2017中考数学压轴试题复习第二部分专题一由比例线段产生的函数关系问题

§2．1 由比例线段产生的函数关系问题课前导学（一）图形运动的过程中，求两条线段之间的函数关系，是中考数学的热点问题．产生两条线段间的函数关系，常见的情况有两种，一是勾股定理，二是比例关系．还有一种不常见的，就是线段全长等于部分线段之和．由勾股定理产生的函数关系，在两种类型的题目中比较常用．类型一，已知“边角边”，至少一边是动态的，求角的对边．如图1，已知点A的坐标为(3, 4)，点B是x轴正半轴上的一个动点，设OB＝x，AB＝y，那么我们在直角三角形ABH 中用勾股定理，就可以得到y关于x的函数关系式．类型二，图形的翻折．已知矩形OABC在坐标平面内如图2所示，AB＝5，点O沿直线EF翻折后，点O的对应点D落在AB边上，设AD＝x，OE＝y，那么在直角三角形AED中用勾股定理就可以得到y关于x的函数关系式．图1 图2由比例线段产生的函数关系问题，在两种类型的题目中比较常用．一是由平行线产生的对于线段成比例，二是相似三角形的对应边成比例．一般步骤是先说理产生比例关系，再代入数值或表示数的字母，最后整理、变形，根据要求写出定义域．关键是寻找比例关系，难点是有的整理、变形比较繁琐，容易出错．课前导学（二）图形运动的过程中，求面积随某个量变化的函数关系，是中考数学的热点问题．计算面积常见的有四种方法，一是规则图形的面积用面积公式；二是不规则图形的面积通过割补进行计算；三是同高（或同底）三角形的面积比等于对应边（或高）的比；四是相似三角形的面积比等于相似比的平方．前两种方法容易想到，但是灵活使用第三种和第四种方法，可以使得运算简单．一般情况下，在求出面积S关于自变量x的函数关系后，会提出在什么情况下（x为何值时），S取得最大值或最小值．关于面积的最值问题，有许多经典的结论．例1，周长一定的矩形，当正方形时，面积最大．例2，面积一定的矩形，当正方形时，周长最小．例3，周长一定的正多边形，当边数越大时，面积越大，极限值是圆．例4，如图1，锐角△ABC的内接矩形DEFG的面积为y，AD＝x，当点D是AB的中点时，面积y最大．例5，如图2，点P在直线AB上方的抛物线上一点，当点P位于AB的中点E的正上方时，△PAB的面积最大．例6，如图3，△ABC中，∠A和对边BC是确定的，当AB＝AC时，△ABC的面积最大．图1 图2 图3例 1 2014年湖南省常德市中考第26题如图1，图2，已知四边形ABCD 为正方形，在射线AC 上有一动点P ，作PE ⊥AD （或延长线）于E ，作PF ⊥DC （或延长线）于F ，作射线BP 交EF 于G ．（1）在图1中，正方形ABCD 的边长为2，四边形ABFE 的面积为y ，设AP ＝x ，求y 关于x 的函数表达式；（2）GB ⊥EF 对于图1，图2都是成立的，请任选一图形给出证明；（3）请根据图2证明：△FGC ∽△PFB ．图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“14常德26”，拖动点P 在射线AC 上运动，可以体验到，EM 和FN 把正方形ABCD 分割成了两个正方形和两个全等的矩形，B 、C 、G 、F 四点共圆． 思路点拨1．四边形ABFE 可以用大正方形减去两个直角三角形得到．2．画直线EP 、FP ，把正方形分割为两个正方形和两个全等的矩形．图文解析（1）如图3，延长EP 交BC 于M ，延长FP 交AB 于N ，那么四边形AEPN 和四边形CFPM 是正方形．由AP ＝x ，可得正方形AEPN x ．所以FC ＝DE ＝2x ．由于S △DEF ＝12DF DE ⋅＝1(2)222x x ⨯-，S △BCF ＝12BC FC ⋅＝12(2)22x ⨯⨯-， 所以y ＝S 四边形ABFE ＝S 正方形ABCD －S △DEF －S △BCF＝4－(2)42x x -－(2)2x -＝21+24x ．图3 图4（2）如图4，因为tan ∠EFP ＝PE PF ，tan ∠PBN ＝NP NB，且PE ＝NP ，PF ＝NB ，所以 ∠EFP ＝∠PBN ．又因为∠1＝∠2，∠1＋∠PBN ＝90°，所以∠2＋∠EFP ＝90°．所以GB ⊥EF ．（3）如图5，由于GB ⊥EF ，∠BCF ＝90°，所以B 、C 、G 、F 四点共圆．所以∠FCG ＝∠PBF ，∠CGB ＝∠CFB ．又因为∠CGF ＝∠CGB ＋90°，∠BFP ＝∠CFB ＋90°，所以∠CGF ＝∠BFP ．所以△FGC ∽△PFB ．图5 图6 图7考点伸展如图6， 由于tan ∠EFP ＝tan ∠PBN ， 所以∠EFP ＝∠PBN ．又因为∠PBN ＋∠1＝90°，所以∠EFP ＋∠1＝90°．因此这种情况下，依然有BG ⊥EF ．第（1）题还有更简便的割补办法：如图7，连结EN ．由于S 四边形NBFE ＝S △ENF ＋S △BNF ＝11()222NF EP MP NF EM +=⋅=， S △AEN ＝221144AP x =，所以y ＝S 四边形ABFE ＝S 四边形NBFE ＋S △AEN ＝21+24x ．例 2 2014年湖南省湘潭市中考第25题如图1，△ABC 为等边三角形，边长为a ，点F 在BC 边上，DF ⊥AB ，EF ⊥AC ，垂足分别为D 、E ．（1）求证：△BDF ∽△CEF ；（2）若a ＝4，设BF ＝m ，四边形ADFE 面积为S ，求出S 与m 之间的函数关系，并探究当m 为何值时S 取得最大值；（3）已知A 、D 、F 、E 四点共圆，已知tan ∠EDF 求此圆的直径（用含a 的式子表示）．图1动感体验请打开几何画板文件名“14湘潭25”，拖动点F 在BC 上运动，观察S 随m 变化的图像，可以体验到，当F 运动到BC 的中点时，S 取得最大值．还可以看到，圆的直径就是直角三角形AEF 的斜边．思路点拨1．用割补法求四边形ADFE 的面积比较简单．2．当A 、D 、F 、E 四点共圆时，由于∠EDF ＝∠EAF ，那么在△ACF 中，两角及夹边就是确定的，可以解这个三角形．图文解析（1）如图1，因为∠B ＝∠C ＝60°，∠BDF ＝∠CEF ＝90°，所以△BDF ∽△CEF ．（2）如图2，当等边三角形ABC 的边长a ＝4时，S △ABC ＝在Rt △BDF 中，∠B ＝60°，BF ＝m ，所以12BD m =，2FD =．所以S △BDF ＝12BD FD ⋅2．在Rt △CEF 中，∠C ＝60°，CF ＝4－m ，所以1(4)2CE m =-，)FE m =-．所以S △CEF ＝12CE FE ⋅2)m -． 因此S ＝S 四边形ADFE ＝S △ABC －S △BDF －S △CEF＝22)88m --＝24m -++2(2)4m --+所以当m ＝2时，S 取得最大值，最大值为F 是BC 的中点（如图3）．（3）如图4，由于A 、D 、F 、E 四点共圆，所以∠EAF ＝∠EDF ．因为∠AEF ＝90°，所以AF 是圆的直径．在Rt △EAF 中，由于tan ∠EAF ＝EF EA EF ，EA ＝2x ．在Rt △ECF 中，∠C ＝60°，所以EF EC=EC ＝x ． 由AC ＝EA ＋EC ＝a ，得2x ＋x ＝a ．所以x ＝13a ．所以在Rt △EAF 中，EF ，EA ＝23a ，由勾股定理，得圆的直径AF ．图2 图3 图4考点伸展第（2）题也可以求△ADF 与△AEF 的面积和．由于12BD m =，FD =，所以AD ＝142m -，S △ADF (8)m -．由于1(4)2CE m =-，)FE m =-，所以AE ＝122m +，S △AEF 2)m -．因此S ＝S △ADF ＋S △AEF 2(8))m m --＝2++例 3 2014年湖南省郴州市中考第25题如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝60°，BC＝16cm，AD是斜边BC上的高，垂足为D，BE＝1cm，点M从点B出发沿BC方向以1cm/s的速度运动，点N从点E出发，与点M同时同方向以相同的速度运动．以MN为边在BC的上方作正方形MNGH．点M到达点D 时停止运动，点N到达点C时停止运动．设运动时间为t（s）．（1）当t为何值时，点G刚好落在线段AD上？（2）设正方形MNGH与Rt△ABC重叠部分的图形的面积为S．当重叠部分的图形是正方形时，求出S关于t的函数关系式并写出自变量t的取值范围；（3）设正方形MNGH的边NG所在直线与线段AC交于点P，连结DP，当t为何值时，△CPD是等腰三角形？图1动感体验请打开几何画板文件名“14郴州25”，拖动点N在BC上运动，可以体验到，重叠部分是正方形存在两种情况，等腰三角形CPD也存在两种情况．思路点拨1．用含t的式子把直线BC上的线段长都表示出来．2．重叠部分的图形是正方形，临界时刻是点H落在AB上，和点G落在AC上．3．等腰三角形CPD不存在DP＝DC的情况，因为以DC为半径的圆D与线段AC只有一个交点．图文解析（1）如图2，当点G刚好落在线段AD上时，DN＝0．而DN＝BD－BM－MN＝4－t－1＝3－t，所以3－t＝0．解得t＝3．图2 图3（2）重叠部分的图形是正方形，存在两种情况：①当HM在AD的左侧时，正方形MNGH的大小不变，边长为1，S＝1．如图3，当H 落在AB 上时，BM ＝HM tan30t ＜4． ②如图4，当HM 在AD 上时，正方形的边长为t －3，S ＝(t －3)2．如图5，当G 落在AC 上时，AH ＝HG tan303)t -．由AD ＝3)(3)t t -+-=3t =．所以4≤t ≤3．图4 图5（3）等腰三角形CPD 存在两种情况：①如图6，当PC ＝PD 时，点P 在DC 的垂直平分线上，N 是DC 的中点．此时t ＝3＋6＝9．②如图7，当CP ＝CD ＝12时，在Rt △CPN 中，由cos30°＝CN CP =，得CN =此时t ＝15-图6 图7考点伸展当点G 落在AC 上时，CG ∶AG 的比值是多少呢？如图5，cot 30CG CN CN AG DN GN===︒=例 4 2015年湖南省常德市中考第25题如图1，曲线y 1是抛物线的一部分，与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且表达式为2123)y x x =--（x ≤3），曲线y 2与曲线y 1关于直线x ＝3对称． （1）求A 、B 、C 三点的坐标和曲线y 2的表达式；（2）过点C 作CD //x 轴交曲线y 1于点D ，连结AD ，在曲线y 2上有一点M ，使得四边形ACDM 为筝形（如果一个四边形的一条对角线被另一条对角线垂直平分，这样的四边形为筝形），请求出点M 的横坐标；（3）设直线CM 与x 轴交于点N ，试问在线段MN 下方的曲线y 2上是否存在一点P ，使△PMN 的面积最大？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．图1动感体验请打开几何画板文件名“15常德25”，拖动点P 运动，可以体验到，由于M 、N 两点间的水平距离是定值，因此当PE 最大时，△PMN 的面积最大．思路点拨1．由A 、C 、D 的坐标可以得到△ACD 是底角为30°的等腰三角形，于是可知直线MN （直线CN ）与y 轴的夹角为30°．2．过点P 作x 轴的垂线交MN 于E ，那么△PMN 分割为有公共底边PE 的两个三角形，这两个三角形的高的和为定值．图文解析（1）由2123)1)(3)y x x x x =--=+-，得A (－1, 0)、B (3, 0)、C (0, ． 因为A (－1, 0)、B (3, 0) 关于直线x ＝3的对称点为A ′(7, 0)、B (3, 0)，所以抛物线y 2的表达式为227)(3)1021)y x x x x --=-+（x ＞3）．（2）由CD //x 轴，可知C 、D 关于抛物线y 1的对称轴x ＝1对称，所以D (2,．如图2，由A (－1, 0)、C (0,、D (2,，可得AC ＝DC ＝2．因此点C 在AD 的垂直平分线上．如果四边形ACDM 的对角线互相垂直平分，那么四边形ACDM 是菱形，此时点M 在x 轴上，不在抛物线y 2上．因此只存在MC 垂直平分AD 的情况．图2 图3如图2，如图3，过点A 、M 分别作x 轴的垂线，与直线CD 分别交于点G 、H ，那么 ∠ADG ＝∠CMH ．由于tan ∠ADG ＝AG DG ADC ＝30°．因此MH =．设M 2(x x x ，那么2(x -=．整理，得x 2－13x ＋24＝0．解得x =．所以点M 的横坐标为x =． （3）如图2，如图3，由于∠ADC ＝30°，当CM ⊥AD 时，∠OCN ＝30°．所以ON ＝1，N (1, 0)．所以直线CN 为y =如图4，过点P 作x 轴的垂线，垂足为K ，PK 交MN 于E ，过点M 作y 轴的垂线交PK 于F ． 所以S △PMN ＝S △PME ＋S △PNE ＝1()2PE MF NK +． 因为MF ＋NK 为定值，因此当PE 最大时，△PMN 的面积最大．设P 2(m ，E (m ，那么PE ＝2-＝2-＝2133212m ⎫-+⎪⎝⎭．所以当132m =时，PE 取得最大值，△PMN 面积最大．此时P 13(,2．图4 图5考点伸展第（3）题也可以这样思考：如图5，由于MN 是定值，因此点P 到MN 的距离最大时，△PMN 的面积也最大． 过点P 作MN 的平行线，当这条直线与抛物线y 2只有一个交点时，两条平行线间的距离最大，也就是说方程组21021)y b y x x ⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩，只有一组解，即∆＝0．解得132x =．。