2020年北师版数学必修四 第2章 3.2

第二章 §3 3.2
A 级 基础巩固
一、选择题
1．设e 1，e 2是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是( B )
A ．e 1＋e 2与e 1－e 2
B ．3e 1－2e 2和4e 2－6e 1
C ．e 1＋2e 2和e 2＋2e 1
D ．e 2和e 1＋e 2
[解析] ∵3e 1－2e 2＝－1
2
(4e 2－6e 1)，
∴3e 1－2e 2与4e 2－6e 1共线，故B 中的向量不能作为基底．
2．设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则OA →＋OB →＋OC →＋OD →
等于( D )
A ．OM →
B ．2OM →
C ．3OM →
D ．4OM →
[解析] 本题考查了平面向量平行四边形法则，OA →＋OB →＋OC →＋OD →＝(OA →＋O C →)＋(OB →
＋OD →)＝2OM →＋2OM →＝4OM →.
3．设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB →＋FC →
＝( A ) A ．AD →
B ．12AD →
C ．BC →
D ．12
BC →
[解析] 如图，
EB →＋FC →
＝－12(BA →＋BC →)－12(CB →＋CA →)
＝－12(BA →＋CA →)＝12(AB →＋AC →)＝AD →
.
选A ．
4．已知ΔABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →
成立，则m ＝( B )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
[解析] 由MA →＋MB →＋MC →＝0可知，M 为△ABC 的重心，故AM →＝23×12(AB →＋AC →)＝13(AB
→
＋AC →)，所以AB →＋AC →＝3AM →
，即m ＝3.
5．若k 1a ＋k 2b ＝0，则k 1＝k 2＝0，那么下列对a 、b 的判断正确的是( B ) A ．a 与b 一定共线 B ．a 与b 一定不共线 C ．a 与b 一定垂直
D ．a 与b 中至少一个为0
[解析] 由平面向量基本定理知，当a ，b 不共线时，k 1＝k 2＝0.故选B ．
6．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若2AD →＝DB →，CD →＝23CA →＋λCB →
，则λ等于( A )
A ．1
3
B ．－13
C ．2
3
D ．－23
[解析] 方法一 由平面向量的三角形法则可知CD →＝CA →＋AD →＝CA →＋13AB →＝CA →＋13(CB
→
－CA →)＝23CA →＋13CB →
，所以λ＝13
.
方法二 因为A ，B ，D 三点共线，CD →＝23CA →＋λCB →
，所以23＋λ＝1，所以λ＝13.
二、填空题
7．若a ＝－e 1＋3e 2，b ＝4e 1＋2e 2，c ＝－3e 1＋12e 2，则向量a 可以写成λ1b ＋λ2c 的形式是__a ＝－118b ＋7
27
c __.
[解析] a ＝λ1b ＋λ2c ，即－e 1＋3e 2＝λ1(4e 1＋2e 2)＋λ2(－3e 1＋12e 2)，
所以⎩⎪⎨⎪⎧
－1＝4λ1－3λ2，3＝2λ1＋12λ2
，
解得λ1＝－118，λ2＝727.
∴a ＝－118b ＋7
27
c .
8．已知a 、b 不共线，实数x ，y 满足向量等式－3x a ＋(10－y )b ＝(4y ＋5)a ＋2x b ，则x ＝__9__，y ＝__－8__.
[解析] －3x a ＋(10－y )b ＝(4y ＋5)a ＋2x b 可化为 (3x ＋4y ＋5)a ＋(2x ＋y －10)b ＝0， ∵a ，b 不共线，故a 、b 均不为零向量．
∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋4y ＋5＝02x ＋y －10＝0，解之得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝9y ＝－8
. 三、解答题
9．设e 1，e 2是不共线的非零向量，且a ＝e 1－2e 2，b ＝e 1＋3e 2. (1)证明：a ，b 可以作为一组基底；
(2)以a ，b 为基底，求向量c ＝3e 1－e 2的分解式． [解析] (1)设a ＝λb (λ∈R )，则e 1－2e 2＝λ(e 1＋3e 2)， 由e 1，e 2不共线，
得⎩⎪⎨⎪⎧
λ＝1，
3λ＝－2⇒⎩
⎪
⎨⎪⎧
λ＝1，
λ＝－23
.
∴λ不存在，故a ，b 不共线，可以作为一组基底． (2)设c ＝m a ＋n b (m ，n ∈R )， 得3e 1－e 2＝m (e 1－2e 2)＋n (e 1＋3e 2) ＝(m ＋n )e 1＋(－2m ＋3n )e 2.
∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3＝m ＋n ，－1＝－2m ＋3n ，得⎩⎪⎨⎪⎧
m ＝2，n ＝1.
∴c ＝2a ＋b .
10．如图所示，已知在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、DC 边上的中点．若AB →＝a ，AD →＝b ，试以a 、b 为基底表示DE →、BF →.
[解析] ∵四边形ABCD 是平行四边形， E 、F 分别是BC 、DC 边上的中点， ∴AD →＝BC →＝2BE →，CD →＝BA →＝2CF →， ∴BE →＝12AD →＝12
b ，
CF →＝12CD →＝12BA →
＝－12AB →＝－12a .
∴DE →＝DA →＋AB →＋BE →＝－AD →＋AB →＋BE → ＝－b ＋a ＋12b ＝a －1
2b ，
BF →＝BC →＋CF →＝AD →＋CF →
＝b －12
a .
B 级 素养提升
一、选择题
1．设a ，b 为基底向量，已知向量AB →＝a －k b ，CB →＝2a ＋b ，CD →
＝3a －b ，若A ，B ，D 三点共线，则实数k 的值等于( A )
A ．2
B ．－2
C ．10
D ．－10
[解析] AD →＝AB →＋BC →＋CD →
＝(a －k b )＋(－2a －b )＋(3a －b )＝2a －(k ＋2)b ， ∵A ，B ，D 三点共线，∴AB →＝λAD →
， 即a －k b ＝λ[2a －(k ＋2)b ]＝2λa －λ(k ＋2)b . ∵a ，b 为基底向量，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧
2λ＝1，k ＝λ(k ＋2).解得λ＝12，k ＝2.
2．已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边的中点，且2OA →＋OB →＋OC →
＝0，那么( A )
A ．AO →＝OD →
B ．AO →＝2OD →
C ．AO →＝3O
D →
D ．2AO →＝OD →
[解析] ∵D 为BC 的中点，∴OB →＋OC →＝2OD →
， ∴2OA →＋2OD →
＝0， ∴OA →＝OD →.
3．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F .若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF →
＝( B )
A ．14a ＋1
2b
B ．23a ＋13b
C ．12a ＋1
4
b
D ．13a ＋23
b
[解析] 如图，AF →＝AD →＋DF →
，
由题意知，DE ︰BE ＝1︰3＝DF ︰AB ， 所以DF →＝13
AB →.
所以AF →＝12a ＋12b ＋13·(1
2a －12b )＝23a ＋13b .
故选B ．
4．设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →
，则( A ) A ．AD →
＝－13AB →＋43AC →
B ．AD →＝13AB →－43A
C →
C ．A
D →＝43AB →＋13
AC →
D ．AD →＝43AB →－13
AC →
[解析] 由题知AD →＝AC →＋CD →＝AC →＋13BC →＝AC →＋13(AC →－AB →
)＝－13AB →＋43AC →，故选A ．
二、填空题
5．如图，已知E 、F 分别是矩形ABCD 的边BC 、CD 的中点，EF 与AC 交于点G ，若AB →＝a ，AD →＝b ，用a 、b 表示AG →
＝__34a ＋34
b __.
[解析] AG →＝AE →－GE →＝AB →＋BE →－GE →
＝a ＋12b －12FE →＝a ＋12b －12·12DB →
＝a ＋12b －14(a －b )＝34a ＋34
b .
6．在□ABCD 中，E 和F 分别边CD 和BC 的中点，若AC →＝λAE →＋μAF →
，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ＝__4
3
__.
[解析] 如图所示，设AB →＝a ，AD →
＝b ， 则AE →＝12a ＋b ，AF →＝a ＋12
b ，AC →
＝a ＋b .
∵AC →＝λAE →＋μAF →
， ∴a ＋b ＝λ(12a ＋b )＋μ(a ＋1
2b )
＝(12λ＋μ)a ＋(λ＋1
2
μ)b . ∴⎩⎨⎧
1
2λ＋μ＝1，λ＋1
2μ＝1
，解得⎩⎨⎧
λ＝2
3
μ＝2
3
，∴λ＋μ＝4
3
.
三、解答题
7．如图所示，D 是BC 边的一个四等分点．试用基底AB →、AC →表示AD →
.
[解析] ∵D 是BC 边的四等分点， ∴BD →＝14BC →＝14
(AC →－AB →)，
∴AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋14(AC →－AB →)＝34AB →＋14
AC →.
8．如图所示，已知△OAB 中，点C 是以A 为对称中心的点B 的对称点，D 是将OB 分成2︰1的一个内分点，DC 和OA 交于点E ，设OA →＝a ，OB →
＝b .
(1)用a ，b 表示向量OC →，DC →
； (2)若OE →＝λOA →
，求λ的值．
[解析] (1)由题意知A 是BC 的中点，则有OA →＝12(OB →＋OC →
)，且由D 是将OB 分成2︰
1的一个内分点，得OD →＝23OB →，从而OC →＝2OA →－OB →＝2a －b ，DC →＝OC →－OD →
＝(2a －b )－23b
＝2a －5
3
b .
(2)如题图，C 、E 、D 三点共线，则EC →＝μDC →，又EC →＝OC →－OE →
＝2a －b －λa ＝(2－λ)a －b ，DC →
＝2a －53b ，从而(2－λ)a －b ＝μ(2a －53
b )，即⎩⎪⎨⎪⎧
2－λ＝2μ1＝5
3μ
，所以λ＝4
5
.
C 级 能力拔高
平面内有一个△ABC 和一点O (如图)，线段OA ，OB ，OC 的中点分别为E ，F ，G ；BC ，CA ，AB 的中点分别为L ，M ，N ，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →
＝c .
(1)试用a ，b ，c 表示向量EL →，FM →，GN →
；
(2)证明：线段EL ，FM ，GN 交于一点且互相平分． [解析] (1)如题图， ∵OE →＝12a ，OL →＝1
2(b ＋c )，
∴EL →＝OL →－OE →＝1
2
(b ＋c －a )．
同理：FM →＝12(a ＋c －b )，GN →＝1
2(a ＋b －c )．
(2)设线段EL 的中点为P 1，
则OP 1→＝12(OE →＋OL →)＝1
4(a ＋b ＋c )．
设FM ，GN 的中点分别为P 2，P 3，
同理可求得OP 2→＝14(a ＋b ＋c )，OP 3→＝1
4(a ＋b ＋c )．
∴OP 1→＝OP 2→＝OP 3→
.
即EL ，FM ，GN 交于一点，且互相平分．。