高等数学(上) 第2版教案4.3

教 案
任课教师：
序号
授课日期
学生年限 高中后三年制 班级 项目（章节） 第4.3节 分部积分法
授课时数
2
教学目标 与要求 会用分部积分法求不定积分。

教学难点 与重点 分部积分法的应用，注意u 、v 的选取。

教学方法 和手段 课堂教学，讲授为主，习题为辅。

作 业
习题4-3
教学内容及过程
时间分配
一、课程导入：
1.复习：第一换元积分法（凑微分）
第二换元积分法，代数代换，三角代换
2.引言：已经学了3种积分方法，直接积分法，第一换元，第二换元积分法。

但是还不够，有些积分以上方法都不能奏效，例如：
⎰
xdx x cos ，⎰xdx e x
cos ，⎰xdx ln 本节将介绍另一种积分方法：分部积分法
二、主要内容：
1.思考：对于⎰xdx x cos ，⎰
xdx e x
cos ，⎰
xdx ln 这些积分该如何去求？被积函数有什么特点？
2.分部积分法：
设函数)(),(x v v x u u ==为连续函数，根据乘积的求导法则有：
u v v u uv '+'=')(⇒v u uv u v '-'=')(
两边积分：dx v u dx uv udx v ⎰⎰
⎰'-'=')( ⎰⎰
-=vdu uv udv
这个公式称为分部积分公式.这种计算不定积分的方法叫做分部积分法.
例1：⎰
xdx x cos
解：C x x x xdx x x x xd xdx x ++=-==⎰⎰⎰cos sin sin sin sin cos
若按以下方法选择u 、v ，则
⎰⎰⎰-==
x d x x x xdx xdx x cos 21cos 21cos 21cos 222
⎰+=xdx x x x sin 2
1
cos 2122 则新转化出来的积分⎰
xdx x sin 2比原积分更不易算出. u 、v 的选取是关键：
1）v 要容易求得； 2）⎰vdu 要比⎰
udv 容易算出.
例2：⎰dx e x x 2 例3：⎰
xdx x ln 2
例4：⎰xdx ln 例5：⎰
xdx arctan 例6：⎰
xdx e x cos （循环积分）
解题思路：两次应用分部积分法后又回到原来的积分，解方程可得. 例7：⎰
dx x cos
解题思路：第二换元积分法与分部积分法同时使用.
三、课堂小结
1. ⎰⎰-=vdu uv udv 分部积分公式要牢记，会用。

一凑，二提，三交换。

第一步凑dv 时：按指数函数、三角函数、幂函数、对
数函数、反三角函数的顺序越靠前越优先纳入凑微分。

2.分部积分法可以重复使用
四、布置作业
P119 习题4-3 1.（1）-（6）
教学反思
板书设计
主板副板
主要内容：
一、分部积分法
1.导入公式
⎰⎰-
=vdu
uv
udv分部积分公式.
用分部积分公式求积分的方法叫做分部积分法.
2.使用积分公式的方法：
口诀：一凑，二提，三交换。

凑dv时，按指、三、幂、对、反的顺序越靠前越优先纳入凑微分。

例题：
例1、⎰xdx
x cos
例2——例6
⎰dx
e
x x
2⎰xdx
x ln
2⎰xdx
ln ⎰xdx
e x cos⎰xdx
arctan
例7、⎰dx x
cos
第页。