2023-2024学年浙江省高二上学期期末联考数学质量检测模拟试题(2)(含答案)

2023-2024学年浙江省高二上册期末联考数学模拟试题
一、单选题
1．已知集合{}1,2,3A =，{}2,3,5B =，则A B = （）
A ．{}1,2,3,5
B ．{}
2,3C ．{}
3D ．{}
2【正确答案】B
【分析】根据交集的概念可求出结果.【详解】因为{}1,2,3A =，{}2,3,5B =，所以{}2,3A B ⋂=.故选：B
2．双曲线2
212
x y -=的焦距是（
）
A ．1
B
C ．2
D
．【正确答案】D
【分析】根据双曲线方程求出c ，从而可求出焦距.
【详解】由2
212
x y -=，得2213c =+=
，则c =
所以双曲线的焦距为2c =故选：D
3．已知空间向量()1,3,4a = ，()2,,b x y = ，若//a b r r
，则x y -的值是（
）
A ．4-
B ．2
-C ．0
D ．2
【正确答案】B
【分析】依题意可得b a λ=
，即可得到方程组，解得x 、y 、λ，即可得解.【详解】解：因为()1,3,4a = ，()2,,b x y = ，且//a b r r
，所以b a λ= ，即()()2,,1,3,4x y λ=，即234x y
λλλ=⎧⎪=⎨⎪=⎩
，所以2
68x y λ=⎧⎪
=⎨⎪=⎩，
所以2x y -=-.故选：B
4．为评估一种新品种玉米的种植效果，选取n 块地作试验田，这n 块地的亩产量（单位：kg ）
分别为12,,,n x x x ，下面给出的指标中可以用来评估这种玉米亩产量稳定程度的是（）
A ．12,,,n x x x 平均数
B ．12,,,n x x x 的众数
C ．12,,,n x x x 的中位数
D ．12,,,n x x x 的标准差
【正确答案】D
【分析】结合数据特征逐一判断即可.
【详解】对A 项，平均数是体现集中趋势的一项指标，故A 项不符合；对B 项，众数体现的是出现次数最多的数，故B 项不符合；
对C 项，中位数将数据分为前后两部分，体现的是数据的“中等水平”，故C 项不符合；对D 项，标准差体现的是数据的离散程度，可以用来评估产量稳定程度，故D 项符合.故选：D
5．“方程22
1252x y m m
+=+-表示椭圆”是“522m -<<”的（
）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
【正确答案】A
【分析】根据二元二次方程表示椭圆可直接构造不等式组求得m 的范围，结合推出关系可得结果.
【详解】若方程2
2
1252x y
m m +=+-表示椭圆，则20520
252m m m m
+>⎧⎪->⎨⎪+≠-⎩
，解得：21m -<<或512m <<；21m -<< 或512m <<
⇒522m -<<；522
m -<<¿21m -<<或5
12m <<；∴“方程22
1252x y m m
+=+-表示椭圆”是“5
22m -<<”的充分不必要条件.
故选：A.
6．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是A ．若αβ⊥，m α⊂，n β⊂，则m n ⊥B ．若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m n C ．若m n ⊥，m α⊂，n β⊂，则αβ⊥D ．若m α⊥，//m n ，//n β，则αβ⊥【正确答案】D
【详解】试题分析：m α⊥
，
,n βαβ∴⊥ ,故选D.
点线面的位置关系.
7．等比数列{}n a 中，1320a a +=，2410a a +=，记n T 为数列{}n a 的前n 项积，则n T 的最大值是（）
A ．256
B ．512
C ．1024
D ．2048
【正确答案】C
【分析】根据等比数列的通项公式求出1a 和q ，得n a 和n T ，再根据二次函数知识与指数函数单调性可求出结果.
【详解】设公比为q ，由2113
112010a a q a q a q ⎧+=⎨+=⎩，得116
12a q =⎧⎪
⎨=⎪⎩
，所以1151116()22
n n n
n a a q ---==⨯=，
所以4325
2222n n T -=⋅⋅⋅⋅ 43252n ++++-= (45)
(9)2
2
2
2
n n n n +--==，
因为22
981()(9)924222
n n n n n --+
--+==
，所以当4n =或5n =时，
(9)
2
n n -取得最大值10，
又21>，所以n T 的最大值是1021024=.故选：C
8．已知函数()f x 是定义域为R 的偶函数，当0x ≥时，2332,03
()2e ,3
x
x x x f x x -⎧-+≤≤⎪=⎨>⎪⎩，如果关于x 的方程()()2
10m f x nf x ++=⎡⎤⎣⎦恰有11个不同的实数根，那么m n ⋅的值等于（）
A ．9-
B ．7
-C ．7
D ．9
【正确答案】A
【分析】作出函数()f x 的图象，令()t f x =，根据图象，转化为关于t 的方程210mt nt ++=恰有2个根
1
4
和2，根据韦达定理求出m 和n 可得结果.【详解】作出函数()f x 的图象如图：
令()t f x =，则210mt nt ++=，
若关于t 的方程210mt nt ++=恰有一个实根，则关于x 的方程()t f x =最多有10个实根，不符合题意；
所以关于t 的方程210mt nt ++=恰有2个实根，设为1t 和2t ，则关于x 的方程1()f x t =和2()f x t =共有11个实根，由图可知，必有12t =，214t =
或11
4
t =，22t =，即关于t 的方程210mt nt ++=恰有2个根
1
4
和2，所以1
2411
24n m
m ⎧+=-⎪⎪⎨⎪⨯=⎪⎩，解得2m =，92n =-，
所以9
2()92
m n ⋅=⨯-=-.
故选：A
方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.二、多选题
9．已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图为一个半圆，则下列说法正确的是（）
A 2
B ．圆锥的母线长是4
C ．圆锥的表面积是16π
D ．圆锥的体积是
83
π3
【正确答案】BD
【分析】根据圆锥侧面展开图可求得圆锥母线和高，进而得到其体积和表面积，即可判断出正确
选项.
【详解】设圆锥母线为l ，高为h ，
侧面展开图的弧长与底面圆周长2π2=4π⨯相等，由弧长公式得π=4πl ，即4l =；所以圆锥的母线长是4，即B 正确；
高为h =A 错误；
圆锥的表面积是22
1π2π412π2S =⨯+⨯⨯=，故C 错误；
圆锥的体积是21π2π33
V =⨯⨯⨯，即D 正确.
故选：BD
10．已知函数()cos cos 2f x x x x =-，则下列说法正确的是（）
A ．()f x 的最小正周期是π
B ．若()f x θ+为奇函数，则θ的一个可取值是π4
C ．()f x 的一条对称轴可以是直线π3
x =D ．()f x 在π0,4⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的最大值是1
【正确答案】AC
【分析】化简()f x 的解析式，根据周期公式求出最小周期可知A 正确；由π
2π6
k θ-
=得到1ππ212k θ=+，Z k ∈，不存在整数k 使得π
4θ=，可知B 不正确；根据(2π)3
f =可知C 正确；根
据正弦函数的图象求出最大值，可知D 不正确.
【详解】()cos cos 2f x x x x =-π
2cos 22sin(26
x x x =-=-，
所以()f x 的最小正周期是
2π
π2
=，故A 正确；若()()ππ2sin 22sin 2266f x x x θθθ⎛⎫⎛
⎫+=+-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭为奇函数，则π2π6k θ-=，Z k ∈，
1ππ212k θ=+，Z k ∈，由1πππ2124k +=得1
3k =不是整数，故B 不正确；
因为π2πππ(2sin 2sin 23362f ⎛⎫
=-==
⎪⎝⎭
，故C 正确；
当x ∈π0,4⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
时，π26x -∈ππ,63⎡⎤-⎢⎣⎦，π2sin(2)6x -⎡∈-⎣，所以当π
4x =
时，()f x 在π0,4⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
D 不正确；
故选：AC
11．
已知斜率为k 的直线l 经过抛物线C ：24y x =的焦点F ，且与抛物线C 交于()11,A x y ，()22,B x y 两点，则下列说法正确的是（）
A ．对任意实数k ，均有124y y ⋅=-
B ．存在实数k ，使得23
6
AB =C ．若
3AF BF
=
，则k =D ．若8AB =，则,A B 中点M 到y 轴的距离是3【正确答案】ACD
【分析】由题意可知直线l 的方程为：(1)y k x =-，联立直线方程与抛物线方程得
2
2
2
2
2(2)0k x k x k -++=，由韦达定理可得2122
2(2)
k x x k ++=，121=x x ，
对于A ，利用韦达定理计算即可；
对于B ，由抛物线的焦点弦公式可知：AB =12x x p ++=244k
+
，令2423
46k +=，求解即可；对于C ，由3AF
BF =，可得12
32x x =+，进而可得213
x =，13x =，代入21222(2)
k x x k ++=，计算即可；对于D ，只需计算点M 的横坐标是否为3即可判断.
【详解】解：由题意可得(1,0)F ，0k ≠，准线方程为=1x -，所以直线l 的方程为：(1)y k x =-，
由2(1)
4y k x y x
=-⎧⎨=⎩，可得22222(2)0k x k x k -++=，所以2122
2(2)
k x x k ++=，121=x x ，
所以22
12121212(1)(1)[()1]4y y k x x k x x x x =--=-++=-，故A 正确；
由抛物线的焦点弦公式可知：AB =12
x x p ++=222
2(2)4
24k k k ++=+，令2423
46
k +=，解得k ∈∅，故B 错误；
当
3AF BF
=时，即有
121
31
x x +=+，
所以有1232x x =+，又因为121=x x ，
所以2
223210x x +-=，
解得21
3
x =或21x =-（舍），
当213x =时，13x =，所以21103x x +=，即2
22(2)103
k k +=
，解得k =，故C 正确；当8AB =时，即有2448k +=，所以21k =，所以2122
2(2)6k x x k ++==，所以,A B 中点M 的横坐标为3，
所以,A B 中点M 到y 轴的距离是3，故正确.故选：ACD.
12．
已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4，EF 是棱BC 上的一条线段，且12
EF =，点Q 是棱1AA 的中点，点P 是体对角线1BD 上的动点（包括端点），则下列结论正确的是（）
A ．存在某一位置，PQ 与EF 垂直
B ．三棱锥E PQF -体积的最大值是
2
3
C ．当PE PF ⋅
最大时，三棱锥E PQF -的外接球表面积是746π
D ．二面角P EF Q --的正切值是13
【正确答案】ABD
【分析】易知，当P 点与B 点重合时，此时PQ 与EF 垂直，即A 正确；根据几何体特征可知QEF
△的面积为定值，P 点到平面QEF 的距离最大时体积最大，可判断B ；经观察可知，当PE PF ⋅
最大时，三棱锥E PQF -的外接球球心位置难以用几何法确定，所以建立空间直角坐标系设出球心坐标，利用半径相等构造方程组解得球心坐标求出半径，即可算出球的表面积，可判断C 错误；利用几何法将二面角P EF Q --转化成平面1D BC 与平面GBC 所成的角即可求得正切值.【详解】对于A ，当P 点与B 点重合时，EF ⊥平面11ABB A ，而PQ ⊂平面11ABB A ，所以PQ 与EF 垂直，即A 正确；对于B ，如下图所示
易知BQ EF ⊥，所以1
2
QEF S BQ EF =⨯⨯ ，且为定值，
三棱锥E PQF -的体积最大时，只需满足点P 到平面QEF 的距离最大即可，取1DD 的中点为G ，则平面QEF 与平面BCGQ 是同一平面；易知，当点P 与1D 重合时，点P 到平面QEF 的距离最大，
作PH CG ⊥于H ，易知QG ⊥平面11CDD C ，所以PH 即为点P 到平面QEF 的距离，由三角形相似可得
2PH DC GH DG ==，且2224PH GH DG +==，得45
5
PH =因此三棱锥E PQF -体积1111452
25332253
QEF V S PH ==⨯⨯⨯⨯= ，
故选项B 正确；对于C ，由余弦定理得
22
22214cos 22PE PF PE PF EF PE PF PE PF EPF +-+-=∠==
，易知当PE PF ⋅
最大时，满足E 与B 重合，P 与1D
重合，如下图所示：
以A 为坐标原点建立如所示的空间直角坐标系，则1
(4,0,0),(4,,0),(0,0,2),(0,4,4),2
E F Q P 设外接球
球心坐标为(,,)
O x y z 则222222222
(2)(4)(4)(4)x y z x y z x y z ++-=-++=+-+-联立解得19113,,442x y z ===，得外接球半径为222
1911368624424R ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，
所以三棱锥E PQF -的外接球表面积是24π171.5πR =，所以C 错误；
对于D ，连接1,D C GC ，二面角P EF Q --即为平面1D BC 与平面GBC 所成的角，如下图所示：
易得1,D C BC GC BC ⊥⊥，
所以1D GC ∠即为二面角P EF Q --的平面角，由于112,D C D G CG ===由余弦定理可得222
111
1c s 2o D C CG D G D C D G G C C +-=⨯∠=⨯所以1
s in D GC =
∠11
3
tan D GC ∠=，所以二面角P EF Q --的正切值是1
3
.即选项D 正确，
故选.ABD
方法点睛：对于正方体中不规则几何体的外接球问题，可以建立空间直角坐标系设出球心坐标，利用半径相等构造方程组解得球心坐标求出半径，即可算出球的表面积或体积.三、填空题13．若2
3
a
=，3log 4b =，则ab =______________.
【正确答案】2
【分析】指数式化为对数式得到2log 3a =，再结合换底公式求出2log 42ab ==.【详解】由2
3
a
=得到2log 3a =，
故222322log 3log 32log 4
log 4log 4log 3
ab ==⋅⋅==.故2
14．德国数学家阿甘得在1806年公布了虚数的图像表示法，形成由各点都对应复数的“复平面”，后来又称“阿甘得平面”.高斯在1831年，用实数组(),a b 代表复数i a b +，并建立了复数的某些运算，使得复数的某些运算也像实数一样的“代数化”.若复数z 满足()12i 3i z ⋅+=+，则复数z 的模是
______________.
【分析】直接计算得1i z =-，根据复数模的公式即可得到答案.【详解】(12i)3i z ⋅+=+ ，()()3i 12i 3i 1i 12i 5
z ∴-+=++==-，
=
故答案为15．已知实数,x y 满足3
1,,2432
x y x y >->-+=，则
11123x y +++的最小值是______________.【正确答案】
8
11
【分析】将已知等式配凑为()()2122311x y +++=，根据
()()111112122312311123x y x y x y ⎛⎫+=++++⎡⎤ ⎪⎣⎦++++⎝⎭
，利用基本不等式可求得结果.【详解】由243x y +=得：()()2122311x y +++=，因为3
1,2
x y >->-，10x ∴+>，230y +>，
()()()()212231111112122341231112311231x y x y x y x y y x ++⎛
⎫⎛⎫∴
+=++++=++⎡⎤ ⎪ ⎪⎣⎦++++++⎝⎭⎝⎭
18
41111⎛
⎫ ⎪≥+= ⎪⎝
⎭
，当且仅当123x y +=+即71
,48
x y ==-时取等号，11123x y ∴
+++的最小值为8
11
.故答案为.
8
11
16．已知双曲线C ：()22
2210,0x y a b a b
-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过左焦点1F 的直线与双
曲线C 的左支交于M ，N 两点，且13MN MF =
，线段2MF 的中垂线恰好经过点N ，则双曲线C 的
离心率是______________.
【分析】设1MF m =
，则3MN m = ，所以122,3NF m NF m ==，再结合双曲线的定义可求出2MF ，
然后在12MF F △和12NF F △中利用余弦定理列方程可求出,a c 的关系，从而可求出离心率.【详解】设1MF m =
，则3MN m = ，12NF m =，
因为线段2MF 的中垂线恰好经过点N ，所以23MN NF m ==，所以212NF NF m a -==，
所以12MF a = ，14NF a =，26NF a =，
因为212MF MF a -=，所以24MF a =，因为1212NF F MF F π∠+∠=，所以1212cos cos 0NF F MF F ∠+∠=，
所以2
2
2
222
1122
1122
112
112
022NF F F NF MF F F MF NF F F MF F F +-+-+
=，
所以222222
1643644160
242222a c a a c a a c a c
+-+-+=⋅⋅⋅⋅2222221643688320a c a a c a +-++-=，
化简得223110c a -=，所以2211
3
c a =，
所以离心率c e a ==
故
3
四、解答题
17．从①()2cos cos c b A a B -=，②2cos 2a C c b +=，③()sin sin sin c C a A c b B -=-这三个条件中任选一个，补充到下面横线处并解答.
在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足____________.(1)求角A ；
(2)若a =，求ABC 面积的最大值.
【正确答案】(1)选①②③答案均为π
3
A =
(2)【分析】（1）选①②，利用正弦定理和正弦和角公式得到1cos 2
A =
，求出π
3A =；
选③，利用正弦定理得到222b c a bc +-=，利用余弦定理得到1cos 2
A =
，求出π
3A =；
（2）由余弦定理和基本不等式，求出12bc ≤，从而求出面积的最大值.【详解】（1）若选①，由正弦定理得：()2sin sin cos sin cos C B A A B -=，所以2sin cos sin cos sin cos C A B A A B =+，因为()sin cos sin cos sin sin B A A B A B C +=+=，所以2sin cos sin C A C =，因为()0,πC ∈，所以sin 0C ≠，所以1
cos 2
A =
，因为()0,πA ∈，所以π3
A =；
选②，由正弦定理得：2sin cos sin 2sin A C C B +=，所以2sin cos sin 2sin cos 2cos sin A C C A C A C +=+所以sin 2cos sin C A C =，因为()0,πC ∈，所以sin 0C ≠，所以1cos 2
A =
，因为()0,πA ∈，所以π3
A =；
选③，由正弦定理得：()22
c a c b b -=-，所以222b c a bc +-=，
所以2221
cos 222
b c a bc A bc bc +-===，
因为()0,πA ∈，所以π
3
A =；
（2）因为222222cos a b c bc A b c bc bc =+-=+-≥，所以12bc ≤，
所以1
sin
2
ABC S bc A =
≤△，当且仅当b c ==
所以ABC 面积的最大值为18．已知过点()1,1A 的直线被圆()22
:50C x y mx m ++-=∈R 截得的弦长的最大值为6，且点A 在
圆C 内.
(1)求实数m 的值及圆C 的标准方程；
(2)若点P 为直线:30l x y -+=上一动点，点Q 是圆C 上的动点，求PQ 长度的最小值.【正确答案】(1)4m =-，()2
229x y -+=
3-【分析】（1）由圆的方程可确定圆心和半径，根据最长弦为直径可构造方程求得m ；由点在圆内可得m 范围，进而确定m 的值，并得到圆心和半径，由此可写出圆的标准方程；
（2）根据圆的几何性质可知所求最小值为圆心到直线距离减掉半径，结合点到直线距离公式可求得结果.
【详解】（1）由圆的方程可得：圆心,02m C ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，半径r =
过点A 的最长弦为直径，26r ∴=，解得：4m =±；
又点A 在圆C 内，221150m ∴++-<，即3m <，4m ∴=-，此时圆心()2,0C ，半径3r =，∴圆C 的标准方程为()2
229x y -+=.
（2） 圆心()2,0C 到直线l 的距离d =
min 32
PQ d r ∴=-=
-.19．文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.衢州市某学校为提高学生对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，已知所有学生的竞赛成绩均位于区间[]50,100，从中随机抽取了40名学生的竞赛成绩作为样本，绘制得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求图中a 的值，并估计这40名学生竞赛成绩的平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）；
(2)利用比例分配的分层随机抽样方法，从成绩不低于80分的学生中抽取7人组成创建文明城市知识宣讲团.若从这选定的7人中随机抽取2人，求至少有1人竞赛成绩位于区间[]90,100的概率.【正确答案】(1)0.03a =，平均数74.5，中位数为75；(2)11
21
.【分析】（1）利用各小矩形的面积和为1可求0.03a =，利用组中值可求平均数，利用面积等分可求中位数.
（2）利用列举法及古典概型的概率公式可求概率.【详解】（1）由于图中所有小矩形的面积之和等于1，所以()100.0150.020.0250.011⨯++++=a ，解得0.03a =.所以样本中40名学生的竞赛成绩的平均数
550.15650.2750.3850.25950.174.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.
设这40名学生的竞赛成绩的中位数为x ，
由于前2组频率之和为0.35，前3组频率之和为0.65，
故中位数落在第3组，于是有()700.030.350.5-⨯+=x ，解得75x =.即这40名学生的竞赛成绩的中位数为75.
（2）由分层随机抽样可知，在区间[]80,90应抽取5人，记为a ，b ，c ，d ，e ，在区间[]90,100应抽取2人，记为A ，B ，
从中任取2人的所有可能结果为：(),a b ，(),a c ，(),a d ，(),a e ，(),a A ，(),a B ，(),b c ，
(),b d ，(),b e ，(),b A ，(),b B ，(),c d ，(),c e ，(),c A ，(),c B ，(),d e ，(),d A ，(),d B ，
(),e A ，(),e B ，(),A B ，共21种.
其中至少有一人测试成绩位于区间[]90,100内有：(),a A ，(),a B ，(),b A ，(),b B ，(),c A ，(),c B ，
(),d A ，(),d B ，(),e A ，(),e B ，(),A B ，共11种.
所以，至少有一人的测试成绩位于区间[]90,100内的概率为1121
.20．如图，等腰梯形ABCD 中，1
2
BC CD DA AB ===
，点M 是AB 的中点，将BCM 沿着CM 翻折到PCM △，使得平面PCM ⊥平面AMCD ，E 、F 分别为CM 、PA 的中点.
(1)求证：//EF 平面PCD ；(2)求二面角E PA D --的余弦值.【正确答案】(1)证明见解析
(2)
7
【分析】（1）取PD 中点G ，连接FG ，CG ，先证明四边形CEFG 是平行四边形，得//EF CG ，再根据线面平行的判定定理可证//EF 平面PCD ；
（2）以E 为原点，ED ，EM ，EP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，根据平面的法向量可求出结果.
【详解】（1）在等腰梯形ABCD 中，因为1
2
BC CD DA AB ===，点M 是AB 的中点，所以//AD CM 且AD CM =，
取PD 中点G ，连接FG ，CG ，则//FG AD ，1
2FG AD =，所以//FG CM ，12
FG CM =，
所以//FG CE ，FG CE =，所以四边形CEFG 是平行四边形，所以//EF CG ，因为EF ⊂/平面PCD ，CG ⊂平面PCD ，所以//EF 平面PCD .
（2）因为平面PCM ⊥平面AMCD ，PE CM ⊥，PE ⊂平面PCM ，
平面PCM ⋂平面AMCD CM =，所以PE ⊥平面AMCD ，因为DE ⊂平面AMCD ，所以PE DE ⊥，
连接DM ，则DCM △为等边三角形，故DE CM ⊥，
以E 为原点，ED ，EM ，EP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z
轴建立空间直角坐标系，如图：
设2AD =，则()0,0,0E
，)
A
，)D
，(P ，
所以)2,0EA =
，(EP = ，()0,2,0DA =
，(DP = ，
设平面PAD 的一个法向量为()
111,,m x y z =
则1110
20
m DP m DA y ⎧⋅==⎪⎨⋅==⎪⎩ ，所以1110x z y =⎧⎨=⎩，取111x z ==，则()1,0,1m = 设平面PAE 的一个法向量为()
222,,x n y z =
则222020n EP n EA y ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩
，所以222
0y z ⎧=⎪⎨⎪=⎩,取22x =
，得2y =
()
2,n =
所以cos ,7m n m n m n
⋅<>=
，
根据图形可知，该二面角为锐角，所以二面角E PA D --
的余弦值为
7
.21．已知数列{}n a 的前n 项和为n S .若对任意*N n ∈，都有()23n n S a n =-(1)求1a ，2a 的值；
(2)求证：数列32n a ⎧
⎫+⎨⎩
⎭为等比数列；
(3)记2
1
3n n n n b a a ++=
，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：1n T <.【正确答案】(1)13a =，212
a =
(2)证明见解析(3)证明见解析
【分析】（1）根据()23n n S a n =-，令1n =、2n =计算可得；
（2）根据11,1,2
n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，作差得到133n n a a -=+，即可得到133322n n a a -⎛⎫+=+ ⎝⎭，从而得证；
（3）由（2）可得()3312n n a =
-，则11
123131n n n b +⎛⎫=- ⎪--⎝⎭
，利用裂项相消法求和即可得证.【详解】（1）解：因为()23n n S a n =-，令1n =，可得()11231S a =-，解得13a =，
令2n =，可得()()21222232S a a a =+=-，解得212a =.（2）证明：当2n ≥时，()
11231n n S a n --=-+所以()()()11122331333n n n n n n n a S S a n a n a a ---=-=---+=--，即133n n a a -=+，所以133322n n a a -⎛
⎫+=+ ⎪⎝
⎭因为139022a +
=≠，所以302
n a +≠所以数列32n a ⎧⎫+⎨⎬⎩
⎭是首项为9
2，公比为3的等比数列.
（3）证明：由（2）可知139322n n a -+=⨯，所以()3312
n
n a =-所以()()()()22111133431
1293131313131314
n n n n n n n n n n n n b a a ++++++⋅⎛⎫====- ⎪----⎝⎭--所以223111111
12313131313131n n n T +
⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪⎢⎥------⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎣⎦111
12211
313131n n ++⎛⎫=-=-< ⎪---⎝⎭
22．已知椭圆C ：()22
2210x y a b a b
+=>>的长轴长为4，离心率为12，其左、右顶点分别为A 、B ，
右焦点为F .
(1)求椭圆C 的方程；
(2)如图，过右焦点F 作不与x 轴重合的直线交椭圆于C 、D 两点，直线AD 和BC 相交于点M ，求证：点M 在定直线l 上；
(3)若直线AC 与（2）中的定直线l 相交于点N ，在x 轴上是否存在点P ，使得0PM PN ⋅=
.若存在，
求出点P 坐标；若不存在，请说明理由.
【正确答案】(1)22
1
43
x y +=(2)证明见解析
(3)存在点()1,0P 或()7,0P 满足题意.
【分析】（1）根据椭圆的几何性质列式求出,a b 可得结果；
（2）设直线CD 方程为1x my =+，()11,C x y 、()22,D x y ，代入22
143
x y
+=，得到12y y +和12y y ，
写出直线AD 和BC 的方程，利用12y y +和12y y 求出点M 的横坐标，根据点M 的横坐标为定值可得点M 在定直线l 上；
（3）假设存在点()0,0P x 满足题意，求出,M N 的坐标，根据0PM PN ⋅=
求出0x 即可得解.
【详解】（1）由题可知24a =，所以2a =，由1
2
c e a =
=，得1c =，所以22413b a c =-=-=所以椭圆C 的方程为22
143
x y +=.
（2）由题可知()2,0A -，()2,0B ，()1,0F ，且直线CD 的斜率不为0，设直线CD 方程为1x my =+，()11,C x y 、()22,D x y ，由22114
3x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 得()
2234690m y my ++-=，
223636(34)0∆=++>m m 恒成立，
所以122634m y y m +=-
+，12
29
34
y y m =-+，所以121223
y y m
y y +=，所以()121223my y y y =+，所以直线AD 方程为()2222
y y x x =
++，直线BC 方程为()1122y
y x x =--，
联立()()
22112222y y x x y y x x ⎧
=+⎪+⎪
⎨⎪=-⎪-⎩
，消去y 得
()2222y x x ++()1122y x x =--，得()1212((2)22)(2)y x y x x x +=+--，
得()()()()(
)21121221222222y x y x x y x y x --+=-+--，得()()()()
12212112222222y x y x x y x y x -+--=
--+()()()()
12212112232113y my y my y my y my -+--=
--+1221214263my y y y y y -+-=
--()122121
6263y y y y y y -++-=--12
211243y y y y --=--4=，
所以点M 的横坐标为定值4，所以点M 在定直线l ：4x =上.（3）假设存在点()0,0P x 满足题意，直线AC 的方程为()1
122
y y x x =
++，由（2）可知点2264,2y M x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，1164,2y N x ⎛⎫
⎪+⎝⎭
，
则()2
2121000
212166664,4,42222y y y y PM PN x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅-=-+⋅ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭ ()()()2
22112002
2112126636443339
y y y y x x my my m y y m y y =-+
⋅=-++++++()
2
20
4x =-2
22229
363491893434
m m m m m -
++
--++()2
0490x =--=，
解得07x =或01x =，
所以存在点()1,0P 或()7,0P 满足题意.。