(福建专用)2019高考数学一轮复习-第二章 函数 2.9 函数模型及其应用课件 理 新人教A版

形如 f(x)=x+ax(a>0)的函数模型称为“对勾”函数模型: (1)该函数在(-∞,- a]和[ a,+∞)内单调递增,在[- a,0]和(0, a]上单调 递减. (2)当 x>0 时,x= a时取最小值 2 a, 当 x<0 时,x=- a时取最大值-2 a.
知识梳理 考点自测
12345
甲产品 20
a
乙产品 40
8
10
200
18
120
其中年固定成本与年生产的件数无关,a为常数,且6≤a≤8.另外,
当年销售x件乙产品时需上交0.05x2万美元的特别关税,假设所生产
的产品均可售出.
考点1 考点2 考点3 考点4
(1)写出该集团分别投资生产甲、乙两种产品的年利润y1,y2与生 产相应产品的件数x(x∈N*)之间的函数关系式;
当 x>40 时,W=xR(x)-(16x+40)=-40���0��� 00-16x+7 360.
-6������2 + 384������-40,0 < ������ ≤ 40,
所以,W=
-
40
000 ������
-16������
+
7
360,������
> 40.
所当此当天地 ff和((tt以时内满 ))最14==≤1的足 14-小≤S712t6(t+≤tt销t8值+)≤g2==54(2售.St201()(1(,0=量4t4--0≤∈-011312,13和)t≤������N∈tt≤������+≤++价t时1NS≤431(15格20t,时13)21S(,2≤t均(10∈,tS≤ 0)S=(为,-14(Nttt1)13-∈���≤)=1���时21���,2���+)后1N(+1=(间t)t-022-,11601试 2t51323(0,002单)t80求 ∈2(天+,)1(位24N该 2-的≤815):3,天0商 .价前���≤0��� ,)≤品格的������44≤的0为函0天1日,数������0∈的销0,且,N���价售���∈)日,格额N销为).S售(t)量的近最似大值
0.1x2+15x-300,所以当x=75时,wmax=-0.1×752+15×75-300=262.5(万元).
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B解析 答案知识梳理 点自测123453.在某个物理实验中,测量得变量x和变量y的几组数据,如下表,则 x,y最适合的函数是( )
x 0.50 y -0.99
0.99
2.01
3.98
������1(������),������∈������1, (7)分段函数模型:y= ������2(������),������∈������2,
������3(������),������∈������3.
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2.指数、对数、幂函数模型的性质比较
函数 y=ax
性质
(a>1)
y=logax (a>1)
年利润为(1 980-200a)万美元. y2=-0.05(x-100)2+460(1≤x≤120,x∈N*),
∴当x=100时,y2取得最大值460,即投资生产乙产品的最大年利润
为460万美元.
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(3)为研究生产哪种产品年利润最大,我们采用作差法比较: 由(2)知生产甲产品的最大年利润为(1 980-200a)万美元,生产乙 产品的最大年利润为460万美元, (1 980-200a)-460= 1 520-200a,且6≤a≤8, 当1 520-200a>0,即6≤a<7.6时,投资生产甲产品200件可获得最 大年利润; 当1 520-200a=0,即a=7.6时,生产甲产品200件或生产乙产品100 件均可获得最大年利润; 当1 520-200a<0,即7.6<a≤8时,投资生产乙产品100件可获得最 大年利润.
1.判断下列结论是否正确,正确的画“ ”,错误的画“×”.
(1)幂函数增长比一次函数增长更快.( )
(2)在(0,+∞)内,随着x的增大,y=ax(a>1)的增长速度会超过并远远
大于y=xα(α>0)的增长速度.( )
(3)指数型函数模型,一般用于解决变化较快,短时间内变化量较
大的实际问题.( )
(4)f(x)=x2,g(x)=2x,h(x)=log2x,当x∈(4,+∞)时,恒有h(x)<f(x)<g(x).(
即
3 ������
2
3������
+ ������ + ������
= =
1,解得 4.
������ ������
= =
2, -2.
∴y=2log4x-2,当 y=8 时,即 2log4x-2=8,x=1 024(万元).
1 024
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5.某市出租车收费标准如下:起步价为8元,起步里程为3 km(不超
(1)写出飞机票的价格关于人数的函数; (2)每团人数为多少时,旅行社可获得最大利润?
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解: (1)设每团人数为x,由题意得0<x≤75(x∈N*),飞机票价格为y元,
则
y=
900,0 < ������ ≤ 30, 900-10(������-30),30
<
������
40 000 ������2
,������
>
40.
(1)写出年利润W(单位:万元)关于年产量x(单位:万台)的函数解析 式;
(2)当年产量为多少万台时,该公司在该款手机的生产中所获得的 利润最大?并求出最大利润.
考点1 考点2 考点3 考点4
解: (1)当 0<x≤40 时,W=xR(x)-(16x+40)=-6x2+384x-40,
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对点训练2已知某手机公司生产某款手机的年固定成本为40万 元,每生产1万台还需另投入16万元.设该公司一年内共生产该款手 机x万台并全部销售完,每万台的销售收入为R(x)万元,且
400-6������,0 < ������ ≤ 40,
R(x)=
7
400 ������
-
)
(5)“指数爆炸”是指数型函数y=a·bx+c(a>0,b>1)增长速度越来
越快的形象比喻.( )
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(1)× (2)√ (3)√ (4)√ (5)√
答案
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2. (教材例题改编P123例1) 一个工厂生产一种产品的总成本y(单 位:万元)与产量x(单位:台)之间的函数关系是
≤
75,
即
y=
900,0 < ������ ≤ 30, 1 200-10������,30 < ������
≤
75.
(2)设旅行社获利 S 元,则 S=
900������-15 000,0 < ������ ≤ 30,
即
1 200������-10������2-15 000,30 < ������ ≤ 75,
4.某公司为了业务发展制定了一个激励销售人员的奖励方案,在
销售额x为8万元时,奖励1万元,在销售额x为64万元时,奖励4万元.若
公司拟定的奖励模型为y=alog4x+b.某业务员要得到8万元奖励,则
他的销售额应为
万元.
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依题意得
������log4 ������log4
8 + ������ = 1, 64 + ������ = 4,
900������-15 000,0 < ������ ≤ 30, S= -10(������-60)2 + 21 000,30 < ������ ≤ 75.
因为S=900x-15 000在区间(0,30]上为增函数,故当x=30时,S取最大 值12 000.又S=-10(x-60)2+21 000,x∈(30,75], 所以当x=60时,S取得最大值21 000. 故当x=60时,旅行社可获得最大利润.
0.01
0.98
2.00
A.y=2x
B.y=x2-1
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根据C.xy==02.x5-02,y=-0.D99.,y代=l入og计2x算,可以排除A;根据x=2.01,y=0.98,代入计算,
可以排除B,C;将各数据代入函数y=log2x,可知满足题意.故选D.
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D
解析 答案
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考点1 考点2 考点3 考点4
思考分段函数模型适合哪些问题? 解题心得1.在现实生活中,很多问题的两个变量之间的关系不能 用同一个关系式给出,而是由几个不同的关系式构成分段函数.如 出租车票价与路程之间的关系就是分段函数. 2.分段函数主要是每一段上自变量变化所遵循的规律不同,可以 先将其作为几个不同问题,将各段的规律找出来,再将其合在一起. 要注意各段变量的范围,特别是端点.
6
3
此时 8=S(100)≤S(t)≤S(41)=1 4291.
综上,当 t=12 时,S(t)取最大值2 5300;当 t=100 时,S(t)取最小值 8.
答案
考点1 考点2 考点3 考点4
思考生活中常见的哪些问题涉及的两个变量之间的关系是二次 函数关系?
解题心得在现实生活中,很多问题涉及的两个变量之间的关系是 二次函数关系,如面积问题、利润问题、产量问题等.构建二次函 数模型,利用二次函数的图象与单调性解决.
考点1
考点2
考点3 考点4
考点 2
分 段 函 数模型
例2(2017江苏如东一中月考)国庆期间,某旅行社组团去风景区旅 游,若每团人数在30或30以下,飞机票每张收费900元;若每团人数多 于30,则给予优惠:每多1人,机票每张减少10元,直到达到规定人数 75为止.每团乘飞机,旅行社需付给航空公司包机费15 000元.
y= 8 + 2.15(������-3) + 1,3 < ������ ≤ 8,
8 + 2.15 × 5 + 2.85(������-8) + 1,������ > 8,
由 y=22.6,解得 x=9.
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9
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考点 1 二次函数模型
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由题例意1(2知01S7(山t)=东g(枣t)f庄(t),八中高三月考)经市场调查,某商品在过去100
2.9 函数模型及其应用
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1.常见的函数模型 (1)一次函数模型:f(x)=kx+b(k,b为常数,k≠0); (2)二次函数模型:f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0); (3)反比例函数模型:f(x)=������������(k 为常数,k≠0); (4)指数型函数模型:f(x)=abx+c(a,b,c为常数,a≠0,b>0,b≠1); (5)对数型函数模型:f(x)=mlogax+n(m,n,a为常数,m≠0,a>0,a≠1); (6)幂型函数模型:f(x)=axn+b(a,b,n为常数,a≠0);
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对点训练1(2017河南洛阳月考)为了维持市场持续发展,壮大集团
力量,某集团在充分调查市场后决定从甲、乙两种产品中选择一种
进行投资生产,打入国际市场.已知投资生产这两种产品的有关数
据如下表(单位:万美元):
年固定 每件产品 每件产品 每年可最多
成本 的成本
的销售价 生产的件数
y=0.1x2+10x+300(0<x≤240,x∈N),若每台产品的售价为25万元,生
产的产品全部卖出,则该工厂获得最大利润(利润=销售收入-产品
成本)时的产量是( )
A.70台
B.75台 C.80台D.85台
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根据题意知销售收入是25x,所以利润是w=25x-(0.1x2+10x+300),即w=-
y=xn (n>0)
在(0,+∞) 单调递增 内的增减性
单调递增
单调递增
增长速度 越来越快
越来越慢
相对平稳
随 x 的增大
图象的变化 逐渐表现为 与 y轴 平行
随 x 的增大逐 渐表现为与
x轴 平行
随 n 值变化 而各有不同
值的比较 存在一个 x0,当 x>x0 时,有 logax<xn<ax
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过3 km按起步价付费);超过3 km但不超过8 km时,超过部分按每千
米2.15元收费;超过8 km时,超过部分按每千米2.85元收费,另每次乘
坐需付燃油附加费1元.现某人乘坐一次出租车付费22.6元,则此次
出租车行驶了
km.
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设出租车行驶了 x km 时,付费 y 元,则
9,0 < ������ ≤ 3,
(2)分别求出投资生产这两种产品的最大年利润; (3)如何决定投资可使年利润最大?
解: (1)y1=(10-a)x-20(1≤x≤200,x∈N*), y2=-0.05x2+10x-40(1≤x≤120,x∈N*).
(2)∵10-a>0,∴y1为增函数, ∴当x=200时,y1取得最大值1 980-200a,即投资生产甲产品的最大