2018年高考数学分类汇编：专题十三极坐标与参数方程

《2018年高考数学分类汇编》
第十三篇：极坐标与参数方程
一、填空题
1. 【2018北京卷10】在极坐标系中，直线cos sin (0)a a ρθρθ+=>与圆=2cos ρθ相切，
则a =__________．
2.【2018天津卷12】)已知圆22
20x y x +-=的圆心为C ，
直线1,
3⎧
=-+⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
x y (t 为参数)与该圆相交于A ，B 两点，则ABC △的面积为 .
二、解答题
1.【2018全国一卷22】在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为||2y k x =+.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2
2cos 30ρρθ+-=.
（1）求2C 的直角坐标方程；
（2）若1C 与2C 有且仅有三个公共点，求1C 的方程.
2.【2018全国二卷22】在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），
直线的参数方程为（为参数）．
（1）求和的直角坐标方程；
（2）若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率．
3.【2018全国三卷22】在平面直角坐标系中，的参数方程为（为参
数），过点且倾斜角为的直线与交于两点． （1）求的取值范围；
（2）求中点的轨迹的参数方程．
xOy C 2cos 4sin x θy θ=⎧⎨=⎩，
θl 1cos 2sin x t αy t α=+⎧⎨=+⎩
，
t C l C l (1,2)l xOy O ⊙cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩
，
θ(0，αl O ⊙A B ，αAB P
4.【2018江苏卷21C 】在极坐标系中，直线l 的方程为π
sin()26
ρθ-=，曲线C 的方程为
4cos ρθ=，求直线l 被曲线C 截得的弦长．
参考答案 一、填空题 1.21+ 2.
2
1 二、解答题
1.解： （1）由cos x ρθ=，sin y ρθ=得2C 的直角坐标方程为22(1)4x y ++=． （2）由（1）知2C 是圆心为(1,0)A -，半径为2的圆．
由题设知，1C 是过点(0,2)B 且关于y 轴对称的两条射线．记y 轴右边的射线为1l ，y 轴左边的射线为2l ．由于B 在圆2C 的外面，故1C 与2C 有且仅有三个公共点等价于1l 与2C 只有一个公共点且2l 与2C 有两个公共点，或2l 与2C 只有一个公共点且1l 与2C 有两个公共点． 当
1l 与2C 只有一个公共点时，A 到1l 所在直线的距离为22=，故43
k =-
或0k =．
经检验，当0k =时，1l 与2C 没有公共点；当4
3
k =-时，1l 与2C 只有一个公共点，2l 与2C 有两个公共点．
当
2l 与2C 只有一个公共点时，A 到2l 所在直线的距离为22=，故0k =或
43
k =
． 经检验，当0k =时，1l 与2C 没有公共点；当4
3
k =
时，2l 与2C 没有公共点．
综上，所求1C 的方程为4
||23
y x =-
+． 2.解：（1）曲线C 的直角坐标方程为116
42
2=+y x ．
当时，的直角坐标方程为， 当时，的直角坐标方程为．
（2）将的参数方程代入的直角坐标方程，整理得关于的方程
．①
因为曲线截直线所得线段的中点在内，所以①有两个解，设为，，则
．
又由①得α
αα2
21cos 31)
sin cos 2(4++-
=+t t ，故， 于是直线的斜率．
3.解：（1）的直角坐标方程为． 当时，与交于两点． 当时，记，则的方程为．与交于两点当且仅当，解得或，即或．
综上，的取值范围是． （2）的参数方程为为参数，． 设，，对应的参数分别为，，，则，且，满足．
cos 0α≠l tan 2tan y x αα=⋅+-cos 0α=l 1x =l C t 22(13cos )4(2cos sin )80t t ααα+++-=C l (1,2)C 1t 2t 120t t +=2cos sin 0αα+=l tan 2k α==-O 221x y +=2
απ
=
l O 2
απ
≠
tan k α=
l y kx =l
O |1<1k <-1k >(,)42αππ
∈(,)24απ3π∈α(,
)44
π3π
l cos ,
(sin x t t y t αα
=⎧⎪⎨
=⎪⎩44απ3π<<)A B P A t B t P t 2
A B
P t t t +=
A t B
t 2sin 10t α-+=
于是，．又点的坐标满足
所以点的轨迹的参数方程是为参数，． 4.解：因为曲线C 的极坐标方程为=4cos ρθ， 所以曲线C 的圆心为（2，0），直径为4的圆． 因为直线l 的极坐标方程为π
sin()26
ρθ-=，
则直线l 过A （4，0），倾斜角为
π6
， 所以A 为直线l 与圆C 的一个交点． 设另一个交点为B ，则∠OAB =
π6
． 连结OB ，因为OA 为直径，从而∠OBA =π2
，
所以π
4cos
6
AB == 因此，直线l 被曲线C
截得的弦长为．
A B t t α+
=P t α=P (,)x
y cos ,
sin .P P
x t y t αα=⎧⎪⎨=⎪⎩
P 2,2x y αα
⎧=⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩(α44απ3π<<
)。