高三复习讲座四三角函数

高三复习讲座四 ----三角函数
二、复习要求
1、三角函数的概念及象限角、弧度制等概念；
2、三角公式，包括诱导公式，同角三角函数关系式和差倍半公式等；
3、三角函数的图象及性质。

三、学习指导
1、角的概念的推广。

从运动的角度，在旋转方向及旋转圈数上引进负角及大于3600
的角。

这样一来，在直角坐标系中，当角的终边确定时，其大小不一定（通常把角的始边放在x 轴正半轴上，角的顶点与原点重合，下同）。

为了把握这些角之间的联系，引进终边相同的角的概念，凡是与终边α相同的角，都可以表示成k ·3600
+α的形式，特例，终边在x 轴上的角集合{α|α=k ·1800
，k ∈Z}，终边在y 轴上的角集合{α|α=k ·1800
+900
，k ∈Z}，终边在坐标轴上的角的集合{α|α=k ·900
，k ∈Z}。

在已知三角函数值的大小求角的大小时，通常先确定角的终边位置，然后再确定大小。

弧度制是角的度量的重要表示法，能正确地进行弧度与角度的换算，熟记特殊角的弧度制。

在弧度制下，扇形弧长公式λ=|α|R ，扇形面积公式||R 2
1
R 21S 2α==
λ，其中α为弧所对圆心角的弧度数。

2、利用直角坐标系，可以把直角三角形中的三角函数推广到任意角的三角数。

三角函数定义是本章重点，从它可以推出一些三角公式。

重视用数学定义解题。

设P(x ，y)是角α终边上任一点（与原点不重合），记22y x |OP |r +==，则r y sin =
α，r
x
cos =α，x
y
tan =
α，y x cot =α。

利用三角函数定义，可以得到（1）诱导公式：即
α+πt 2
k
与α之间函数值关系（k ∈Z ）
，其规律是“奇变偶不变，符号看象限”；（2）同角三角函数关系式：平方关系，倒数关系，商数关系。

3、三角变换公式包括和、差、倍、半公式，诱导公式是和差公式的特例，对公式要熟练地正用、逆用、变用。

如倍角公式：cos2α=2cos 2
α-1=1-2sin 2
α，变形后得2
2cos 1sin ,22cos 1cos 22α
-=
αα-=
α，可以作为降幂公式使用。

三角变换公式除用来化简三角函数式外，还为研究三角函数图象及性质做准备。

4、三角函数的性质除了一般函数通性外，还出现了前面几种函数所没有的周期性。

周期性的定义：设T 为非零常数，若对f(x)定义域中的每一个x ，均有f(x+T)=f(x)，则称T 为f(x)的周期。

当T 为f(x)周期时，kT （k ∈Z ，k ≠0）也为f(x)周期。

三角函数图象是性质的重要组成部分。

利用单位圆中的三角函数线作函数图象称为几何作图法，熟练掌握平移、伸缩、振幅等变换法则。

5、本章思想方法
（1）等价变换。

熟练运用公式对问题进行转化，化归为熟悉的基本问题； （2）数形结合。

充分利用单位圆中的三角函数线及三角函数图象帮助解题；
（3）分类讨论。

四、典型例题
例1、 已知函数f(x)=)x cos x (sin log 2
1-
（1）求它的定义域和值域； （2）求它的单调区间； （3）判断它的奇偶性； （4）判断它的周期性。

分析：
（1）x 必须满足sinx-cosx>0，利用单位圆中的三角函数线及π+π<<π+
π4
5
k 2x 4k 2，k ∈Z ∴ 函数定义域为)4
5
k 2,4k 2(π+ππ+
π，k ∈Z ∵ )4x sin(2x cos x sin π
-=-
∴ 当x ∈)45k 2,4k 2(π+ππ+
π时，1)4
x sin(0≤π
-< ∴ 2cos x sin 0≤-< ∴ 2
1
2log y 2
1
-
=≥ ∴ 函数值域为[+∞-
,2
1
） （3）∵ f(x)定义域在数轴上对应的点关于原点不对称
∴ f(x)不具备奇偶性 （4）∵ f(x+2π)=f(x)
∴ 函数f(x)最小正周期为2π
注；利用单位圆中的三角函数线可知，以Ⅰ、Ⅱ象限角平分线为标准，可区分sinx-cosx 的符号； 以Ⅱ、Ⅲ象限角平分线为标准，可区分sinx+cosx 的符号，如图。

例2、 化简)cos 1(2sin 12α++α+，α∈（π，2π） 分析：凑根号下为完全平方式，化无理式为有理式 ∵ 222
)2
cos 2(sin 2cos 2sin 22cos 2sin sin 1α
+α=αα+α+α=α+ 2
cos 4)12cos 21(2)cos 1(222α
=-α+=α+ ∴ 原式=|2
cos |2|2cos 2sin
|2α
+α+α ∵ α∈（π，2π） ∴
),2(2ππ∈α ∴ 02
cos <α
当
π≤α<ππ≤α<π23,4922时，02
cos 2sin >α
+α ∴ 原式=2
sin 2α
当
π<α<ππ<α<π223,243时，02
cos 2sin <α
+α ∴ 原式=)2arctan 2
sin(522cos 42sin
2+α
-=α-α- ∴ 原式=⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧π
<α<π+α-π≤α<πα223)2arctan 2sin(522
32sin 2
注：
1、本题利用了“1”的逆代技巧，即化1为2
cos 2sin 2
2
α
+α，是欲擒故纵原则。

一般地有|cos sin |2sin 1α±α=α+，|cos |22cos 1α=α+，|sin |22cos 1α=α-。

2、三角函数式asinx+bcosx 是基本三角函数式之一，引进辅助角，将它化为)x sin(b a 22φ++（取
a b
arctan =φ）是常用变形手段。

特别是与特殊角有关的sin ±cosx ，±sinx ±3cosx ，要熟练掌握变形结
论。

例3、 求0
20
210sin 21)140
cos 1140sin 3(⋅-。

分析： 原式=
202020210sin 21140cos 140sin 140sin 140cos 3⋅
-
16160
sin 200sin 1680cos 80sin 200sin 810sin 2180
sin 4
1200sin 80sin 410sin 21)40cos 40sin ()
140sin 140cos 3)(140sin 140cos 3(0
000002000
2
000000=-=-=⋅⋅-=⋅
-+-=
注：在化简三角函数式过程中，除利用三角变换公式，还需用到代数变形公式，如本题平方差公式。

例4、已知00
<α<β<900
，且sin α，sin β是方程-
+-020240cos x )40cos 2(x 2
1
=0的两个实数根，求sin(β-5α)的值。

分析：
由韦达定理得sin α+sin β=2cos400
，sin αsin β=cos 2
400
-2
1 ∴ sin β-sin α=)40cos 1(2sin sin 4)sin (sin )sin (sin 0222-=βα-β+α=α-β
040sin 2=
又sin α+sin β=2cos400
∴ ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=-=α=+=β0
000
005sin )40sin 240cos 2(21sin 85sin )40sin 240cos 2(21sin
∵ 00<α<β< 900
∴ ⎪⎩⎪⎨⎧=α=β0
05
85
∴ sin(β-5α)=sin600
=
2
3
注：利用韦达定理变形寻找与sin α，sin β相关的方程组，在求出sin α，sin β后再利用单调性求α，β的值。

例5、（1）已知cos(2α+β)+5cos β=0，求tan(α+β)·tan α的值； （2）已知
5cos 3sin cos sin 2-=θ
-θθ
+θ，求θ+θ2sin 42cos 3的值。

分析：
（1）从变换角的差异着手。

∵ 2α+β=(α+β)+α，β=(α+β)-α ∴ 8cos[(α+β)+α]+5cos[(α+β)-α]=0 展开得：13cos(α+β)cos α-3sin(α+β)sin α=0 同除以cos(α+β)cos α得：tan(α+β)tan α=3
13 （2）以三角函数结构特点出发 ∵ 3tan 1
tan 2cos 3sin cos sin 2-θ+θ=
θ-θθ+θ ∴
53
tan 1
tan 2-=-θ+θ
∴ tan θ=2
∴ 5
7tan 1tan 8tan 33cos sin cos sin 8)sin (cos 32sin 42cos 3222222=θ
+θ
+θ-=
θ
+θθ
θ+θ-θ=
θ+θ 注；齐次式是三角函数式中的基本式，其处理方法是化切或降幂。

例6、已知函数2x sin 2
x sin 2
4a )x (f -=
（a ∈(0，1)），求f(x)的最值，并讨论周期性，奇偶性，单调性。

分析：对三角函数式降幂
8
1x 2cos 2x 2cos 141x sin 41)x sin 21(2
x
cos 2x sin )2x sin 1(2x sin 2x sin 2x sin 22222224
-=
-⋅-=-=-=-=--=-
∴ f(x)=8
1x 2cos a -
令 81x 2cos 81u -= 则 y=a u
∴ 0<a<1 ∴ y=a u
是减函数
∴ 由]k 2,k 2[x 2ππ-π∈得]k ,2
k [x ππ
-
π∈，此为f(x)的减区间 由]k 2,k 2[x 2π+ππ∈得]2k ,k [x π
+ππ∈，此为f(x)增区间
∵ u(-x)=u(x) ∴ f(x)=f(-x) ∴ f(x)为偶函数 ∵ u(x+π)=f(x) ∴ f(x+π)=f(x)
∴ f(x)为周期函数，最小正周期为π 当x=k π（k ∈Z ）时，y min =1
当x=k π+2
π
（k ∈Z ）时，y nax =41
a
注：研究三角函数性质，一般降幂化为y=Asin(ωx+φ)等一名一次一项的形式。

同步练习
（一） 选择题
1、下列函数中，既是（0，
2
π
）上的增函数，又是以π为周期的偶函数是 A 、y=lgx 2
B 、y=|sinx|
C 、y=cosx
D 、y=x 2sin 2 2、如果函数y=sin2x+acos2x 图象关于直线x=-
8
π
对称，则a 值为 A 、 -2 B 、-1 C 、1 D 、2 3、函数y=Asin(ωx+φ)（A>0，φ>0），在一个周期内，当x=8π时，y max =2；当x=π8
5
时，y min =-2，则此函数解析式为
A 、)42x sin(2y π+=
B 、)4x 2sin(2y π
+=
C 、)4x sin(2y π+=
D 、)8
x 2sin(2y π
+-=
4、已知
α
-+αtan 11
tan =1998，则α+α2tan 2sec 的值为
A 、1997
B 、1998
C 、1999
D 、2000
5、已知tan α，tan β是方程04x 33x 2=++两根，且α，β)2,2(π
π-∈，则α+β等于
A 、π-
32 B 、π-32或3π C 、3π-或π32 D 、3
π 6、若3
y x π
=
+，则sinx ·siny 的最小值为 A 、-1 B 、-
21 C 、43- D 、4
1 7、函数f(x)=3sin(x+100
)+5sin(x+700
)的最大值是
A 、5.5
B 、6.5
C 、7
D 、8
8、若θ∈（0，2π]，则使sin θ<cos θ<cot θ<tan θ成立的θ取值范围是 A 、（
2,4ππ） B 、
（ππ,43） C 、（ππ23,45） D 、（ππ2,4
7） 9、下列命题正确的是
A 、若α，β是第一象限角，α>β，则sin α>sin β
B 、函数y=sinx ·cotx 的单调区间是)2
k 2,2k 2(π
+ππ-π，k ∈Z C 、函数x
2sin x
2cos 1y -=
的最小正周期是2π
D 、函数y=sinxcos2φ-cosxsin2x 的图象关于y 轴对称，则4
2k π
+π=φ，k ∈Z 10、函数)x 2cos x 2(sin log )x (f 3
1+=的单调减区间是
A 、 )8k ,4k (π+ππ-
π B 、]8k ,8k (π+ππ-π C )83k ,8k (π+ππ+π D 、)8
5
k ,8k (π+ππ+π k ∈Z （二） 填空题
11、函数f(x)=sin(x+θ)+3cos(x-θ)的图象关于y 轴对称，则θ=________。

12、已知α+β=
3
π
，且3(tan αtan β+c)+tan α=0（c 为常数），那么tan β=______。

13、函数y=2sinxcosx-3(cos 2
x-sin 2
x)的最大值与最小值的积为________。

14、已知(x-1)2
+(y-1)2
=1，则x+y 的最大值为________。

15、函数f(x)=sin3x 图象的对称中心是________。

（三） 解答题 16、已知tan(α-β)=21，tan β=7
1
-，α，β∈（-π，0），求2α-β的值。

17、是否存在实数a ，使得函数y=sin 2
x+acosx+23a 85-在闭区间[0，2
π]上的最大值是1？若存在，求
出对应的a 值。

18、已知f(x)=5sinxcosx-35cos 2
x+32
5
（x ∈R ） （1）求f(x)的最小正周期； （2）求f(x)单调区间；
（3）求f(x)图象的对称轴，对称中心。

参考答案
（一）选择题
1、B
2、B
3、B
4、B
5、A
6、C
7、C
8、C
9、D 10、B （二）填空题 11、6k π-
π，k ∈Z 12、)1c (3+ 13、-4 14、22+ 15、（π3
k ，0） （三）解答题 16、π-
47 17、2
3a =
18、（1）T=π （2）增区间[k π-12π，k π+125π]，减区间[k π+]12
11
k ,125π+ππ （3）对称中心（
62k π+π，0）
，对称轴π+π=12
5
2k x ，k ∈Z。