甘肃省兰州新区舟曲中学2016-2017学年高二上学期期末考试数学(理)试题Word版含答案

舟曲中学 2016-2017学年度第一学期期末试卷
高二年级 数学试卷（理）
卷Ⅰ
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）
1.与圆22
1x y +=及圆2
2
8120x y x +-+=都外切的圆的圆心在（ B ）
A.一个椭圆上
B.双曲线的一支上
C.一条抛物线上
D.一个圆上 2.下列命题中的真命题为（ D ）
A.,0Z x ∈∃使得 3410<<x
B.,0Z x ∈∃ 使得 0150=+x
C.01,2
=-∈∀x R x D.02,2
>++∈∀x x R x 3. 已知()1,3,a λ=-，()2,4,5b =-，若a b ⊥， 则λ= （ C ） A ．2 B ．4- C ．2- D ．3 4. 原命题“若3x ≤-，则0x <”的逆否命题是（ B ） A ．若3x <-，则0x ≤ B ．若3x >-，则0x ≥ C ．若0x <，则3x ≤- D ．若0x ≥，则3x >-
5.“双曲线渐近线方程为x y 2±=”是“双曲线方程为)0(4
2
2
≠=-λλλ为常数且y x ”的（ C ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
6. 设向量{}
,,是空间一个基底，则一定可以与向量,,-=+=构成空间的另 一个基底的向量是 （ C ） A ．a
B ．b
C ．c
D ．a 或b
7. ( D )．
A. 38. 若正三棱锥的侧面都是直角三角形，则它的侧棱与底面所成角的余弦值为（ A ）
A.
36 B.33 C.32 D. 3
1 9. 已知抛物线方程为x y 42
=，则经过它的焦点的弦的中点轨迹方程是（B ）
A.12
-=x y B.)1(22
-=x y C.2
12-
=x y D.122
-=x y 10．设点)2,1,12(++a a C 在点)4,1,8(),2,3,1(),0,0,2(--B A P 确定的平面上，则a =
（ A ）
A.16
B.4
C.2
D.8
11. 已知1210a t t =
--（，，），(2)b t t =，，则||b a -的最小值是（ C ）
12．若椭圆)0(1:112122121>>=+b a b y a x C 和椭圆)0(1:22222
2222>>=+b a b y a x C 的焦点相同且
21a a >．给出如下四个结论：
①椭圆1C 与椭圆2C 一定没有公共点 ②
2
1
21b b a a > ③2
2212221b b a a -=- ④2121b b a a -<-
其中所有正确结论的序号是（ B ）
A. ①②③
B. ①③④
C. ①②④
D.②③④
卷二
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分.共20分）
13.双曲线2
2
4640x y -+=上一点P 到它的一个焦点的距离等于1，那么点P 到另一个焦点的距离等于 17 .
14.已知21,F F 为椭圆19
252
2=+y x 的两个焦点,过1F 的直线交椭圆于B A ,两点,若12||||22=+B F A F ,则||AB = 8 .
15.空间四边形OABC 中，OA a OB b OC c ===，，. 点M 在OA 上，且OM=2MA ，点N 为BC 的中点，则MN 等于211
322
a b c -
++（用a b c ，，表示） 16.已知平面内的一条直线与平面的一条斜线的夹角为60°，这条直线与斜线在平面内的射
影的夹角为45°，则斜线与平面所成的角为45度.
三．解答题（写出必要的解答过程） 17.（本小题满分10分）
已知抛物线方程为x y 82
=，直线l 过点)4,2(P 且与抛物线只有一个公共点，求直线l 的方程.
解：由题意，直线l 斜率存在，
设l 为)2(4-=-x k y 代入抛物线得0321682
=+--k y ky
当0=k 时，满足题意，此时l 为4=y ； ---------4分 当100==∆≠k k 得时，由，此时l 为02=+-y x ---------10分 综上l 为4=y 或02=+-y x 18. （本小题满分12分）
已知椭圆
22149x y +=，一组平行直线的斜率是32
.（课本试题） （1）这组直线何时与椭圆相交？
（2） 当它们与椭圆相交时，证明这些直线被椭圆截得的线段的中点在一条直线上. 19. （本小题满分12分）
已知直线1y kx =-与双曲线2
2
4x y -=.（课本试题） （1）当它们没有公共点时，求k 取值范围; （2）如果直线与双曲线相交弦长为4，求k 的值. 20. （本小题满分12分）
已知命题p ：“方程22122
2+=-+-m m y m x 表示的曲线是椭圆”，命题q ：“方程
123
12
2+=-+-m m y m x 表示的曲线是双曲线”。

且q p ∨为真命题，q p ∧为假命题，求实数m 的取值范围.
解：若真，则⎪⎩
⎪⎨⎧-≠->+->+-m
m m m m m 2120)2)(2(0)2)(12(，得)2,1()1,21
( ∈m ---------4分
若真，则⎩
⎨
⎧≠+<--0120
)3)(1(m m m ，得
---------8分
由题意知，q p ,一真一假 若
真假，得)1,2
1
(∈m ； 若
假真，得)3,2[∈m
综上)3,2[)1,2
1( ∈m ---------12分 21. （本小题满分12分）
在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD=DC,点E 是PC 的中点，作EF ⊥PB 交PB 于点F. （课本试题） （1）求证PA//平面EDB ； （2）求二面角C-PB-D 的大小.
E
D
A
C
B
F
22.（本小题满分12分）
已知椭圆C ：22221x y a b
+=(0)a b >>的焦点和短轴端点都在圆22
4x y +=上。

（1）求椭圆C 的方程；
（2）已知点(3,2)P -，若斜率为1的直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点，试探究以AB 为底边的等腰三角形ABP 是否存在？若存在，求出直线l 的方程，若不存在，说明理由。

. 解：（Ⅰ）设椭圆C 的右焦点为(,0)F c ，由题意可得：b c =，
且2
2
8b c +=，所以2
2
4b c ==，
故2
2
2
8a b c =+=，所以，椭圆C 的方程为22
184
x y +=…………………………4分 （Ⅱ）以AB 为底的等腰三角形ABP 存在。

理由如下
设斜率为1的直线l 的方程为y x m =+，代入22
184
x y +=中， 化简得：22
34280x mx m ++-=，① ------------6分 因为直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，所以2
2
1612(28)0m m =-->，
解得m -<<② -------------8分
设1122(,),(,)A x y B x y ，则1243
m x x +=-，21228
3m x x -=；③
于是AB 的中点00(,)M x y 满足120223x x m x +=
=-，003
m
y x m =+=； 已知点P (3,2)-，若以AB 为底的等腰三角形ABP 存在， 则1PM k =-，即
002
13y x -=-+，④将2(,)33
m m M -
代入④式， 得3m
=(∈-满足② -----------------10分 此时直线l 的方程为3y x =+. -----------------12分。