PD7

A
ydA = 0
A
(b )
M y = ∫ zσdA =
A
ρ∫
E
yzdA = 0
y 2 dA = m = M
(c )
(d )
Mz =
∫
A
y σ dA =
ρ∫
A
讨论: 1 对称截面,条件(c)自然满足. 2 非对称截面,总可以找到使Iyz=0的主惯性轴y、z, 使条件(c) 满足. 3 若主惯性轴y、z,又是通过截面形心, y、z轴为 形心主惯性轴.形心主惯性轴与梁的轴线确定的平 面为形心主惯性平面.z轴为中性轴.必然有:
q
A
0.2l l
B
0.2l
x
适当布置载荷和支座的位置 可以降低最大弯曲数值提高 梁的弯曲强度
M
0
0.125 2 ql
(+)
M x
0
0.025 2 ql
0.02ql2
x
3 等强度梁 等强度梁:梁上各横截面上的最 大应力都相等且等于许用应力.
σ max
M ( x) = = [σ ] W ( x)
P
A l/2
M
y
=
=
∫ z σ dA
A
∫
A
z
Ey
ρ
dA
z M C y z dA σ x
=
E
ρ
∫
A
yzdA = 0
惯性积
I yZ =
∫
A
yzdA = 0
y
结论:y z轴为形心主轴
(3) 导出弯曲正应力公式
M
z
=
=
∫
∫
A
yσ aA
y Ey
A
ρ
dA
M
z C y z dA x σ
=
惯性矩
M =
E
ρ
∫
A
y 2 dA = M
( M + dM ) y1 N 1 = ∫ (σ + dσ ) dA = ∫ dA A1 A1 IZ
b τ" τ´ Q τ τk c h z τ
σ M τ´
dx τ
σ+dσ M +dM
y
z c N2 τ´ τ x y y1 y1 dA N1 y
M + dM = IZ
( M + dM ) S y1dA = ∫A1 IZ
l
b
h 2 h 2
Q =P
中性层上的剪应力
3 Q 3P τ ' =τ = = 2 A 2bh
中性层上的剪力
τ’ τ
τ
3 Pl Q ' = τ '⋅bl = 2h
螺栓承受全部剪力Q’,由螺栓的剪切强度条件
Q' τ ''= = A1
3 Pl 2h πd 2 4
≤ [τ ]
6 Pl d≥ = 12.36mm πh[τ ]
-- 抗弯截面模量
bh 2 Wz = 6
空心圆:
Wz =
πd 3
32
Wz =
πD
32
3
(1 − α )
4
(2) 变截面梁:综合考虑M和 (3) 无水平对称轴的梁 最大弯曲拉应力 最大弯曲压应力 弯曲强度条件
y Iz
确定σmax
y
σ t max =
M max y 1 Iz
拉
y1
z y2 压
σ c max
2沿横截面宽度均布z顶面yq?kchb式中左侧xyz?y1n1n2cdxdayy1daiydmmdadnaaz1111?11azzzisdmmdayidmm右侧?11azdayszzaazimsdaimydan1211bdxdqmdmdm?dx0x021??dqnn0????bdximsisdmmzzzzbdxidmszz?biqszz?xyz?y1n1n2cdxdayy1二矩形截面的弯曲剪应力max42222111yhbdybydayshyaz??4222yhiqz?2hy00yziqh82max代入123bhizmaqbhq232323maxyy1dy1zh2h2yb三其它截面的最大剪应力四型钢五弯曲剪应力强度条件21k环形圆形工字形矩形截面系数3423mkmaxmaxbiqszz?查附录?zzsi代入已知
I Z = ∫ y 2 dA
A
y
EI z
ρ
与σ =
Ey
ρ
解出:
My σ = Iz
§7.3 横力弯曲时的正应力 横截面上的最大正应力 全梁的最大正应力 (1) 等直梁 令 矩形: 圆形:
Wz = Iz ymax
σ
σ
max
=
=
My max Iz
M
max
y max
max
Iz
σ max
M max = Wz
取
d = 12.5mm
§7.5 提高梁弯曲强度的措施 1 选择合理的形状和截面
σ max
M max = ≤ [σ ] Wz
M max ≤ [σ ]Wz
Wz A
较大可以提高梁的弯曲强度.(P107 表7.1)
2 适当布置载荷和支座的位置
σ max
M max = ≤ [σ ] Wz
y
A
q
B x l
A
y
h/2
y y1
bh3 代入 IZ = 12
z
τmax
h/2
dy1
τ max
3Q 3Q 3 = = = τm 2bh 2 A 2
y
三 其它截面的最大剪应力
τ max = Kτ m
截面
四 型钢 查附录
矩形
Iz S z∗
系数
工字形 1
圆形
环 形 2
代入
K
3 2
4 3
QS z∗ τ = IZb
五 弯曲剪应力强度条件
σ max =
M max 6 M max = ≤ [σ ] 2 Wz bh
P
B E
D
A
C
h b
a
Байду номын сангаас
a
a
Pa 2
(+)
a
与
b ≥
3
h =2 b
(-)
(-)
M 图
3M = 122 mm 2 [σ ]
Pa
Pa
解出
h = 2b = 244mm
选用125×250mm2的矩形截面
已知:P1 = 8kN,P2=20kN,a=0.6m Iz=5.33x106mm4,[σt]=60MPa ,[σc]=150MPa. 求:校核梁的强度. P2 解:1 作弯矩图 y P1
z c y z y dA x
My σ= Iz
(a )
截面上的内力 轴力 对y的弯矩 对z的弯矩
N = ∫ σdA
A
m M c y z y dA x z
M y = ∫ zσdA
A
M z = ∫ yσdA
A
当外力偶m作用于xy平面时, N=0,My=0, Mz=m=M
N = ∫ σ dA =
A
E
ρ∫
E
A
z M C y z dA σ x
M M
y
= =
∫ ∫
A
z σ dA = 0 y σ dA = M
y
z
A
(1) 确定中性轴的位置
N = ∫ σdA
A
=
∫
E
Ey
A
ρ
A
dA
M C y z dA
z x σ
=
ρ∫
ydA = 0
静矩 S z = ∫ ydA = 0 A
y
结论:中性轴通过形心,与形心轴重合.
(2) 确定形心主轴
Sz = 0
I yz = 0
σ =
My Iz
结论: 1 非对称梁,只要外力偶作用在形心主惯性平面内, 梁就会发生平面弯曲, 2 非对称梁在纯弯曲时发生平面弯曲的结论可以推广 到横力弯曲情况.只要赂去其扭转变形即可.
§7.4 弯曲剪应力 一 弯曲剪应力公式 两点假设: 1 τ∥Q ; 2 τ沿横截面宽度均布 右侧
h
C
l/2 B
x bmin b(x)
M ( x) W ( x) = [σ ] 1. h =c ,b = b(x)
b( x ) h 2 M ( x ) W ( x) = = 6 [σ ] 3Px b( x ) = [σ ]h 2
τ max =
3Qmax 3P = = [τ ] 2A 4bmin h
b min =
A1
∗ z
式中 左侧 顶面
S z∗ = ∫ y1dA
N 2 = ∫ σ dA = ∫
A1
A1
dQ ' = τ ' bdx
My1 MS dA = IZ IZ
* z
dx
∑ X = 0,
N 1 − N 2 − dQ ' = 0
z c N2 τ´ τ dA N1 y y y1 y1
( M + dM ) S z∗ MS z∗ − − τ ' bdx = 0 Iz IZ
dMS z∗ τ '= dxI Z b
x
QS τ = τ '= IZb
∗ z
dx
二 矩形截面的弯曲剪应力
S
∗ z
=
∫
A
y 1 dA =
∫
h 2 y
by 1 dy
1
b h2 = ( − y2) 2 4
Q h2 τ= ( − y2 ) 2I Z 4
h y=± 2
b
τ=0
y=0
τ max
Qh 2 = 8I Z
(+) (-)
Pl 4
Q图
P 2
3 计算最大正应力
σ
max
=
M max Wz
(+)
M图
4 比值
τ max 3 P 2 bh 2 h = ⋅ = σ max 4 bh 3 Pl 2l
τ max h h 1 = = = = 10 % σ max 2 l 2 × 5 h 10
l = 5h
已知: 悬臂梁AB(组合梁),b=69mm,h=100mm,l=800mm, P=1kN;螺栓的许用剪应力[τ]=100MPa. 求: 螺栓的直径. P 解: 横截面上的剪力
τ max ≤ [τ ]
已知:P l b h 求:1 τmax=? 2 τmax:σmax = ? 解:1 作剪力图和弯曲图
Q max P = 2
A l/2
P
C
l/2
B
h b
M max
Pl = 4
P 2
2 计算最大剪应力
τ max =
3Q 3P = 2 A 4 bh
Pl 3 Pl = 42 = bh 2 bh 2 6
M max y 2 = Iz
σ max
M max = ≤ [σ ] Wz
σ c max =
M max y 2 ≤ [σ c ] Iz
抗拉压强度不等的材料 M max y1 σ t max = ≤ [σ t ] Iz
已知:P =10kN, a =1.2m, [σ]=10MPa. h:b =2. 求:设计梁的截面尺寸 解:1 作弯曲图 3P P Mmax=Pa =12kN·m 2 选择截面尺寸 由强度条件
中性层 中性轴
M
M
§7.2 纯弯曲时的正应力 1 变形几何关系 原长 变形后
ρ
dθ
M
y
a b b a
M
x
bb = dx =ρdθ aa =(ρ+y)dθ
dx y
( ρ + y )dθ − ρdθ y ε= = ρdθ ρ
2 物理关系
M C z
σ≦σp
σ= Eε
x
σ
σ = E
y
ρ
y
3 静力学关系
N = ∫ σ dA = 0
RA=22kN RB=6kN MA=-4.8kNm MD=3.6kNm
2 校核强度
a RA
a
3.6
a RB
(+)
σA
1
M A y1 = = 72 MPa ≤ [σ c ] IZ
(-)
4.8
M 图
σ
A2
σA
2
M y = A 2 = 36MPa ≤ [σ t ] IZ M D y1 = = 54MPa ≤ [σ t ] IZ
3P 4 h [τ ]
2. b =c
h =h(x)
hmin h(x)
b[h( x)]2 M ( x) W ( x) = = 6 [σ ]
3Px h( x ) = b[σ ]
3Qmax 3P τ max = = = [τ ] 2 A 4bhmin
鱼腹梁
hmin
3P = 4b[τ ]
阶梯轴
作业 7.6 7.9 7.11 7.14 7.15 *7.18
σD
2
σD
1
σ
A1
σD
1
y1=80
C
A
D
y2=40
B
z
*非对称梁的弯曲 非对称梁:无纵向对称面的梁 对非对称梁和有纵向对称面 但载荷不作用在纵向对称面 的梁.讨论两个问题: 1 对非对称梁y、z轴满足什么 条件z轴为中性轴. 2 弯矩应在什么平面内. 假设: 1非对称梁发生纯弯曲变形; 2 平面假设和纵向纤维互不挤压假设成立. 正应力
第七章
弯曲应力
第七章
§7.1 纯弯曲 1 纯弯曲和横力弯曲
弯曲应力
a
A
P
P a
B
纯弯曲: 只有M 而无Q 的平面弯曲. 横力弯曲: 既有M 又有Q 的平面弯曲.
P (+) (-) -P
Q图
Pa (+)
M图
2 纯弯曲时的现象 (1) 横向直线仍然保持为直线,绕 某轴转动,仍然与纵向线垂直. (2) 纵向线弯曲成弧线并有伸缩, 只有一层纤维不发生伸缩. 中性层: 纵向纤维不发生伸缩的面. 中性轴: 中性层与横截面的交线. 3 假设 平面假设: 纵向纤维间无正应力假设: