋cos
α.
[点评] 三角(sānjiǎo)变形要注意“1”的变换，如1＝sin2α＋cos2α ， 1＝tan 45°等．
第十四页，共25页。
[点评] 本题是先由定义域确定正弦函数 y＝sin(2x＋π6) 的值域，但整个函数的最值的取得与 a 的正、负有关系， 故对 a 进行分类讨论．
第十五页，共25页。
函数(hánshù)y＝Asin(ωx＋φ)的图象及图象 变换
关于函数 y＝Asin(ωx＋φ)有两种基本的计算问题：一种 是根据已知条件求函数解析式，其中 A 是振幅，可由函 数的最值确定，ω 可结合函数的周期公式 T＝2ωπ确定，φ 是初相，可令函数值为最值确定；另一种题型是给出函 数解析式，作图或探讨性质．
第十页，共25页。
化简1＋sin
α＋cos α＋2sin 1＋sin α＋cos α
αcos
α .
[分析] 分子(fēnzǐ)要分组分解出因式(1＋sin α＋cos α)，才 能分子(fēnzǐ)、分母约分化简．
பைடு நூலகம்
[解] 原式
（ ＝
sin2α＋cos2α＋2sin αcos α）＋（sin 1＋sin α＋cos α
79 170 262 353 444
f(t)
0
3
0 －3 0
若 t＝0，f(0)＝3sin326π5(－79)＝3sin(－1.36)≈－2.9.
∵f(x)的周期为 365.
第二十三页，共25页。
∴f(365)≈－2.9，将 f(x)，t∈[0，365]图象向上平移 12 个单位，得 D(t)的图象如图所示．
第十八页，共25页。
(2)函数的最小正周期为 T＝π. (3)由－π2＋2kπ≤2x－π4≤π2＋2kπ(k∈Z)， 得－π8＋kπ≤x≤38π＋kπ(k∈Z)； 由π2＋2kπ≤2x－π4≤32π＋2kπ(k∈Z)， 得38π＋kπ≤x≤78π＋kπ(k∈Z)． 所以函数在区间[－π8＋kπ，38π＋kπ](k∈Z)上是单调递增函 数，在区间[38π＋kπ，78π＋kπ](k∈Z)上是单调递减函数.
第五页，共25页。
三角(sānjiǎo)变换中的求值问题
利用同角三角函数关系、诱导公式以及三角函数的图象和 性 质，求含有未知角的三角函数式的值，是三角变换中的一 类 重要题型，它解法灵活，技巧性强，对三角恒等变形能力 有 较高的要求．深入分析已知与未知的内在联系，用分析、 综 合、方程等思想方法进行转化，是解题(jiě tí)的基本策略．
象法等，解题过程中要根据函数解析式的结构特点适当选
取，同时要注意函数的定义域及函数式的恒等变形．
第二十页，共25页。
三角函数模型的应用(yìngyòng)问题 三角函数是刻画周期现象的重要数学模型，在解决实际 问题时要注意搜集数据，作出相应的“散点图”，通过观 察散点图并进行函数拟合而获得具体的数学模型，最后 利用这个函数模型解决实际问题．
第十一页，共25页。
三角函数(sānjiǎhánshù)的图象和性 质
三角函数作为中学阶段所学的基本初等函数之一，在考查时 往往与后面的知识相联系，着重考查三角函数的几大性质. 解答此类问题时，时常用到数形结合(jiéhé)、分类讨论、化归 转化等数学思想，知识体系相对较复杂，是我们学习的一个 重中之重，应引起足够重视．
[点评] 本题考查三角函数y＝Asin(ωx＋φ)的实际应用.把实际问 题转化成三角函数的问题，借助函数的图象(tú xiànɡ)来求解.
第二十五页，共25页。