函数的基本性质之欧阳道创编

§1.3函数的基本性质
教材分析
函数性质是函数的固有属性，是认识函数的重要手段，而函数性质可以由函数图象直观的反应出来，因此，函数各个性质的学习要从特殊的、已知的图象入手，抽象出此类函数的共同特征，并用数学语言来定义叙述。

基于此，本节的概念课教学要注重引导，注重知识的形成过程，习题课教学以具体技巧、方法作为辅助练习。

学情分析
学生对函数概念重新认识之后，可以结合初中学过的简单函数的图象对函数性质进行抽象定义。

另外，为了方便学生做题及熟悉函数性质，还需要补充一些函数图象的知识，例如平移、二次函数图象、含绝对值函数的图象、反比例函数及其变形的函数图象。

总之，本节课的教学要从学生认知实际出发，坚持从图象中来到图象中去的原则。

教学建议
以图象作为切入点进行概念课教学，引导学生对概
念的形成有一个清晰的认识，尤其是概念中的部分关键词要做深入讲解，用函数图象指导学生做题。

教学目标
➢知识与技能
（1）能理解函数单调性、最值、奇偶性的图形特征
（2）会用单调性定义证明具体函数的单调性；会求函数的最值；会用奇偶性定义判断函数奇偶性（3）单调性与奇偶性的综合题
（4）培养学生观察、归纳、推理的抽象思维能力➢过程与方法
（1）从观察具体函数的图像特征入手，结合相应问题引导学生一步步转化到用数学语言形式化的建立相关概念
（2）渗透数形结合的数学思想进行习题课教学
➢情感、态度与价值观
（1）使学生学会认识事物的一般规律：从特殊到一般，抽象归纳
（2）培养学生严密的逻辑思维能力，进一步规范学生用数学语言、数学符号进行表达
课时安排
（1）概念课：单调性2课时，最值1课时，奇偶性1课时
（2）习题课：5课时
第一课时 单调性
教学重点
借助图象、自然语言和符号语言形成对增（减）函数的形式化定义，并能用定义解决简单函数的单调性问题
教学难点
（1）在形成增函数、减函数形式化定义的过程中，如何从图象升降的直观认识过渡到数学符号的语言表述
（2）用定义证明单调性的规范写法（主要是学生对“在定义域的指定区间上任意取21,x x ，且21x x <”的理解）
教学过程
一、由特殊到一般，引入课题
学生画图x y =与x y -=，老师引导观察图象特点，说出自己关于图象的直观感受.
提示：统一从左往右看，函数图象有什么图形特征？函数值有什么样的变化特点？能否借助函数定义中
x 和y 的对应来表达这种变化的规律？
二、新课教学
老师提问：上述两个函数图象仅仅是众多函数中比较典型的两类，那么对于一般的函数无非是从左往右或升或降，那么如何用数学语言描述一般函数的这种变化规律？（统一从左往右看意即我们规定自变量x 越来越大的情况下，上升意味着函数值y 越来越大，下降意味着函数值y 越来越小.）
一般地，设函数)(x f 的定义域为I ：
如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值21,x x ，当21x x <时，都有
)()(21x f x f <，那么就说函数)(x f 在区间D 上是增函数；
如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值21,x x ，当21x x <时，都有)()(21x f x f >
，那么就说函数)(x f 在区间D 上是减函数.
如果函数)(x f y =
在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数)(x f y =
在这一区间具有（严格的）单调性，区间D 叫做)(x f y =的单调区间.
增函数的图形特征是从左往右呈上升趋势；减函数的图形特征是从左往右呈下降趋势.
三、重点强调1——单调区间
老师板书函数图象2x y =，提问学生说出单调区间，
指出同一函数在不同区间上单调性是不一致的，即单调性是一个区间概念.
例1 图1.3-4是定义在区间]5,5[-上的函数)(x f y =，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一个单调区间上，它是增函数还是减函数？
注记：
①单调性是一个区间概念，在端点处的单独一点的函数值是确定的常数，体现不出函数值的增减变化，因此，写单调区间时的端点处的自变量可以灵活处理.
②出现多个单调区间的时候中间切不可加并集符号 、“或”字，加一个逗号就行了.（因为]5,3[)1,2[ -代表的是一个集合，任取21,x x 的时候有可能是]5,3[1∈x 而)1,2[2-∈x ，进一步加深学生对并集的认识和单调性概念的认识）.
③单调性是定义域内的局部概念，是依据区间而言的，类似于这样的定义域}7,5,3,1{是不谈单调性的. 练习x y 1
=的单调区间是什么
四、重点强调2——任意取自变量的含义及如何比较两个数大小
例2 物理学中的玻意尔定律V k
p =（k 为正常数）告
诉我们，对于一定量的气体，当其体积V 减小时，压强p 将增大.试用函数的单调性证明之
由于k 为正常数，画出图像，可以看到函数是下降的，是减函数，那么就任意取两个自变量21,x x ，比较他们相应的函数值的大小关系，提示方法，比较两个数大小关系常用的方法就是作差法.通过本例，第一，要强调理解单调性用在证明过程当中的规范写法（任取自变量——做差变形——判断符号），第二，要启发研究函数性质的常用方法：观察——猜想——逻辑证明.
五、总结——利用定义判别单调性的一般步骤
结合单调性的概念，要判别增函数、减函数的关键是判别上升、下降，即利用作差法比较函数值的大小关系.
重要的一点是要保证在整个区间上函数值都是要呈现上升、下降趋势，就不能取特殊值，必须是任意选取（可以代表所有）；另一个重要点是约定统一从左往右看（自变量越来越大），在这两个重要点之下来比较函数值的大小关系，这才是单调性判别的重要工作.
第一，在指定区间任意取21,x x ，并且21x x <.
第二，做差 =-21y y ，为了便于判断符号必须变形至①出现21x x -，②出现多项式乘除的形式.
第三，判别符号，总结函数在指定区间是增函数、减函数，注意，判别符号一定要注意逻辑！
六、课堂回顾
本节课学习了单调性的概念，利用概念去证明具体函数单调性的时候要注意，在区间上任意取自变量，并写出函数值并做差来比较函数值大小，最终确定是增函数还是减函数.
单调区间的写法
七、作业
P 39T 1-3
八、板书设计
（2）最值的图形特征以及利用单调性解决最值问题
教学难点
最值定义的数学语言表述的抽象过程
教学过程
一、复习旧知
学生画图x y =与
12+=x y ，请学生说出两个函数的单调性与单调区间，提问，能否在两个图中找出最低点和最高点？如果找到最低点，如何用数学中的数学符号表示出这个最低点？
对任意的R x ∈，都有1)(≥x f ，那么函数值1就是函数
12+=x y 的所有函数值中最小值. 对于函数
12+-=x y 容易找出最高点，即所有函数值当中的最大值.
二、定义
一般地，设函数)(x f y =
的定义域为I ，如果存在实
数M 满足：
①对于任意的I x ∈，都有M x f ≤)(；
②存在I x ∈0，使得M x f =)(0.
那么，我们称M 是函数)(x f y =
的最大值，最小值的概念请一个学生口述.
最大值的图形特征是图像中的最高点，是函数值当中的最大的；最小值的图形特征是图像中的最低点，是函数值当中的最小的.
三、强调
在定义中，最值首先必须是
定义域内的自变量对应的函数
值，并且是唯一的.
反例：如图，对于任意的
I x ∈，是否有1)(M x f ≤？1M 能否作为函数的最大值？
提问：函数x y 5=，}5,4,3,2,1{∈x
值域是 定义域是 单调区间 最大值是 最小值是
四、例题
例3 “菊花“烟花是最壮观的烟花之一，制造时一般是期望在它到达最高点时爆裂，如果烟花距地面的高度hm 与时间ts 之间的关系为187.149.42++-=t t h ，那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少（精确到1m ）？
审题：何时爆裂最佳？即问何时高度最高？直接画出图象求顶点坐标，写出结果.
例 4 已知函数])6,2[(12
)(∈-=x x x f ，求函数的最大值
与最小值
强调：观察——猜想——证明——求解这一逻辑过程.
五、课堂练习与作业
练习P32T5作业P39T4-5
六、课堂小结
1、函数最值的定义
2、求最值的一般方法
①函数如果是熟悉的一次、二次、反比例函数，可画出草图，由函数图象的性质直接写出最值.
②不熟悉的函数先画草图，观察单调性，用定义证明单调性，利用单调性求最值.
形特征
教学难点
分段函数奇偶性问题的处理
教学过程
一、导入及新课
1、观察图1.3-7，找出两个函数有什么共同特征？如何定量的表示这种关系
f的定义域内的任意一
2.一般地，如果对于函数)(x
欧阳道创编 2021.03.06
个x ，都有)()(x f x f =-，那么)(x f 就叫做偶函数.
偶函数的图形特征是关于y 轴对称！
3、再观察图1.3-9，类比偶函数定义及特征归纳奇函数的定义.
①奇函数的图形特征是关于原点对称！
②学生思考计算：在奇函数中，若0在定义域内的话，利用定义如何计算)0(f 的值（提示：“任意”二字的特殊化处理，从一般走向特殊）
4、利用奇偶函数的图形特征，考察函数0=y 的奇偶性
5、再看图
两个图像是否关于y 轴对称？是不是偶函数？为什么？
二、例题讲解并学生总结奇偶性的判别方法
例1 判断下列函数的奇偶性
①]3,2(,)(2-∈=x x x f ②)2,2(,1)(2-∈-=x x x f ③R x x x f ∈-=,)1()(2④x x f =)(⑤x x x f +=2)(
判别奇偶性的一般步骤：（学生总结）
第一，判别函数定义域是否关于原点对称；第二，判别)(x f 与)(x f -
三、奇偶性函数图象的画法
例2 P 35 P 36T 2
1、奇函数关于原点对称，如何体现在画图中
2、通过P 36T 2要提问奇偶函数在对称区间单调性的变化
四、分段函数的奇偶性解析式
把P 35思考问题变换成如下问题：
已知函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，当0≥x 时，x x x f +=3)(，求)(x f 的解析式
解略
条件变为)(x f 是奇函数，学生独立完成，强调分段函数的各段能合并则合并.
五、回顾小结
1、奇偶性的概念及如何利用定义规范求解函数的奇偶性
2.奇偶函数的单调性变化情况及图形特征
3、分段函数的奇偶性问题
六、作业
P 39T 6
七、板书设计
欧阳道创编 2021.03.06。