【易错题】初三数学下期中一模试题(含答案)

【易错题】初三数学下期中一模试题(含答案)
一、选择题
1．在反比例函数y ＝1k x -的每一条曲线上，y 都随着x 的增大而减小，则k 的值可以是（ ）
A ．－1
B ．1
C ．2
D ．3
2．在Rt ABC ∆中，90,2,1C AC BC ∠=︒==，则cos A 的值是( )
A ．255
B ．55
C ．52
D ．12
3．如图，已知直线a ∥b ∥c ，直线m 、n 与直线a 、b 、c 分别交于点A 、C 、E 、B 、D 、F ，AC=4，CE=6，BD=3，则BF=（ ）
A ．7
B ．7.5
C ．8
D ．8.5
4．如图，在平行四边形ABCD 中，F 是边AD 上的一点，射线CF 和BA 的延长线交于点E ，如果12C EAF C CDF =V V ，那么S EAF S EBC
V V 的值是（ ）
A ．12
B ．13
C ．14
D ．19
5．如图，在正方形ABCD 中，N 为边AD 上一点，连接BN ．过点A 作AP ⊥BN 于点P ，连接CP ，M 为边AB 上一点，连接PM ，∠PMA ＝∠PCB ，连接CM ，有以下结论：
①△PAM ∽△PBC ；②PM ⊥PC ；③M 、P 、C 、B 四点共圆；④AN ＝AM ．其中正确的个数为（ ）
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
6．观察下列每组图形，相似图形是（）
A ．
B ．
C ．
D ．
7．如图，△OAB∽△OCD，OA：OC＝3：2，∠A＝α，∠C＝β，△OAB与△OCD的面积分别是S1和S2，△OAB与△OCD的周长分别是C1和C2，则下列等式一定成立的是()
A．
3
2
OB
CD
=B ．
3
2
α
β
=C．1
2
3
2
S
S
=
D．1
2
3
2
C
C
=
8．如图，过反比例函数的图像上一点A作AB⊥轴于点B，连接AO，若S△AOB=2，则的值为（）
A．2 B．3 C．4 D．5
9．如果两个相似三角形对应边之比是1:3，那么它们的对应中线之比是（）
A．1:3B．1:4C．1:6D．1:9
10．如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量操场旗杆AB的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上，已知DE=0.5m，EF=0.25m，目测点D到地面的距离DG=1.5m，到旗杆的水平距离DC=20m，则旗杆的高度为( )
A．5B．(105 1.5) m
C．11.5m D．10m
11．如图▱ABCD ，F 为BC 中点，延长AD 至E ，使:1:3DE AD =，连结EF 交DC 于点G ，则:DEG CFG S S ∆V ＝（ ）
A ．2：3
B ．3：2
C ．9：4
D ．4：9
12．制作一块3m×
2m 长方形广告牌的成本是120元，在每平方米制作成本相同的情况下，若将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，那么扩大后长方形广告牌的成本是（ ） A ．360元 B ．720元 C ．1080元 D ．2160元
二、填空题
13．如图，在平面直角坐标系内有一点()5,12P ，那么OP 与x 轴正半轴的夹角α的余弦值为______.
14．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 与正方形BEFG 是以原点O 为位似中心的位似图形，且相似比为13
，点A ，B ，E 在x 轴上，若正方形BEFG 的边长为6，则点C 的坐标为________.
15．一个几何体由若干大小相同的小立方块搭成，如图所示的分别是从它的正面、左面看到的图形，则搭成该几何体最多需要__个小立方块.
16．《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其意思为：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为5步，股（长直角边）长为12步，问该直角三角形能容纳的正方形边长最大是多少步？”该问题的答案是______步．
17．已知反比例函数y=2m x
-，当x ＞0时，y 随x 增大而减小，则m 的取值范围是_____． 18．小华为了求出一个圆盘的半径，他用所学的知识，将一宽度为2cm 的刻度尺的一边与圆盘相切，另一边与圆盘边缘两个交点处的读数分别是“4”和“16”（单位：cm ），请你帮小华算出圆盘的半径是_____cm ．
19．如图，已知AD AE =，请你添加一个条件，使得ADC AEB △≌△，你添加的条件是_____．（不添加任何字母和辅助线）
20．如图，为了测量某棵树的高度，小明用长为2m 的竹竿做测量工具，移动竹竿，使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点.此时，竹竿与这一点距离相距6m ，与树相距15m ，则树的高度为_________m.
三、解答题
21．美丽的黄河宛如一条玉带穿城而过，沿河两岸的滨河路风情线是兰州最美的景观之
一．数学课外实践活动中，小林在南滨河路上的A ，B 两点处，利用测角仪分别对北岸的一观景亭D 进行了测量．如图，测得∠DAC=45°，∠DBC=65°．若AB=132米，求观景亭D 到南滨河路AC 的距离约为多少米？（结果精确到1米，参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）
22．已知：△ABC 中，∠A ＝36°，AB ＝AC ，用尺规求作一条过点B 的直线，使得截出的一个三角形与△ABC 相似．（保留作图痕迹，不写作法）
23．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC 的顶点O 与坐标原点重合，其边长为2，点A ，点C 分别在轴，轴的正半轴上．函数2y x =的图象与CB 交于点D ，函数k y x
=
（k 为常数，0k ≠）的图象经过点D ，与AB 交于点E ，与函数2y x =的图象在第三象限内交于点F ，连接AF 、EF ．
（1）求函数k y x
=
的表达式，并直接写出E 、F 两点的坐标． （2）求△AEF 的面积． 24．已知如图，AD BE CF P P ，它们依次交直线a ，b 于点A 、B 、C 和点D 、E 、F.
（1）如果6AB =，8BC =，21DF =，求DE 的长.
（2）如果:2:5DE DF =，9AD =，14CF =，求BE 的长.
25．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，23
AD AB =，M 为BC 上一点，AM 交DE 于N.
(1)若AE＝4，求EC的长；
(2)若M为BC的中点，S△ABC＝36，求S△ADN的值．
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一、选择题
1．A
解析：A
【解析】
【分析】
利用反比例函数的增减性，y随x的增大而减小，则求解不等式1-k>0即可．【详解】
∵反比例函数y=1−kx图象的每一条曲线上，y随x的增大而减小，
∴1−k>0，
解得k<1.
故选A.
【点睛】
此题考查反比例函数的性质，解题关键在于根据其性质求出k的值.
2．A
解析：A
【解析】
【分析】
根据勾股定理，可得AB的长，根据余弦函数等于邻边比斜边，可得答案．【详解】
如图，
在Rt△ABC中，∠C=90°，由勾股定理，得
22=5
AC BC
+
∴cosA=
25
5
AC
AB
==，
故选A．
【点睛】
本题考查了锐角三角函数的定义以及勾股定理，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
3．B
解析：B
【解析】
【分析】
由直线a∥b∥c，根据平行线分线段成比例定理，即可得AC BD
CE DF
=，又由AC=4，
CE=6，BD=3，即可求得DF的长，则可求得答案．【详解】
解：∵a∥b∥c，
∴AC BD CE DF
=，
∵AC=4，CE=6，BD=3，
∴43
6DF =，
解得：DF=9
2
，
∴
9
37.5
2
BF BD DF
=+=+=．
故选B．
考点：平行线分线段成比例．
4．D
解析：D
【解析】
分析：根据相似三角形的性质进行解答即可．详解：∵在平行四边形ABCD中，
∴AE∥CD，
∴△EAF∽△CDF，
∵
1
2
EAF
CDF
C
C
V
V
，
=
∴
1
2 AF
DF
=，
∴
11
123 AF
BC
==
+
，
∵AF∥BC，
∴△EAF∽△EBC，
∴
2
11
39
EAF
EBC
S
S
⎛⎫
==
⎪
⎝⎭
V
V
，
故选D.
点睛：考查相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方. 5．A
解析：A
【解析】
【分析】
根据互余角性质得∠PAM＝∠PBC，进而得△PAM∽△PBC，可以判断①；由相似三角形得∠APM＝∠BPC，进而得∠CPM＝∠APB，从而判断②；根据对角互补，进而判断③；
由△APB∽△NAB得AP AN
BP AB
=，再结合△PAM∽△PBC便可判断④．
【详解】
解：∵AP⊥BN，
∴∠PAM+∠PBA＝90°，
∵∠PBA+∠PBC＝90°，
∴∠PAM＝∠PBC，
∵∠PMA＝∠PCB，
∴△PAM∽△PBC，
故①正确；
∵△PAM∽△PBC，
∴∠APM＝∠BPC，
∴∠CPM＝∠APB＝90°，即PM⊥PC，故②正确；
∵∠MPC+∠MBC＝90°+90°＝180°，
∴B、C、P、M四点共圆，
∴∠MPB＝∠MCB，
故③正确；
∵AP⊥BN，
∴∠APN＝∠APB＝90°，
∴∠PAN+∠ANB＝90°，
∵∠ANB+∠ABN＝90°，
∴∠PAN＝∠ABN，
∵∠APN＝∠BPA＝90°，
∴△PAN∽△PBA，
∴AN PA BA PB
=，
∵△PAM∽△PBC，
∴Al AP BC BP
=，
∴AN AM AB BC
=，
∵AB＝BC，
∴AM＝AN，
故④正确；
故选：A．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质、四点共圆，同角的余角相等，判断出PM⊥PC是解题的关键．
6．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据相似图形的定义，形状相同，可得出答案．
【详解】
解：A、两图形形状不同，故不是相似图形；
B、两图形形状不同，故不是相似图形；
C、两图形形状不同，故不是相似图形；
D、两图形形状相同，故是相似图形；
故选：D．
【点睛】
本题主要考查相似图形的定义，掌握相似图形形状相同是解题的关键．
7．D
解析：D
【解析】
A选项，在△OAB∽△OCD中，OB和CD不是对应边，因此它们的比值不一定等于相似比，所以A选项不一定成立；
B选项，在△OAB∽△OCD中，∠A和∠C是对应角，因此αβ
=，所以B选项不成立；C选项，因为相似三角形的面积比等于相似比的平方，所以C选项不成立；
D选项，因为相似三角形的周长比等于相似比，所以D选项一定成立.
故选D.
8．C
解析：C
【解析】
试题分析：观察图象可得，k ＞0，已知S △AOB =2，根据反比例函数k 的几何意义可得k=4，故答案选C.
考点：反比例函数k 的几何意义.
9．A
解析：A
【解析】
∵两个相似三角形对应边之比是1:3，
∴它们的对应中线之比为1:3.
故选A.
点睛: 本题考查相似三角形的性质，相似三角形的对应边、对应周长，对应高、中线、角平分线的比，都等于相似比,掌握相似三角形的性质及灵活运用它是解题的关键.
10．C
解析：C
【解析】
【分析】
确定出△DEF 和△DAC 相似，根据相似三角形对应边成比例求出AC ，再根据旗杆的高度=AC+BC 计算即可得解．
【详解】
解：∵∠FDE=∠ADC ，
∠DEF=∠DCA=90°，
∴△DEF ∽△DAC ， ∴C
DE CD EF A = ， 即：
0.50.2520AC = ， 解得AC=10，
∵DF 与地面保持平行，目测点D 到地面的距离DG=1.5米，
∴BC=DG=1.5米，
∴旗杆的高度=AC+BC=10+1.5=11.5米．
故选：C ．
【点睛】
本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应边成比例，准确确定出相似三角形是解题的关键．
11．D
解析：D
【解析】
【分析】
先设出DE x =，进而得出3AD x =，再用平行四边形的性质得出3BC x =，进而求出CF ，最后用相似三角形的性质即可得出结论．
【详解】
解：设DE x =，
∵:1:3DE AD =，
∴3AD x =，
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴//AD BC ，BC AD 3x ==，
∵点F 是BC 的中点， ∴1322
CF BC x ==， ∵//AD BC ，
∴DEG CFG ∆∆∽， ∴2
24392DEG
CFG S DE x S CF x ⎛⎫ ⎪⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭
V V ， 故选：D ．
【点睛】
此题主要考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，中点的定义，表示出CF 是解本题的关键．
12．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据题意求出长方形广告牌每平方米的成本，根据相似多边形的性质求出扩大后长方形广告牌的面积，计算即可．
【详解】
3m×2m=6m 2，
∴长方形广告牌的成本是120÷
6=20元/m 2， 将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，
则面积扩大为原来的9倍，
∴扩大后长方形广告牌的面积=9×
6=54m 2， ∴扩大后长方形广告牌的成本是54×
20=1080元， 故选C ．
【点睛】
本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
二、填空题
13．【解析】【详解】如图过点P 作PA⊥x 轴于点A∵P(512)∴OA=5PA=12由勾股定理得OP=∴故填：【点睛】此题考查锐角三角函数的定义先构建直角三角形确定边长即可得到所求的三角函数值 解析：513 【解析】 【详解】
如图，过点P 作PA ⊥x 轴于点A ，
∵P(5,12)，
∴OA=5，PA=12，
由勾股定理得OP=222251213OA PA +=+=,
∴5cos 13OA OP α=
=, 故填：513
.
【点睛】
此题考查锐角三角函数的定义，先构建直角三角形，确定边长即可得到所求的三角函数值. 14．【解析】【分析】直接利用位似图形的性质结合相似比得出AB 的长进而得出△OAD ∽△OBG 进而得出AO 的长即可得出答案【详解】∵正方形BEFG 的边长是6∴∵两个正方形的相似比为∴∴∵AD ∥BG ∴△OAD
解析：(3,2)
【解析】
【分析】
直接利用位似图形的性质结合相似比得出AB 的长，进而得出△OAD ∽△OBG ，进而得出AO 的长，即可得出答案.
【详解】
.∵正方形BEFG 的边长是6，
∴6BE EF ==.
∵两个正方形的相似比为13
，
∴163
CB CB EF ==. ∴2AB BC ==，.
∵AD ∥BG ，
∴△OAD ∽△OBG ， ∴
13OA OB =，即213
OB OB -=. ∴3OB =.
∴点C 的坐标为(3,2). 【点睛】
本题主要考查了位似变换以及相似三角形的判定与性质，正确得出AO 的长是解题关键. 15．14【解析】试题解析：根据主视图和左视图可得：搭这样的几何体最多需要6+3+5=14个小正方体；故答案为：14点睛：主视图是从物体的正面看得到的视图左视图是从物体的左面看得到的视图；注意主视图主要告
解析：14
【解析】
试题解析：根据主视图和左视图可得：
搭这样的几何体最多需要6+3+5=14个小正方体；
故答案为：14．
点睛：主视图是从物体的正面看得到的视图，左视图是从物体的左面看得到的视图；注意主视图主要告知组成的几何体的层数和列数．
16．【解析】【分析】如图根据正方形的性质得：DE∥BC 则△ADE∽△ACB 列比例式可得结论【详解】如图∵四边形CDEF 是正方形∴CD=EDDE∥CF 设ED=x 则CD=xAD=12-x∵DE∥CF∴∠AD 解析：
6017
． 【解析】
【分析】 如图，根据正方形的性质得：DE ∥BC ，则△ADE ∽△ACB ，列比例式可得结论.
【详解】
如图，
∵四边形CDEF 是正方形，
∴CD=ED ，DE ∥CF ，
设ED=x ，则CD=x ，AD=12-x ，
∵DE ∥CF ，
∴∠ADE=∠C ，∠AED=∠B ，
∴△ADE ∽△ACB ， ∴DE BC ＝AD AC
，
∴x
5
＝
12-x
12
，
∴x=60 17
，
故答案为60 17
.
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质、正方形的性质，设未知数，构建方程是解题的关键．
17．m＞2【解析】分析：根据反比例函数y=当x＞0时y随x增大而减小可得出m﹣2＞0解之即可得出m的取值范围详解：∵反比例函数y=当x＞0时y随x 增大而减小∴m﹣2＞0解得：m＞2故答案为m＞2点睛：本
解析：m＞2．
【解析】
分析：根据反比例函数y=
2
m
x
-
，当x＞0时，y随x增大而减小，可得出m﹣2＞0，解之
即可得出m的取值范围．
详解：∵反比例函数y=
2
m
x
-
，当x＞0时，y随x增大而减小，∴m﹣2＞0，解得：m＞
2．
故答案为m＞2．
点睛：本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数的性质找出m﹣2＞0是解题的关键．
18．10【解析】【分析】如图先利用垂径定理得BD=6再利用勾股定理建立方程求解即可得出结论【详解】如图记圆的圆心为O连接OBOC交AB于
D∴OC⊥ABBD=AB由图知AB=16﹣4=12cmCD=2cm
解析：10
【解析】
【分析】
如图，先利用垂径定理得，BD=6，再利用勾股定理建立方程求解即可得出结论．
【详解】
如图，
记圆的圆心为O ，连接OB ，OC 交AB 于D ，
∴OC ⊥AB ，BD=12
AB ， 由图知，AB=16﹣4=12cm ，CD=2cm ，
∴BD=6，设圆的半径为r ，则OD=r ﹣2，OB=r ，
在Rt △BOD 中，根据勾股定理得，OB 2=AD 2+OD 2，
∴r 2=36+（r ﹣2）2，
∴r=10cm ，
故答案为10．
【点睛】
本题考查了垂径定理的应用，勾股定理，正确添加辅助线构造出直角三角形是解本题的关键．
19．或或【解析】【分析】根据图形可知证明已经具备了一个公共角和一对相等边因此可以利用ASASASAAS 证明两三角形全等【详解】∵∴可以添加此时满足SAS ；添加条件此时满足ASA ；添加条件此时满足AAS 故
解析：AB AC =或ADC AEB ∠=∠或ABE ACD ∠=∠.
【解析】
【分析】
根据图形可知证明ADC AEB V V ≌已经具备了一个公共角和一对相等边，因此可以利用ASA 、SAS 、AAS 证明两三角形全等．
【详解】
∵A A ∠∠= ，AD AE =，
∴可以添加AB AC = ，此时满足SAS ；
添加条件ADC AEB ∠∠= ，此时满足ASA ；
添加条件ABE ACD ∠∠=，此时满足AAS ，
故答案为：AB AC =或ADC AEB ∠∠=或ABE ACD ∠∠=；
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定，是一道开放题，解题的关键是牢记全等三角形的判定方法．
20．7【解析】设树的高度为m 由相似可得解得所以树的高度为7m
解析：7
【解析】
设树的高度为x m，由相似可得
6157
262
x+
==，解得7
x=，所以树的高度为7m
三、解答题
21．观景亭D到南滨河路AC的距离约为248米．
【解析】
【分析】
过点D作DE⊥AC，垂足为E，设BE=x，根据AE=DE，列出方程即可解决问题．【详解】
过点D作DE⊥AC，垂足为E，设BE=x，
在Rt△DEB中，tan∠DBE=DE BE
，
∵∠DBC=65°，
∴DE=xtan65°．
又∵∠DAC=45°，
∴AE=DE．
∴132+x=xtan65°，
∴解得x≈115.8，
∴DE≈248（米）．
∴观景亭D到南滨河路AC的距离约为248米．
22．答案见解析.
【解析】
【分析】
根据三角形相似的作图解答即可．
【详解】
解：如图，直线BD即为所求．
【点睛】
此题主要考查相似图形的作法，关键是根据三角形相似的作图．
23．（1）
2
y
x
=，E（2，1），F（-1，-2）；（2）
3
2
．
【解析】
【分析】
（1）先得到点D的坐标，再求出k的值即可确定反比例函数解析式；
（2）过点F作FG⊥AB，与BA的延长线交于点G．由E、F两点的坐标，得到AE=1，FG=2-（-1）=3，从而得到△AEF的面积．
【详解】
解：（1）∵正方形OABC的边长为2，∴点D的纵坐标为2，即y=2，
将y=2代入y=2x，得到x=1，
∴点D的坐标为（1，2）．
∵函数
k
y
x
=的图象经过点D，∴2
1
k
=，∴k=2，
∴函数
k
y
x
=的表达式为
2
y
x
=．
（2）过点F作FG⊥AB，与BA的延长线交于点G．
根据反比例函数图象的对称性可知：点D与点F关于原点O对称∴点F的坐标分别为（-1，-2），
把x=2代入
2
y
x
=得，y=1；
∴点E的坐标（2，1）；∴AE=1，FG=2-（-1）=3，
∴△AEF的面积为：1
2
AE•FG=
13
13
22
⨯⨯=
.
24．（1）DE 的长为9；（2）BE 的长为11；
【解析】
【分析】
（1）由果6AB =，8BC =，可得AC=14，然后根据平行线等分线段定理得到6=14DE AB DF AC =，然后将已知条件代入即可求解； （2）过D 作DH∥AC，分别交BE,CF 于H ，说明四边形ABGD 和四边形BCHG 是平行四边形，然后根据平行四边形的性质得CH=BG=AD=9；进一步说明FH=CF-DH=5，然后再按照平行线等分线段定理得到:2:5DE DF =，最后代入已知条件求解即可．
【详解】
（1）∵6AB =，8BC =，
∴AC=AB+BC=14
∵AD BE CF P P
∴6=14
DE AB DF AC = ∴662191414DE DF =
=⨯= (2)过D 作DH∥AC，分别交BE,CF 于H.
∵AD BE CF P P
∴四边形ABGD 和四边形BCHG 是平行四边形，
∴CH=BG=AD=9
∴FH=CF -DH=5
∵:2:5DE DF =
∴:2:5GE HF = ∴225255
GE HF =
=⨯= ∴BE=BG+GE=9+2=11.
【点睛】 本题主要考查平行线分线段成比例的知识，关键是掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.
25．（1）2（2）8
【解析】
【分析】
（1）首先根据DE ∥BC 得到△ADE 和△ABC 相似，求出AC 的长度，然后根据CE=AC －AE 求出长度；（2）根据△ABC 的面积求出△ABM 的面积，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求出△ADN 的面积．
【详解】
解:（1）∵DE ∥BC
∴△ADE ∽△ABC ∴
23
AE AD AC AB == ∵AE=4
∴AC=6 ∴EC=AC －AE=6－4=2
(2)∵△ABC 的面积为36,点M 为BC 的中点
∴△ABM 的面积为：36÷
2=18 ∵△ADN 和△ABM 的相似比为
23 ∴:4:9ADN ABM S S ∆∆=
∴ADN S V =8
考点： 相似三角形的判定与性质。