河北南宫中学2015届高三数学上学期第11次周测试卷 理

南宫中学2015届高三（上）理科数学第11次周测试题
一、选择题 1．
已知函数
的部分图象如图所示，则函数
的解析式为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
2．[2014·商丘模拟]若向量a ＝(x －1,2)，b ＝(4，y )相互垂直，则9x
＋3y
的最小值为( ) A ．12 B ．2 3 C ．3 2 D ．6
3．若点P (4,2,3)--关于坐标平面xoy 及y 轴的对称点的坐标分别是（a,b,c ）、（e,f,d ）, 则c 与e 的和为
A 、7
B 、－7
C 、－1
D 、1
4．[2014·云南检测]要得到函数y ＝3sin(2x ＋π
3
)的图象，只需要将函数y ＝3cos2x 的图象( )
A ．向右平移π
12个单位
B ．向左平移π
12个单位
C ．向右平移π
6个单位
D ．向左平移π
6
个单位
5．设数列
是以2为首项，1为公差的等差数列，
是以1为首项，2为公比的等比数列，则
（ ）
A ．1033
B ．1034
C ．2057
D ．2058
6．[2013·合肥一模]已知两条直线m ，n ，两个平面α，β.给出下面四个命题：
①m ∥n ，m ⊥α⇒n ⊥α； ②α∥β，m ⊂α，n ⊂β⇒m ∥n ； ③m ∥n ，m ∥α⇒n ∥α； ④α∥β，m ∥n ，m ⊥α⇒n ⊥β.
其中正确命题的序号是( ) A. ①③ B. ②④ C. ①④ D. ②③ 7．若cos c
a B =,sin
b a C =,则△ABC 是（ ）
A.等腰三角形
B.等腰直角三角形
C.直角三角形
D.等边三角形
8．等比数列的首项为1，项数是偶数，所有的奇数项之和为85，所有的偶数项之和为170， 则这个等比数列的项数为
（A ）4 （B ）6 （C ）8 （D ） 10
9．.已知M 是△ABC 内的一点，且32=⋅AC AB ，︒=∠30BAC ，若△MBC, △MCA 和△MAB 的面
积分别y
x ,,21
，则
y x 41+的最小值是 ( ) A.9 B.18 C.16 D.20
10．在△ABC 中，点D 在CB 的延长线上，且
，则s ＋r 等于( )
A. 0
B.
C.
D. 3
11．已知1sin cos 5x x +=，[]0,x π∈，则tan x 的值为（ ）
A. 4
3-
B. 3
4-
C.3
4±
D.43-或3
4-
12．给定命题p :{x x ∀∈x 是无理数}.，2x 是无理数；命题q :已知非零向量a 、b ，则“a b ⊥”是“a b a b -=+”的充要条件.则下列各命题中，假命题是( ) A 、p q ∨ B 、()p q ⌝∨ C 、()p q ⌝∧ D 、()()p q ⌝∧⌝ 二、填空题 13．已知0,0>>y x
，
x y xy +=，则)1)(1(22
--y x
的最小值为____________.
14．如右图，E 、F 分别为正方形ABCD 的边BC ，CD 的中点，沿图中虚线将边长为2的正方形折起来，围
成一个三棱锥，则此三棱锥的体积是
15．等比数列
{}n a 的前
n 项和为
n
S ，已知
123
23S S S 、、成等差数列，则数列
{}n a 的公比
为 ．
{}
n a {}
n b 1210b b b a a a +++=
…
16
．在中，角所对的边分别为满足，
则的取值范围是
.
三、解答题
17．（本小题满分12分）
四棱锥P—ABCD中，⊥
PD底面ABCD，底面ABCD为正方形，E为PC的中点，点G在BC边上且
3
1
|
|
|
|
=
CB
CG。

（Ⅰ）求证：⊥
BC平面PCD；
（Ⅱ）点M在AD边上，若PA//平面MEG，求
|
|
|
|
AD
AM
的值。

18．已知x，y满足约束条件
⎩⎪
⎨
⎪⎧
x≥1，
x－3y≤－4，
3x＋5y≤30.
(1)求目标函数z＝2x－y的最大值和最小值；
(2)若目标函数z＝ax＋y取得最大值的最优解有无穷多个，求a的值；
(3)求z＝x2＋y2的取值范围．
19．[2014·厦门调研]设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1＝1，S n＝na n－2n(n－1)(n∈N*)．
(1)求证：数列{a n}为等差数列，并分别写出a n和S n关于n的表达式；
(2)设数列{
1
a n a n＋1
}的前n项和为T n.求证：
1
5
≤T n<
1
4
.
20．
（本大题12分）在ABC
∆中，c b a,,分别是角C
B
A,
,的对边，S为ABC
∆的面积，若2=
+b
a，
且;)
(
22
2b
a
c
S-
-
=
(1)．求
C
C
cos
1
sin
-
的值；（2）．求
S的最大值。

21．已知函数2
()4cos sin()
42
x
f x x
π
=+x2cos x
-.
(Ⅰ)求()
f x的最小正周期；(Ⅱ)若0,
2
x
π
⎛⎫
∈ ⎪
⎝⎭
,求()
f x的单调区间及值域.
22．（本小题满分12分）
如图所示，在四面体P—ABC中，已知PA=BC=6，PC=AB=8，AC=，PB=10，F是线段PB上一点，24
5
CF=，
点E在线段AB上，且EF⊥PB.
（Ⅰ）证明：PB⊥平面CEF；
（Ⅱ）求二面角B—CE—F的正弦值
ABC
∆
C
B
A、
、c
b
a、
、bc
a
c
b=
-
+2
2
2
>
⋅BC
AB c
b+
参考答案 1．B 【解析】
试题分析：观察图象知A=2，T=4（322ππ
-）=4π，所以12ω=，即12sin()
2y x ϕ=+，将（2π，0）代入
上式，得
2sin(
)0
4
π
ϕ+=，
,,4
4
k k k z
π
π
ϕπϕπ+==-
∈，由得，
，选B 。

考点：本题主要考查三角函数图象和性质，三角函数图象的变换。

点评：容易题，观察函数图象可得A 、T ，并进一步求ω，通过计算求ϕ。

平移规则是“左加右减，上加下减”。

2．
D 3． D 【解析】
试题分析：利用平面向量共线和垂直的条件求解
)4,2(),,1
(),1,(-==
=c y b x a
由c a
⊥，得0=⋅c
a ，即2,042=∴=-x x
由c b //，得2,02)4(1-=∴=--⨯y y .)2,1(12-==∴b a
），，（
10)1(3||),1,3(22=-+=+∴-=+∴b a b a
考点：本小题主要考查了平面向量共线和垂直的坐标表示，向量的坐标运算、模的求法，同时考查了学生的运算求解能力。

点评：解决此类问题的关键是掌握平面向量共线和垂直的坐标表示，向量的坐标运算、模的求法，并能熟练应用。

同时要注意运算的速度与准确性，难度一般。

4．A 5．A
【解析】 6．C 7．B 【解析】
试题分析：因为，cos c a B =，所以由余弦定理得，222
,2a c b c a
ac +-=即222,,2
a c
b A π
=+=又
sin b a C =，
由正弦定理得，sin sin sin ,sin sin ,B A C B C ==所以，A C =，综上知，△ABC 是等腰直角三角形，选B 。

8．C
【解析】略
9．B. 【解析】 试题分析：
0cos 23,30AB AC AB AC A BAC •==∠=
4AB AC ∴•=
1
sin 12
ABC S AB AC A ∆∴=
= M
是ABC ∆内一点，MBC ∆,MCA ∆和MAB ∆的面积分别为1,,2
x y ，
1
12x y ∴++= 12
x y ∴+=
又
0,0x y >>
114144()()()552292y x x y x y x y x y
+=++=++≥+⨯= 14
18x y
∴
+≥，选B. 考点：1、向量的数量积；2、正弦定理求三角形的面积；3、利用均值不等式求最值. 10．C
【解析】由＝4，∴＝.
又∵
，
∴＝＝－.
∴r ＝s ＝.∴s ＋r ＝．故选C.
11．B
【解析】略 12．D 【解析】
是无理数，但
2
2=是有理数，所以p 是假命题. 由向量的平行四边形法则，若两向
量满足a b a b -=+，则两向量垂直.所以q 是真命题，根据逻辑联结词的意义: p ⌝是真命题，q ⌝是假命题.
考点：逻辑联结词，简单的复合命题的真假判定. 13．9 【解析】
试题分析：由x y xy +=得111x
y
+=
，再结合基本不等式可得11
1x y
=+≥即11
04
xy <≤，当且仅当12
x y ==
时等号成立，所以
4xy ≥，所以222222(1)(1)1x y x y x y --=--+222()1x y x y =+--+
212419xy =+≥⨯+=.
考点：基本不等式. 14．13
【解析】沿图中虚线将正方形折起来，围成一个三棱锥，则,,B C D 三点重合为点M ，折起来后的三棱锥的三条棱,,AM EM FM 两两互相垂直
111
112323
V =⨯⨯⨯⨯=
15．13
【解析】
试题分析：设等比数列
{}
n a 的公比为
,
q 则由1
2323S S S 、、成等差数列得：
2
2131111113,4()3()S S S a a q a a a q a q =++=+++4，因为10,a ≠所以2
3,q q =而0,q ≠所以1
.
3q =
考点：等比数列 16
．
【解析】
试题分析：由得，cos()cos 0,cos 0ac B ac B B π-=-><，B 为钝角，
又
，2
2
b
c
+=2
a
bc +，
所以，2222
22233()233()()244
b c b c b c bc a bc b c ++=++=+<+=++， 2()3b c +<，又，故的取值范围是。

考点：本题主要考查三角形的性质，均值定理的应用。

点评：中档题，本题易错，忽视B 为钝角的判断而忽视b c ≠。

17．（Ⅰ）证明：∵PD ⊥底面ABCD ，
∴PD BC ⊥，┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅2分 ∵底面ABCD 为正方形，∴BC CD ⊥， ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅3分 ∵PD CD=D ，
∴BC ⊥平面PCD ．┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅5分 （Ⅱ）解：连结AC ，取AC 中点O ，连结EO ． ∵PA //MEG 平面，平面PAC 平面MEG EO =， ∴PA //EO ，┅┅┅┅┅┅┅┅8分 在PAC ∆中，E 为PC 的中点， 所以点O 为AC 的中点，
在正方形ABCD 中，O 是AC 中点，则O 是MG 中点， OCG OAM ∆≅∆，||||AM CG =， ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅10分
而||||CB AD =，||1||3
CG CB =
，
所以
||||
AM AD ||1||
3
CG CB ==
． ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅12分
18.（1）z max ＝2×5－3＝7，z min ＝2×1－275
＝－175
.
(2) a ＝35. (3) [34
9
，34]
19.（1）a n ＝4n －3， S n ＝12
n (a 1＋a n )＝2n 2－n .
20．（1）2cos 1sin =-C
C
（2）5
2]1)1[(5
2)2(5
25
2sin 2
12≤---=-===a a a ab C ab S
当且仅当1==b a 时，面积最大。

（1）由C ab S sin 2
1=和余弦定理得，
)2(cos 2sin 2222b ab a C ab b a C ab +---+==C ab ab cos 22-
故，2cos 1sin =-C
C
………………………………………………4分 （2）由2cos 1sin =-C
C
得，5
4sin =
C
5
2
]1)1[(52)2(5252sin 212≤---=-===
a a a a
b C ab S ， 当且仅当1==b a
时，面积最大。

(4)
分
A
E
F
M
>⋅BC AB bc a c b =-+222c b +
21．解:(Ⅰ
)1cos()
2()4cos 2cos 2
x f x x x x π
-+=- ＝2cos (1sin )x x +
2cos x x -
＝sin 2x x +＝2sin(2)3x π+.
22
T π
π=
=. (Ⅱ) 0,2x π⎛⎫∈ ⎪
⎝
⎭
，423
3
3
x πππ<+<， 由203
3
2
12
x x ππππ<+≤⇒<≤,42233122
x x πππππ≤+<⇒≤<
()f x 的单调递增区间为0,
12x π⎛⎤∈ ⎥
⎝
⎦
，单调递减区间为,122x ππ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭
；
由2sin(2)23
x π<+≤
，域值为(
⎤⎦.
【解析】略 22．（Ⅰ）略 （Ⅱ）二面角B —CE —F 的正弦值是45
【解析】（I ）证明：∵2
22
6436100PC CB PB +=+==
∴PC CB ⊥……2分
∴ PB 边上的高=862410
5
AC CB PB
•⨯==,……4分
又∵245
CF =, ∴CF
PB
⊥……6分
又EF ⊥PB , ∴ PB ⊥平面CEF ……8分
（2）∵PB ⊥平面CEF 且CE ⊂平面CEF ∴ CE PB ⊥ ∵2
2
2
362864PA AC PC +=+== ∴PA AC ⊥
又∵222
3664100PA AB PB +=+==, ∴PA AB ⊥ , ∵AB
AC A
=
∴PA ⊥平面ABC ，由CE ⊂平面ABC ， ∴CE PA ⊥ ∵PA PB P =， ∴CE ⊥平面PAB ……11分
∴EF ⊂平面PAB ， ∴CE EF ⊥，CE EB ⊥，故∠FEB 是二面角B —CE —F 的平面角12分
∵EF ⊥PB, PB ⊥AB ∴84sin cos 10
5
AB FEB FBE PB
∠=∠===……14分
二面角B —CE —F 的正弦值是45。