北京市高三数学一轮复习单元训练 不等式

北京邮电大学附中2013届高三数学一轮复习单元训练：不等式 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若实数a 、b 满足2a b +=，则33a b +的最小值是( )
A ．18
B ．6
C ．
D ．【答案】C
2．若,0<<b a 下列不等式成立的是( )
A ．22b a <
B ．ab a <2
C ．1<a b
D ．b a 11< 【答案】C
3．实数,a b 满足01a b <<<，则下列不等式正确的是( )
A ．b a a b <
B ．b b a b --<
C ．a b a b --<
D ．b b b a < 【答案】A
4．设0,10a b <-<<，则2,,a ab ab 三者的大小关系是( )
A ．2a ab ab >>
B ．2a ab ab <<
C ．2a ab ab <<
D ．2ab a ab << 【答案】C
5．已知a > 0，b > 0，a 、b 的等差中项是
12，且11x a y b a b =+=+，，则x + y 的最小值是( )
A ．6
B ．5
C ．4
D ．3 【答案】B
6．下列关系式中，正确的是( )
A ． c b c a b a -<-⇒>
B ． 22b a b a >⇒>
C ． 22bc ac b a >⇒>
D ． b
a b a 110<⇒>> 【答案】D 7．不等式10ax x a >-⎧⎨+>⎩
的解集不是空集,则实数a 的取值范围是( ) A ．(0,)+∞ B ．(1,)+∞ C ．(1,)-+∞ D ．(,1)-∞-
【答案】C
8
．函数y = ） A ．{|1}x x ≤
B ．{|0}x x ≥
C ．{|10}x x x ≥或≤
D ．{|01}x x ≤≤ 【答案】D
9．当x>1时，不等式11
x a x +≥-恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，2] B ．[2，＋∞)
C ．[3，＋∞)
D ．(－∞，3]
【答案】D
10．当a<0时,不等式42x 2+ax-a 2<0的解集为( )
A ．{x|
7a <x<-6a } B ．{x|-6a <x<7a C ．{x|7a <x<-72a } D ．空集 【答案】A
11．若函数1()(2)2f x x x x =+
>-在x a =处取最小值，则a =( ) A
．1B
．1C ．3 D ．4
【答案】C 12．设y x ,满足约束条件 ⎪⎩
⎪⎨⎧≤--≥-≥+323221y x y x y x ，若a y x ≥+224恒成立，则实数a 的最大值为
( )
A ．253
B ．54
C ．4
D ．1
【答案】B
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
13．已知x 2+bx+c<0的解集是{x|1<x<3}，则b+c 等于 。

【答案】1-
14．已知5003x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩
，则24z x y =+的最大值为
【答案】38
15．已知点),(n m A 在直线022=-+y x 上，则n
m 42+的最小值为 .
【答案】4
16．下列几个命题： ① 不等式
11
3+<-x x 的解集为}2,2|{>-<x x x 或； ② 已知b a ,均为正数，且141=+b a ，则b a +的最小值为9；
③ 已知9,42222=+=+y x n m ，则ny mx +的最大值为2
13； ④ 已知y x ,均为正数，且023=-+y x ，则1273++y x 的最小值为7；
其中正确的有 ．（以序号作答）
【答案】2,4
三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．设命题P ：关于x 的不等式a 2
22a ax x -->1(a>0且a ≠1)为{x|-a<x<2a};命题Q ：y=lg(ax 2-x+a)
的定义域为R 。

如果P 或Q 为真，P 且Q 为假，求a 的取值范围
【答案】(1）依题得：.984029842)1(12502-+-=-⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
⨯-+=x x x x x y （x ∈N *）
(2）解不等式2240980,:1010x x x -+-><<得∵x ∈N *
,∴3≤x ≤17，故从第3年开始盈利。

(3）（Ⅰ）989824040(2)4012y x x x x x
=-+-=-+≤-=Q
当且仅当982x x
=时，即x=7时等号成立． ∴到2008年，年平均盈利额达到最大值，工厂共获利12×7+30＝114万元． (Ⅱ）y=-2x 2+40x-98=-(x-10)2+102，当x=10时，y max =102
故到2011年，盈利额达到最大值，工厂获利102+12＝114万元
盈利额达到的最大值相同，而方案Ⅰ所用的时间较短，故方案Ⅰ比较合理．
18．设a 、b 、c 均为实数，求证：
a 21+
b 21+
c 21≥c b +1+a c +1+b
a +1． 【答案】∵a 、
b 、
c 均为实数． ∴21（a 21＋b 21）≥ab
21≥b a +1，当a=b 时等号成立； 21（b 21＋c 21）≥bc
21≥c b +1，当b=c 时等号成立； 21（c 21＋a 21）≥ca
21≥a c +1． 三个不等式相加即得a 21+b 21+c 21≥c b +1+a c +1+b
a +1， 当且仅当a=b=c 时等号成立.
19．已知集合A ＝{y|y 2－(a 2＋a ＋1)y ＋a(a 2＋1)＞0}，B ＝{y|y ＝12x 2－x ＋52，0≤x ≤3}． (1)若A ∩B ＝∅，求a 的取值范围；
(2)当a 取使不等式x 2＋1≥ax 恒成立的最小值时，求(∁RA)∩B.
【答案】A ＝{y|y ＜a 或y ＞a 2＋1}，B ＝{y|2≤y ≤4}．
(1)当A ∩B ＝∅时，⎩
⎪⎨⎪⎧a 2＋1≥4a ≤2， 所以a ≤－3或3≤a ≤2.
(2)由x 2＋1≥ax ，得x 2
－ax ＋1≥0，
依题意知，Δ＝a 2－4≤0，则－2≤a ≤2，
即a 的最小值为－2.
当a ＝－2时，A ＝{y|y ＜－2或y ＞5}，
所以∁RA ＝{y|－2≤y ≤5}，
故(∁RA)∩B ＝{y|2≤y ≤4}．
20．围建一个面积为360 2m 的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2 m 的进出口，如图所示.已知旧墙的维修费用为45 元/m ，新墙的造价为180元/m ，设利用的旧墙长度为x (单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y (单位：元).
(1)将y 表示为x 的函数；
(2)试确定x ，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用.
【答案】 (1)如图，设矩形的另一边长为a m ，
则y ＝45x ＋180(x －2)＋180×2a ＝ 225x ＋360a －360.
由已知xa ＝360，得a ＝360x
， 所以y ＝225x ＋3602x
－360(x>2). (2)∵x>0，∴225x ＋3602x
≥2225×3602＝10 800. ∴y ＝225x ＋3602x
－360≥10 440. 当且仅当225x ＝3602x
时，等号成立. 即当x ＝24 m ，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10 440元.
21．某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y （万元）与年产量x （吨）之间的函数关系式可以近似地表示为8000485
2
+-=x x y ，已知此生产线年产量最大为210吨。

(1）求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求每吨产品平均最低成本；
(2）若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？
【答案】（1）生产每吨产品的平均成本为
==
x y x f )()2100(4880005≤<-+x x x ， 由于48800052488005-⋅≥-+x
x x x 3248402=-⨯=，
当且仅当x
x 80005=时，即200=x 时等号成立。

答：年产量为200吨时，每吨平均成本最低为32万元；
(2）设年利润为s ，则)8000485(402+--=x x x s 80008852
-+-=x x
)2100(≤<x 1680)220(5
12+--=x ， 由于s 在]210,0(上为增函数，故当
210=x 时，s 的最大值为1660。

答：年产量为210吨时，可获得最大利润1660万元。

22．,,a b c +∈R ，求证：
32a b c b c c a a b ++≥+++ 【答案】左端变形111a b c b c c a a b
++++++++ 111()(
)a b c b c c a a b =+++++++， ∴只需证此式92≥
即可。

…4分 23(1)(1)(1)111 ()()111119 [()()()]() (111)222
a b c a b c b c c a C b b c a c c b
a b c b c c a a b
b c c a a b b c c a a b +++=+++++++++++=+++++++=+++++++≥++=+++Q 证明 93 322
a b c b c a c a b ∴++≥-=+++ 注：柯西不等式：a 、b +∈R
，则a b +≥推论：21
1()()4(11)a b a b ++≥=+ 其中a 、b +∈R
2111()()9(111)a b c a b c
++++≥=++ 其中a 、b 、c +∈R。