九上期中数学试卷45

九上期中数学试卷45
一、选择题（共10小题；共50分）
1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A. 正三角形
B. 正方形
C. 等腰三角形
D. 平行四边形
2. 抛物线的对称轴是
A. 直线
B. 直线
C. 直线
D. 直线
3. 用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是
A. B. C. D.
4. 一元二次方程的根的情况是
A. 有两个相等的实数根
B. 没有实数根
C. 有两个不相等的实数根
D. 无法判断
5. 如图，该图按下列角度绕中心旋转后，能与原图重合的是
A. B. C. D.
6. ，是关于的一元二次方程的两根，则
A.
7. 在二次函数的图象上，若随的增大而增大，则的取值范围是
A. B. C. D.
8. 已知点，均在二次函数的图象上，则，，
的大小关系是
A. B. C. D.
9. 如图，某小区有一块长为米，宽为米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，
它们的面积之和为，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．若设人行道的宽度为米，则可以列出关于的方程是
A. B. C. D.
10. 已知线段是由线段平移得到的，点的对应点为，则点
的对应点的坐标为
A. B. C.
二、填空题（共6小题；共30分）
11. 已知方程是关于的一元二次方程，那么的取值范围
是．
12. 抛物线可以看作是由抛物线向平移个单位长度
得到的．
13. 如图，将绕点按逆时针方向旋转后得到，若，则
的度数是．
14. 某一型号飞机着陆后滑行的距离（单位：）与滑行时间（单位：）之间的函数关系式
是才能停下来．
15. 已知二次函数的自变量与函数的部分对应值列表如下：
则关于的方程的解是．
16. 如图，在中，已知，，将绕点按逆时针方向旋转一
定的角度后得到，若恰好经过点，设与相交于点，则的度数为．
三、解答题（共9小题；共117分）
17. 解下列方程：
（1）；
（2）．
18. 如图，四边形旋转后能与正方形重合，那么图形所在的平面上可以作为旋转中
心的点共有几个?请一一指出．
19. 如图，已知二次函数图象的顶点坐标为，矩形的顶点，
在轴上（点在点的左边），顶点，在图象上且位于轴上方．
（1）求这个函数的解析式；
（2）设点的坐标为，求矩形的周长关于自变量的函数解析式；
（3）矩形的周长是否可能等于?
20. 已知关于的一元二次方程．
（1）若该方程有两个实数根，求的最小整数值．
（2）若方程的两个实数根为，，且，求的值．
21. 如图，在直角三角形中，四边形是正方形，如图①，把绕点逆时针
旋转得到图②．若，，求与的面积和．
22. 问题情境
有一堵长为的墙，利用这堵墙和长为的篱笆围成一个矩形养鸡场，怎样围面积最大?
最大面积是多少?
题意理解
根据题意，有两种设计方案：一边靠墙（如图①）和一边“包含”墙（如图②）．
（1）特例分析
（）当时，若按图①的方案设计，则该方案中养鸡场的最大面积是；
若按图②的方案设计，则该方案中养鸡场的最大面积是．
（）当时，解决“问题情境”中的问题．
（2）解决问题
直接写出“问题情境”中的问题的答案．
23. （1）如图1，在正方形的边上任取一点，作，交于点，取
的中点，连接，．判断线段和有怎样的数量关系和位置关系?并加以证明；
（2）若将图 1 中的绕点顺时针旋转度，如图 2，判断线段和有怎样的数量关系和位置关系?不写证明，直接写出结论；
（3）若将图1 中的绕点顺时针旋转度，如图3，判断线段和有怎样的数量关系和位置关系?并加以证明；
24. 已知一抛物线的顶点是，且抛物线通过点，求抛物线的解析式．
25. 已知抛物线的对称轴是直线，与轴相交于，两点（点在
点右侧），与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式和，两点的坐标；
（2）如图，若点是抛物线上，两点之间的一个动点（不与，重合），是否存在点，使四边形的面积最大?若存在，求点的坐标及四边形面积的最大值；
若不存在，请说明理由；
（3）如图，若点是抛物线上任意一点，过点作轴的平行线，交直线于点，当时，求点的坐标．
答案
第一部分
1. B
2. C 【解析】，
对称轴是直线．
3. D
4. A
5. C
6. D
7. A
8. C 【解析】，
，
，
所以．
9. C
10. A
第二部分
11.
【解析】根据题意得：，解得：．
故答案为．
12. 左，
13.
【解析】因为将绕点按逆时针方向旋转后得到，所以，，
所以．
14.
15. ，
【解析】根据表格发现：抛物线经过点和点，
抛物线的对称轴为，
设抛物线与轴的另一交点为，
抛物线经过点，
，
解得：，
抛物线与轴的另一交点为，
关于的方程的解是，．
16.
第三部分
17. （1）因式分解，得
于是得，或．
（2）整理，得
由此可得
18. 共有个，点，点，的中点．
19. （1）．
（2）．
（3）这个矩形的周长不可能等于．
这是因为：设，得方程，
由，可知这个方程无解．
20. （1）方程有两个实数根，
，即，，
的最小整数值为
（2），
，
，
，
，
（舍去），，
的值为．
21. 由旋转得：，
，
．
22. （1）（）；；
（）如图①，
设，则．
所以．
根据题意，得．
因为，
所以当时，随的增大而减小．
即当时，有最大值，最大值是．
如图②，
设，则．
所以．
根据题意，得．
因为，
所以当时，有最大值，最大值是．
综上，当时，该养鸡场围成一个边长为的正方形时面积最大，最大面积是．
【解析】（）如图①，设：，则，
则，即：，
．
因为，则时，取得最大值为，
同理，图②的方案设计，取得最大值为，
故：答案为，．
（2）当时，围成边长为的正方形面积最大，最大面积是
．
当时，围成两邻边长分别为的养鸡场面积最大，最大面积为．
当时，当矩形的长为，宽为时，养鸡场最大面积为．
备注：当时，两个方案的面积相同．
【解析】①，
且，即，
（Ⅰ）当时，即，
当时，；
（Ⅱ）当时，即，
时，；
②，
且，即，
（Ⅰ）当时，即，
当时，，
当时，；
（Ⅱ）当时，即，
当时，；
综上，当时，围成边长为的正方形面积最大，最大面积是
．
当时，围成两邻边长分别为的养鸡场面积最大，最大面积为．
当时，当矩形的长为，宽为时，养鸡场最大面积为．
备注：当时，两个方案的面积相同．
23. （1），，理由如下：
延长交于点，并连接．
在正方形中，，即．
易知三角形，为等腰直角三角形，
四边形为矩形．
点为的中点
．
在等腰直角三角形中，点为的中点，，，
，
在等腰直角三角形和矩形中，，
.
，．
又，即，
，即．
（2），．
【解析】过作垂足为交于，连接，， .
绕点顺时针旋转度，
、，共线．
，
.
为中点，
.
，，
.
平分 .
与的交点为 .
，为中点，
， .
.
.
.
， .
，
.
（3），．理由如下：
延长交的延长线于点，并连接．
第11页（共13 页）
在正方形
中，，即 ．
易知三角形 ， 为等腰直角三角形，
四边形 为矩形． 点 为 的中点，
．
在等腰直角三角形 中，点 为 的中点，
，
． 在等腰直角三角形 和矩形
中，
，
， ，．
又 ，即
，
，即 ．
24.
25. （1） 抛物线的对称轴是直线 ，
，解得
，
抛物线的解析式为 ．
当
时，
，解得
，，
点 的坐标为 ，点 的坐标为
．
答：抛物线的解析式为 ；点 的坐标为
，点 的坐标为
．
（2） 当 时，
，
点 的坐标为 ．
设直线 的解析式为 ， 将
，
代入
得
解得
直线 的解析式为 ．
假设存在点 ，使四边形
的面积最大，
第12页（共13 页）
设点 的坐标为 ，
如图所示，过点 作
轴，交直线
于点 ，
则点 的坐标为
，
则
，
当 时，四边形 的面积最大，最大值是
．
，
存在点 ，使得四边形
的面积最大．
答：存在点 ，使四边形 的面积最大；点 的坐标为 ，四边形 面积的最大值为
．
（3） 设点 的坐标为 ，则点 的坐标为
，
，
又
，
，
当
时，，解得
，，
点 的坐标为 或 ；
当 或 时，
，解得
，，
点
的坐标为
或
．
第13页（共13 页）
答：点 的坐标为 ，， 或
．。