2012年高考数学一轮复习抢分训练 6.6 数列的综合问题 文 新人教A版

6.6 数列的综合问题 抢分训练基础巩固训练
1.首项为a 的数列{}n a 既是等差数列，又是等比数列，则这个的前n 项和n S 为（ ） A.1-n a B.n a C.a n )1(- D.na 【解析】D.由题意，得数列{}n a 是非零常数列，∴.na S n =
2.等差数列{}n a 及等比数列{}n b 中，,0,02211>=>=b a b a 则当3≥n 时有 A.n n b a > B.n n b a = C.n n b a ≥ D.n n b a ≤
【解析】D.特殊法，{}n a 及{}n b 为非零常数列时，n n b a =；取3,2,1:n a ，4,2,1:n b 时，
.n n b a <
3. 已知c b a ,,成等比数列，m 是b a ,的等差中项，n 是c b ,的等差中项，则=+n
c
m a . 【解析】2. 特殊法，取4,2,1===c b a ，
.2=+n
c
m a 4.⑴n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，01>a ，113S S =，问数列的前几项和最大？ ⑵公差不为零的等差数列{}n a 中，153=a ，1452,,a a a 成等比数列，求数列{}n a 的前n 项和n S .
【解析】⑴方法1：设)0(2
≠+=A Bn An S n ，由113S S =，得B A B A 1112139+=+， 即 A B 14-=，∴An An Bn An S n 142
2-=+=A n A 49)7(2
-=，
∴当7=n 时，n S 有最大值为.7S
方法2：由113S S =，得011654=++++a a a a ， {}n a 是等差数列，
∴00)(48787=+⇒=+a a a a .由01>a ，{}n a 是等差数列，∴0,0887<>-=a a a ， ∴当7=n 时，n S 有最大值为.7S
⑵设B An a n +=， 153=a ，1452,,a a a 成等比数列，
∴⎩⎨⎧-==⇒⎩⎨
⎧++=+=+3
6
)14)(2()5(1532
B A B A B A B A B A ，∴.36-=n a n ∴.33)321(62n n n S n =-++++=
5.已知1,0≠>a a ，数列{}n b 的前n 项和[]
)()1(1)
1(lg 2
+∈-+--=
N n a na n a a a S n
n ，若数列{}n b 的每一项总小于它后面的项，求a 的取值X 围.
【解析】当1=n 时，.lg 1a a b =当2≥n 时，1--=n n n S S b
[]
[]1
2
2)1()
1(lg )1(1)1(lg --+---+--=
n n a a n a a a a a na n a a a a na n lg =，∴a na b n n lg = 由题意，得01>-+n n b b ，即 [].0)1(lg >-+⋅n n a b n
⑴当1>a 时，0lg >a a n
，∴1
1
11+-
=+>
n n n a ，∴1>a ； ⑵当10<<a 时，0lg <a a n
，∴1
111+-
=+<n n n a ，∴10<<a 综上，a 的取值X 围().,121,0+∞⎪⎭
⎫ ⎝
⎛
6.等差数列{}n a 中，0>n a ，其公差0≠d ；数列{}n b 是等比数列，0>n b ，其公比.1≠q ⑴若121211,++==n n b a b a ，试比较1+n a 与1+n b 的大小，说明理由； ⑵若2211,b a b a ==，试比较1+n a 与1+n b 的大小，说明理由. 【解析】方法1：n n b a ,的图象大致如下图所示：
⑴ 由图⑴可知，11++>n n b a ； ⑵ 由图⑵可知，11++<n n b a .
方法2：（用作差比较法，略）. 综合拔高训练
7.某养渔场，据统计测量，第一年鱼的重量增长率为200﹪，以后每年的增长率为前一年的一半.
⑴饲养5年后，鱼重量预计是原来的多少倍？
⑵如因死亡等原因，每年约损失预计重量的10﹪，那么，经过几年后，鱼的总质量开始下降？
图⑴
图⑵
【解析】⑴设鱼原来的产量为a ，=q 200﹪2=
)21)(1()21(),1(121q
q a q a a q a a ++=+=+=，
∴a a a 7.1232405
)211)(211)(211)(11)(21(325≈=+++++=
⑵由⑴可知，)2
1(11--+=n n n q
a a ，而鱼每年都损失预计产量的10﹪，即实际产量只有原
来的10
9.
∴10
9
)21(11⋅+=--n n n q a a
设底年鱼的总量开始减少，则
⎩⎨⎧≤≥+-11n n n n a a a a ，即18121361)1()1(1092
1109211
≤≤⇒⎪⎩⎪⎨⎧⋅+≥≥⋅+---n
q n n n q n n n a a a a ∴32218≤≤n ，解得，5=n
∴经过5年后，鱼的总量开始减少.
8.数列{}n a 的前n 项和为)(+∈N n S n ，点),(n n S a 在直线n x y 32-=．
⑴若数列}{c a n +成等比数列，求常数C 的值； ⑵求数列}{n a 的通项公式；
⑶数列}{n a 中是否存在三项，它们可以构成等差数列？若存在，请求出一组适合条件的项； 若不存在，请说明理由．
【解析】⑴由题意知)1(32,3211+-=-=++n a S n a S n n n n ， 得123n n a a +=+，∴
32
3
3
1=∴=+++c a a n n
⑵ 32111-==a S a ，∴31=a ，由⑴知：1
12)3(3-⋅+=+n n a a
)(323+∈-⨯=∴N n a n n
⑶设存在S ，P ，r *
,,,s p r N S P r a a a ∈<<且使成等差数列,
r s p a a a +=∴2 即 )323()323()323(2-⋅+-⋅=-⋅r s p
s r s p r
s p -+-++=∴+=∴21222211 （＊） 因为s 、p 、r *
2122p r s N
s p r
-+-∈<<∴且、为偶数
1+2
r s
-为奇数，（＊）式产生矛盾．所以这样的三项不存在．
9.从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少
5
1
，本年度当地旅游业收入估计400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加
4
1. ⑴设n 年内（本年度为第一年）总收入为n a 万元，旅游业总收入为n b 万元，写出表达式 ⑵至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？
【解析】3.⑴第一年投入为800万元，第二年投入为)5
11(800-万元，第n 年的投入为
1)5
1
1(800--n
万元.所以，年内的总投入为：
n n n a )5
4
(40004000)511(800)511(8008001-=-++-+=- ；
第一年旅游业收入为400万元，第二年旅游业收入为)4
1
1(400+万元，
第n 年旅游业收入为1)4
1
1(400-+n 万元.所以，n 年内的旅游业总收入为
.1600)4
5
(1600)411(400)411(4004001-=+++++=-n n n b
⑵设至少经过n 年旅游业的总收入才能超过总投入，由此0>-n n a b ，
即--1600)45
(1600n 0)54(40004000>+n 化简得07)54(5)45(2>-+n n ，设x n =)5
4
(，代入上式得，02752>+-x x
解此不等式，得52<x ，或1>x （舍去）即5
2
)54(<n ，由此得.5≥n
答：至少经过5年旅游业的总收入能超过总投入.
10. (某某省某某市2011年高三年级第二次调研考试)设函数()()+∈-+=
N c b c
bx a
x x f ,2.若方程()x x f =的根为0和2, 且()2
12-
<-f . (1)求函数()x f 的解析式；
(2)已知各项均不为零的数列{}n a 满足:1)1
(
4=n
n a f S (n S 为该数列前n 项和),求该数列的
通项n a . 【解析】
⑴设()⎪⎩
⎪⎨⎧+==∴⎪⎩
⎪⎨⎧
-=⨯-=+∴=++-=-+210,102102,01,22
c b a b a b c a cx x b x c bx a x 得
c
x x x f c
-+=)1()(22,321
12)2(<⇒-<+-=-c c f , 又 c b c N c b ==∴∈+,2,,，()()
()1122
≠-=
∴x x x x f ⑵由已知得,2,22
1112----=∴-=n n n n n n a a S a a S
两式相减得()()0111=+-+--n n n n a a a a , 1--=∴n n a a 或11-=--n n a a . 当1=n ，1212
111-=⇒-=a a a a ，若1--=n n a a ，则12=a ，这与1≠n a 矛盾.
n a a a n n n -=∴-=-∴-,11.
⑶由()21
2121121222
12
11≤+⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=⇒-=
⇒=+++n n n n n n n a a a a a a f a , 01<∴+n a 或21≥+n a .
若01<+n a ，则31<+n a ；若21≥+n a ，则()()01
221≤---=
-+n n n n n a a a a a ∴{}n a 在2≥n 时单调递减.
3
8
242422212
12=-⨯=-=a a a ，∴3382<=≤a a n 在2≥n 时成立.。