中考数学总复习 题型突破(03)圆中的有关计算数学课件

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(2)如果 AB=5,tan∠FAC= ,求 FC 的长.
2
(2)∵FA 是☉O 的切线,∴FA⊥AB,∴∠FAC+∠EAB=90°.
∵∠EBA+∠EAB=90°,∴∠FAC=∠EBA.
1
∵tan∠EBA=tan∠FAC=2,AB=5,∴AE= 5,BE=2 5.
过 C 点作 CH⊥AF 于点 H,∵AB=BC,∠AEB=90°,∴AC=2AE=2 5.
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3
9
9
∵OD2+AD2=OA2,∴x2+(3 2)2=(3x)2,解得 x1=2,x2=-2(舍).∴OA=3x=2.即☉O 的半径长为2. 图 Z3-7
类型1 运用勾股定理、三角函数计算线段长度（针对2018 21题,2017 24题,2015 24题）
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2

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∵tan∠FAC=2,∴CH=2.∵CH∥AB,AB=BC=5,∴5=+5,∴FC= 3 .
图 Z3-5
类型1 运用勾股定理、三角函数计算线段长度（针对2018 21题,2017 24题,2015 24题）
6.[2018·通州一模] 如图 Z3-6,已知 AB 为☉O 的直径,AC 是☉O 的弦,D 是弧 BC 的中点.过点 D 作☉O
切线于点 E.
1
(2)若 AE= 2,sin∠ADE= ,求☉O 半径的长.
3
1

3
sin∠
(2)连接 OD,∴∠ODB=90°.在 Rt△ AED 中,∵AE= 2,sin∠ADE= ,∴AD=

=3 2.
1
∵CD∥OA,∴∠1=∠ADE.在 Rt△ OAD 中,sin∠1= =3.设 OD=x,则 OA=3x,
于点 C,交 AB 的延长线于点 P,连接 AC 交 DE 于点 F,作 CH⊥AB 于点 H.
3
(2)若 HB=2,cosD= ,请求出 AC 的长.
5
3
(2)由(1)可知:∠OCP=90°,∠COP=∠D,∴cos∠COP=cosD= ,
5
∵CH⊥OP,∴∠CHO=90°,设☉O 的半径为 r,则 OH=r-2.
∵C,D 分别为半径 OB,弦 AB 的中点,∴CD 为△ AOB 的中位线.
∴CD∥OA.∴∠E=90°.∴AE⊥CE.
图 Z3-7
类型1 运用勾股定理、三角函数计算线段长度（针对2018 21题,2017 24题,2015 24题）
7.[2018·朝阳一模] 如图 Z3-7,在☉O 中,C,D 分别为半径 OB,弦 AB 的中点,连接 CD 并延长,交过点 A 的
的切线,分别交 AC,AB 的延长线于点 E 和点 F,连接 CD,BD.
(2)若 AC=3,AB=5,求 CE 的长.
(2)法一:连接 BC 交 OD 于点 H.∵BA 是☉O 的直径,∴∠ACB=90°.
∵AC=3,AB=5,∴BC=4.∵OD∥AC,∴∠ECB=∠CHD=∠ODE=90°,
∴四边形 ECHD 是矩形,∴EC=HD.∵OD⊥BC,∴CH=HB=2.
7.[2018·朝阳一模] 如图 Z3-7,在☉O 中,C,D 分别为半径 OB,弦 AB 的中点,连接 CD 并延长,交过点 A 的
切线于点 E.
(1)求证:AE⊥CE;
1
(2)若 AE= 2,sin∠ADE= ,求☉O 半径的长.
3
解:(1)证明:连接 OA,∵OA 是☉O 的切线,∴∠OAE=90°.
图 Z3-4
5
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∵点 E 是 BC 边的中点,∴BE=5.∴DE=5.
类型1 运用勾股定理、三角函数计算线段长度（针对2018 21题,2017 24题,2015 24题）
5.[2018·延庆一模] 如图 Z3-5,AB 是☉O 的直径,D 是☉O 上一点,点 E 是的中点,过点 A 作☉O 的切线
4.[2018·平谷一模] 如图 Z3-4,以 AB 为直径作☉O,
过点 A 作☉O 的切线 AC,连接 BC,交☉O 于点 D,点
E 是 BC 边的中点,连接 AE.
(1)求证:∠AEB=2∠C;
3
(2)若 AB=6,cosB= ,求 DE 的长.
5
解:(1)证明:∵AC 是☉O 的切线,∴∠BAC=90°.
设 EC=HD=x.∴OH=2.5-x.在 Rt△ OHB 中,OH2+HB2=OB2,即(2.5-x)2+22=2.52,
解得 x1=1,x2=4(舍去),∴CE=1.
1
法二:易证 OH 是△ ABC 的中位线,∴OH= AC=1.5,∴CE=HD=OD-OH=2.5-1.5=1.
2
图 Z3-6
类型1 运用勾股定理、三角函数计算线段长度（针对2018 21题,2017 24题,2015 24题）
的切线,分别交 AC,AB 的延长线于点 E 和点 F,连接 CD,BD.
(1)求证:∠A=2∠BDF;
(2)若 AC=3,AB=5,求 CE 的长.
解:(1)证明:连接 AD.∵AB 是☉O 的直径,∴∠ADB=90°,∴∠ADO+∠ODB=90°.
∵D 是 的中点,∴∠DAC=∠DAB.∵OA=OD,∴∠OAD=∠ODA=∠DAC,
∴∠ECB=∠EAB.∴AB=BC.
图 Z3-5
类型1 运用勾股定理、三角函数计算线段长度（针对2018 21题,2017 24题,2015 24题）
5.[2018·延庆一模] 如图 Z3-5,AB 是☉O 的直径,D 是☉O 上一点,点 E 是的中点,过点 A 作☉O 的切线
交 BD 的延长线于点 F.连接 AE 并延长交 BF 于点 C.
1.[2018·顺义一模] 如图 Z3-1,等腰三角形 ABC 是☉O 的内接三角形,AB=AC,过点 A 作 BC 的平行线 AD
交 BO 的延长线于点 D.
(1)求证:AD 是☉O 的切线;
3
(2)若☉O 的半径为 15,sinD= ,求 AB 的长.
5
解:(1)证明:如图,连接 AO,并延长交☉O 于点 E,交 BC 于点 F.

在 Rt△ CHO 中,cos∠HOC=

-2 3
=

= ,∴r=5,∴OH=5-2=3,∴由勾股定理可知:CH=4,
5
又 AH=AB-HB=10-2=8.在 Rt△ AHC 中,∠CHA=90°,∴由勾股定理可知:AC=4 5.
图 Z3-3
类型1 运用勾股定理、三角函数计算线段长度（针对2018 21题,2017 24题,2015 24题）
题型突破（三） 圆中的有关计算
题型解读
圆中有关计算,一般情况下在中考题中所占的分值为5分,难度中等略偏上,对大多
数考生来说得分率为60%左右,所考查知识点相对稳定,主要考查切线的性质、勾
股定理、垂径定理、锐角三角函数、等腰三角形的性质、相似等知识.
解题的关键是学会添加常用辅助线,灵活运用所学知识解决问题.从题目构造来看,
∴OD∥AC,∴∠BAC=∠BOD=2∠ODA.∵EF 是☉O 的切线,∴OD⊥EF,
∴∠BDF+∠ODB=90°,∴∠BDF=∠ODA.∴∠BAC=2∠BDF.
图 Z3-6
类型1 运用勾股定理、三角函数计算线段长度（针对2018 21题,2017 24题,2015 24题）
6.[2018·通州一模] 如图 Z3-6,已知 AB 为☉O 的直径,AC 是☉O 的弦,D 是弧 BC 的中点.过点 D 作☉O
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3
∵AE⊥AD,sinD=5,∴ =5.∵☉O 的半径 OA=15,∴OD=25,AD=20.
∴BD=40.∴BH=24,DH=32.∴AH=12.∴AB=12 5.
图 Z3-1
类型1 运用勾股定理、三角函数计算线段长度（针对2018 21题,2017 24题,2015 24题）
2.[2018·房山一模] 如图 Z3-2,AB,BF 分别是☉O 的直径和弦,弦 CD 与 AB,BF 分别相交于点 E,G,过点 F
于点 C,交 AB 的延长线于点 P,连接 AC 交 DE 于点 F,作 CH⊥AB 于点 H.
(1)求证:∠D=2∠A;
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(2)若 HB=2,cosD= ,请求出 AC 的长.
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解:(1)证明:连接 OC,∵射线 DC 切☉O 于点 C,∴∠OCP=90°,
∵DE⊥AP,∴∠DEP=90°,∴∠P+∠D=90°,∠P+∠COB=90°,∴∠COB=∠D,
∵点 E 是 BC 边的中点,∴AE=EC.∴∠C=∠EAC,
∵∠AEB=∠C+∠EAC,∴∠AEB=2∠C.
(2)连接 AD.∵以 AB 为直径作☉O,∴∠ADB=90°.
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∵AB=6,cosB=5,∴BD= 5 .
∵AC 是☉O 的切线,∴∠BAC=90°,
3
在 Rt△ ABC 中,AB=6,cosB= ,∴BC=10.
∵HF=HG,∴∠HFG=∠HGF.又∵∠HGF=∠BGE,∴∠BGE=∠HFG,
∴∠BGE+∠B=90°,∴∠GEB=90°,∴AB⊥CD.
图 Z3-2
类型1 运用勾股定理、三角函数计算线段长度（针对2018 21题,2017 24题,2015 24题）
2.[2018·房山一模] 如图 Z3-2,AB,BF 分别是☉O 的直径和弦,弦 CD 与 AB,BF 分别相交于点 E,G,过点 F
的切线 HF 与 DC 的延长线相交于点 H,且 HF=HG.
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(2)若 sin∠HGF= ,BF=3,求☉O 的半径长.
4
(2)连接 AF.∵AB 为☉O 直径,∴∠AFB=90°,∴∠A+∠B=90°,∴∠A=∠BGE.
3
3
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4
又∵∠BGE=∠HGF,∴∠A=∠HGF.∵sin∠HGF= ,∴sinA= .
∵AB=AC,∴= .∴AE⊥BC.∵AD∥BC,∴AE⊥AD.∴AD 是☉O 的切线.
图 Z3-1
类型1 运用勾股定理、三角函数计算线段长度（针对2018 21题,2017 24题,2015 24题）
1.[2018·顺义一模] 如图 Z3-1,等腰三角形 ABC 是☉O 的内接三角形,AB=AC,过点 A 作 BC 的平行线 AD
∵∠AFB=90°,BF=3,∴AB=4.∴OA=OB=2.即☉O 的半径为 2.
图 Z3-2
类型1 运用勾股定理、三角函数计算线段长度（针对2018 21题,2017 24题,2015 24题）
3.[2018·门头沟一模] 如图 Z3-3,AB 为☉O 的直径,过☉O 外的点 D 作 DE⊥OA 于点 E,射线 DC 切☉O
交 BD 的延长线于点 F.连接 AE 并延长交 BF 于点 C.
(1)求证:AB=BC;
1
(2)如果 AB=5,tan∠FAC= ,求 FC 的长.
2
解:(1)证明:连接 BE.∵AB 是直径,∴∠AEB=90°,
∴∠CBE+∠ECB=90°,∠EBA+∠EAB=90°.
∵点 E 是的中点,∴∠CBE=∠EBA,
通常有两问.学生往往对第二问显得力不从心,若是计算类的则在构建等量关系时
Hale Waihona Puke 缺失头绪,通常需要添加适当的辅助线,通过建立方程模型,建立已知与未知的联系(
一般情况下,应把所求的线段直接或间接地放入可解的直角三角形中.然后利用勾
股定理、相似、三角函数等计算相应线段长度).
类型1 运用勾股定理、三角函数计算线段长度（针对2018 21题,2017 24题,2015 24题）
交 BO 的延长线于点 D.
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(2)若☉O 的半径为 15,sinD= ,求 AB 的长.
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(2)解法 1:∵AD∥BC,∴∠D=∠1.∵sinD= ,∴sin∠1= .∵AE⊥BC,∴
3
= .
5
∵☉O 的半径 OB=15,∴OF=9,BF=12.∴AF=24.∴AB=12 5.
解法 2:如图,过 B 作 BH⊥DA 交 DA 延长线于 H.
∵OA=OC,∴∠A=∠OCA,∵∠COB=∠A+∠OCA,∴∠COB=2∠A,∴∠D=2∠A.
图 Z3-3
类型1 运用勾股定理、三角函数计算线段长度（针对2018 21题,2017 24题,2015 24题）
3.[2018·门头沟一模] 如图 Z3-3,AB 为☉O 的直径,过☉O 外的点 D 作 DE⊥OA 于点 E,射线 DC 切☉O
的切线 HF 与 DC 的延长线相交于点 H,且 HF=HG.
(1)求证:AB⊥CD;
3
(2)若 sin∠HGF= ,BF=3,求☉O 的半径长.
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解:(1)证明:连接 OF.∵OF=OB,∴∠OFB=∠B.∵HF 是☉O 的切线,∴∠OFH=90°.
∴∠HFB+∠OFB=90°,∴∠B+∠HFB=90°.