五奥第9讲容斥原理

第九讲容斥原理
教学目标：
让学生掌握容斥原理的基本类型，并能运用此类题的解题方法灵活地解决问题。

教学重点：
1、学会基本的容斥原理公式及其分类。

2、运用容斥原理的基本方法解决问题，做到不重不漏。

教学难点：
1、能解决较复杂的容斥原理问题。

2、含三类的容斥原理。

教学过程
一、故事引入，揭示课题，明确容斥原理的基本类型与解题方法。

故事引入：森林里住着很多动物，狮子大王派仙鹤去统计鸟的种数，蝙蝠跑去说：“我有翅膀，我算鸟类。

”仙鹤把蝙蝠统计进去了，结果得出森林中共有80种鸟类。

狮子大王又派大象去统计兽类的种类，蝙蝠又跑去说：“我没有羽毛，我算兽类。

”结果统计出森林中共有70种兽类。

最后狮子大王问：“森林中共有鸟类和兽类多少种？”狐狸军师听了仙鹤和大象的统计结果，向狮子大王报告：“森林中鸟类与兽类共计150种。

”这个统计对吗？兔子跑过来说：“不对，因为在这个统计中，蝙蝠被算了两次。

”正确答案应该是
80+70－1=149（种）。

师：在计数时，必须注意无一重复，无一遗漏。

为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先
计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。

知识点：
如果被计数的事物有A、B两类，那么，A类B类元素个数总和= 属于A类元素个数+ 属于B类元素个数—既是A类又是B类的元素个数。

二、教学例题，掌握技巧。

例1、一个班有学生45人，参加数学兴趣小组有30人，参加音乐兴趣小组的有22人，并且每人至少参加一个班，这个班两组都参加的有多少人？
分析：直接用公式
解答： 30+22—45=7（人）
课堂练习 32页练习1
答案 25+20=45（人）
40—10=30.（人）
45—30=15（人）
小结：先计算出所有情况情况，再减去多算的。

就可以计算出所用数目。

师：刚才我们学了最简单的容斥原理，下面看一个较复杂的
例2、在1到1000 的自然数中，能被3或5整除的数共有多少个？不能被3或5整除的数共有多少个？
分析：先分别求出能被3与被5整除的个数，再减去既能被3整除又能被5整除（即能被15）整除的数。

解答： 1000÷3=333（个） (1)
1000÷5=200（个）
[3，5]=15 1000÷15=66（个） (10)
333+200—66=467（个）
1000—467=533（个）
课堂练习：在1到100的自然数中，能被2或3整除的数共有多少个？
答案 100÷2=50（个）
100 ÷3=33（个） (1)
[2，3]=6 100÷6=16（个） (6)
50+33—16=67（个）
小结：通过分析，将题目转化为容斥原理。

即先分别求出能被3与被5整除的个数，再减去既能被3整除又能被5整除的数。

答：能被3或5整除的数共有467个，不能被3或5整除的数共有533个,。

师：前面的都是含两个的容斥原理，下面我们来学习三个的。

知识点：
如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，A类和B类和C类元素个数总和= A类元素个数+ B类元素个数+C类元素个数—既是A类又是B类的元素个数—既是A 类又是C类的元素个数—既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B类而且是C类的元素个数。

例3、（原例4）某校六（1）班有学生54人，每人在暑假里都参加体育训练队，其中参加足球队的有25人，参加排球队的有22人，参加游泳队的有34人，足球、排球都
参加的有12人，足球、游泳都参加的有18人，排球、游泳都参加的有14人，问：三项都参加的多少人？
分析：本题是一道容斥原理2的应用，直接用公式即可
解答： 25+22+34—12—18—14=37（人）
54—37=17（人）
答：三项都参加的17人。

课堂练习33页第5题
答案：24+31+20—5—6—7+3=60（人）
刚才是一个直接的容斥原理，下面我们来看一个容斥原理的应用。

这一题需要较强的分析能力。

例4、（原例5）在一根长木棍上有三种刻度线，第一种刻度线将木棍分成10等份，第二种将木棍分成12等份，第三种将木棍分成15等份，如果沿每条刻度线将木棍锯断，木棍总共被锯成多少段？
分析：师：题目中没有告诉我们木棍的长度，那锯成几段后该怎样计算？能不能设一个长度呢？
生：能。

师：那设什么数最简单呢?
生：10,12,15的最小公倍数。

解答：[10，12，15]=60
60÷10=6 60÷12=5 60÷15=4
师：每隔4，5，6就会锯一段，但是中间会有重复的，
[4，5]=20 [4，6]=12 [5，6]=30 [4，5，6]=60
60÷20=3 （段） 60÷12=5（段） 60÷30=2（段） 60÷60=1（段）
10+12+15—3—5—2+1=28（段）
答：，木棍总共被锯成28段。

小结：本题首先要明白如何设数，在数字大小对题目结果没有影响的前提下，一般情况下设最小公倍数。

其次，将分析实际问题中的条件，再用公式解题。

例5（原例3）分母是1001的最简分数一共有多少个？
注：将“最简分数”改为“最简真分数”并且老师需首先讲解什么是“最简真分数”如时间不够，可选择不讲本题。

分析：要求最简分数就只需要求分子不是1001的因数，即求出1001的因数再用1001去减就可以了。

1001=7×11×13
7的倍数有11×13个，11的倍数有7×13个，13的倍数有7×11个，
既是7又是11的倍数有13个，既是7又是13的倍数有11个，既是13又是11的倍数有11个，既是7又是11又是13的倍数有1个，
解答：1001=7×11×13
11×13+7×13+7×11—7—11—13+1
=143+91+77—7—11—13+1
=281（个）
1001—281=720（个）
答：分母是1001的最简分数一共有720个？
例6、实验小学举办书法展，学校的橱窗里展出了每个年级学生的书法作品，其中有28幅不是五年级的，有24幅不是六年级的，五、六年级参展作品共有20幅，一、二
年级参展的作品总数比三、四年级参展的作品总数少4幅。

一、二年级参展的书法作品共有多少幅？
分析：师：有28幅不是五年级的，有24幅不是六年级的，说明什么问题？
生：一+二+三+四+六=28（幅）
一+二+三+四+五=24（幅）
师：28+24表示什么呢？
生：一二三四年级的两倍+五六年级的
师：那我们可以求出一二三四年级的和，再用和差问题就可以求出一二年级的。

解答：（28+24—20）÷2=32÷2=16（幅）
（ 16—4）÷2=6（幅）
答：一、二年级参展的书法作品共有6幅。

小结：将“不是”转化为“是”，再进行对比，找到突破口。

例7、森林里住着100只小白兔，凡是不爱吃萝卜的小白兔都爱吃白菜，其中爱吃萝卜的小白兔的数量是爱吃白菜的2倍，而不爱吃白菜的小白兔的数量是不爱吃萝卜的3倍，那么它们当中有多少只小白兔既爱吃萝卜又爱吃白菜？0
分析：不爱吃萝卜的小白兔+爱吃萝卜的小白兔=100（只）
不爱吃白菜的小白兔+爱吃白菜的小白兔=100（只）
还知道他们之间的倍数关系，因此可以用方程来解。

解答：解：设爱吃白菜的小白兔有X只，则不爱吃白菜的小白兔有（100—X）只，爱吃萝卜的小白兔有2X只，不爱吃萝卜的小白兔有（100—2X）只，
100—X=3×（100—2X）
100—X=300—6X
5X=200
X=40
不爱吃萝卜的小白兔有：100—2×40=20（只）Array 40—20=20（只）
答：它们当中有20只小白兔既爱吃萝卜又爱吃白菜。

小结：碰到较复杂题目可以考虑方程
例8题目有问题
总结：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复。

如果被计数的事物有A、B两类，那么，A类B类元素个数总和= 属于A类元素个数+ 属于B类元素个数—既是A类又是B类的元素个数。

如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，A类和B类和C类元素个数总和= A类元素个数+ B类元素个数+C类元素个数—既是A类又是B类的元素个数—既是A类又是C类的元素个数—既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B类而且是C 类的元素个数。

板书设计
A、B两类例1 例2 A类B类总和= A类+ B类—既A又B 例3 例4 A、
B、C三类例5 例6
A类B类C类数总和= A类+ B类+C类
—既A又是B—既A又C—既B又C +既A又B且C
，作业：32页2、3、4 33页 6。

训练题答案
训练A
1、25+20=45（人）
40—10=30.（人）
45—30=15（人）
2、30+26—13=43（人）
48—43=5（人）
3、15+12—4=23（人）
4、19+25—7=37（人）
46—37=9（人）
训练B
5、24+31+20—5—6—7+3=60（人）
6、58+38+52—18—16+12=126(人) 126—100=26（人）
五奥第9讲容斥原理 52—（16+26—12）=22（人）
第7题超纲，学生没学过比
11 / 1111 / 11。