人教A版高中必修二试题浠水一中年高一年级五月诊断性考试.doc

高中数学学习材料
马鸣风萧萧*整理制作
浠水一中2012年高一年级五月诊断性考试
数学试卷（理科）
命题人:商记学 审题人：方宇
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．在ABC ∆中，已知
60,6,4=∠==B b a ，则A sin 的值为
A ．33
B ．32
C ．63
D ．62
2.已知}{n a 是等差数列，且4811852=+++a a a a ，则=+76a a A ．12 B ．16 C ．20 D ．24
3.已知等比数列}{n a 的公比3
1-=q ，则
8
6427
531a a a a a a a a ++++++等于
A.13-
B.3-
C.1
3 D.3 4.设,αβ是两个不同的平面，l 是一条直线，以下命题正确的是 A ．若,l ααβ⊥⊥，则l β⊂ B ．若//,//l ααβ，则l β⊂ C ．若,//l ααβ⊥，则l β⊥ D ．若//,l ααβ⊥，则l β⊥
5.已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若
3256=a a ，则=9
11S S A ．
32 B ．2722 C ．278 D ．9
11
6.给定下列四个命题：
①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；
②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行；
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．
其中，为真命题的是
A. ①和②
B. ②和③
C. ③和④
D. ②和④ 7．在ABC ∆中，
120,30,6=∠=∠=C B a ，则ABC ∆的面积是 A ．9 B ．18 C ．39 D ．318
8.在一个几何体的三视图中，正视图与俯视图如右图所示，则相应的侧视图可
以为
9.等差数列}{n a 的前m 项和为30，前m 2项和为100，则它的前m 3项和是
正视图 俯视图
A B C D
A.130
B.170
C.210
D.260
10.设2
1212
1,1,1000,x x x x >>=则12
13
lg lg x x +的最小值为 A ．
7263+ B ．4 C ．463 D ． 726
3
- 二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中横线上． 11.在等比数列}{n a 中，已知1a 和10a 是方程06232
=-+x x
的两根，则=⋅74a a
12.在ABC ∆中，4,13,3===AC BC AB ，则边AC 上的高为 13.两点)3,2(),4,1(-B A 分别在直线0=--a y x 的两侧，则a 的取值范围是 14.球内接正方体的表面积为54平方单位，则球的体积为 立方单位 15.ABC Rt ∆的斜边AB 在平面α内，AC 和BC 分别与平面α成
30和
45角，
CD 是斜边AB 上的高，则CD 与平面α所成的角为
三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16.（本题满分12分）
圆柱内有一个三棱柱，三棱柱的底面在圆柱的底面内，并且底面是正三角形，底面直径与母线长相等，如果圆柱的体积为V. （Ⅰ）求三棱柱的体积; （Ⅱ）求三棱柱的表面积. 17．（本题满分12分）
在ABC ∆中，内角,,A B C 对边分别是,,a b c ，若4
cos , 2.5
B b ==
（Ⅰ）当5
,3
a =求角A 的度数;
（Ⅱ）求ABC ∆面积的最大值。

18．（本题满分12分）
如图，在三棱柱111C B A ABC -中，H 是正方形B B AA 11的中心，
221=AA ，⊥H C 1平面B B AA 11。

（Ⅰ）若51=
H C ，求异面直线AC 与11B A 所成角的余弦值；
（Ⅱ）若二面角111A BB C --为
60，求H C 1的长。

19．（本题满分12分）
在四棱锥ABCD P -中，⊥PA 平面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，
AD ∥BC ，2,2==AD PA ，1==BC AB ，BC AB ⊥
（Ⅰ）若M 是PD 的中点，求证MC ∥平面PAB ; （Ⅱ）求PC 与平面PAD 所成角的大小.
20．（本题满分13分）如下图，互相垂直的两条公路AP 、AQ 旁有一矩形花园ABCD ，
现欲将其扩建成一个更大的三角形花园AMN ，要求点M 在射线AP 上，点N 在射线AQ 上，且直线MN 过点C ，其中36AB =米，20=AD 米. 记三角形花园AMN 的面积为S .
（Ⅰ）问DN 取何值时，S 取得最小值，并求出最小值； （Ⅱ）若S 不超过1764平方米，求DN 长的取值范围.
A B
C
A 1
B 1
C 1
H Q N
C
D
P
A B
C
D
21.（本题满分14分）
设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1
212--
=n n S ，数列}{n b 为等差数列，且
112211)(,a b b a b a =-=．
（Ⅰ）求数列{}n a 和}{n b 的通项公式； （Ⅱ）设n
n
n a b c =
，求数列}{n c 的前n 项和n T ; （Ⅲ）若对任意正整数n ，不等式92-≥n
n t T 均成立，求t 的最大值。

参 考 答 案
ADBCB DCCCA
11.－2 12.233 13.（－3,5） 14.π2327 15.3
π
16（1）设底面半径为R ，棱柱的底面边长为a,则π
π2,23
3
V
R R V =
=，,3sin 2R A R a ==V 柱＝
=R a 24
32π433V
6分 （2）3
2
22)2(2315231523432π
V R R a a S ==⨯+⨯= 6分
17解：（！）43cos ,sin ,55sin sin a b
B B A B
=∴==
5
2153sin ,2,(0,),30.3sin 232
5A A A A π
∴=∴=<∴∈∴=︒。

6分 （2）13
sin ,210
S ac B ac ==
22222228
2cos ,4165
b a
c ac B a c ac a c =+-∴=+-=+-
得222220,202,10a c a c ac ac +=∴+=≥∴≤ 所以ABC ∆面积的最大值为3.。

12分
18.解(1)由AB ∥11B A 异面直线AC 与11B A 所成角等于CAB ∠ 2分
41=AB ，21=HB ，31111==C A B C ， 4分
ABC ∆中，2222
cos 23
AC AB BC CAB AC AB +-∠=
=⨯ 6分 （2）取1BB 中点为M ，连1,MC MH ， 1分 由H 是中心，得HM BB ⊥1，又⊥H C 1平面11A ABB ，1BB CH ⊥,
1HMC ∠是二面角111A BB C --的一个平面角， 3分
又2=
HM ，故61=H C 6分
19.（1）取PA 中点为N ，则MN 是三角形PAD 的中位线，MN ∥AD ，AD MN 2
1
=
AD BC 2
1
=
，BC ∥AD ，故BC MN BC ,=∥MN ，四边形MNBC 是平行四边形，MC ∥NB ，故MC ∥平面PAB 。

（2）取AD 中点为E ，连PE
CE ∥BA ，⊥CE 平面PAD ，故CPE ∠为 PC 与平面PAD 所成角
在PCE Rt ∆中，CE ＝1,3=PE ，CPE ∠＝6
π
即为PC 与平面PAD 所成角
20解：（1）设DN x =米（0x >），则20AN x =+.
因为
DN AN DC AM =,所以2036x x AM +=
，即36(20)
x AM x
+=. 所以2
118(20)2x S AM AN x
+=⨯⨯= ………………4分
400
18(40)1440x x
=+
+≥，当且仅当20x =时取等号. 所以，S 的最小值等于1440平方米. ……………8分
（2）由2
18(20)1764x S x
+=
≤得2584000x x -+≤. ………10分 解得850x ≤≤.
所以，DN 长的取值范围是[8, 50]. …… …12分
21.解：（1）当1=n 时，111==s a ； …………… 1分
当2≥n 时，112
1
--=-=n n n n s s a ，此式当1=n 时也成立
)(2
1
*1N n a n n ∈=∴- 3分
121
1,2
a a ∴==112211,()a
b a b b a =-=，121,3b b ∴==… 4分 易得12-=n b n ……… 5分 （2）由（1）12)12(-∙-=n n n c
21
13252(21)2n n T n -=+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅
231223252(23)2(21)2n n n T n n -=+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-+-⋅ … 6分
n n n T 2)32(3∙-+=……… 9分
（3）92-≥n
n t T ,得322
12
-+≤
n t n 10分 令322
12
-+=n A n n ，
则n n n n n n n A A 2
6
2)32212()12212(
11-=-+--+=-++ 12分 当2≥n 时，n n A A >+1而21A A >，}{n A 是从第2项起是递增数列，故
4322
12
2=≥-+=
A n A n n ，4≤t ，t 的最大值为4. 14分。