向量的加法与减法

向量的加法与减法
目标：⑴掌握向量的加法的定义；能熟练运用三角形法则和平行四边形法则做几个向量的
和向量；能准确表述向量加法的交换律和结合律，并能熟练运用它们进行向量计算。

⑵培养发现问题和提出问题的能力，学会分析问题和创造地解决问题；培养学生抽象概
括能力和逻辑思维能力，培养善于独立思考的习惯
⑶激发学生学习数学的兴趣和积极性，陶冶学生的情操，培养学生坚忍不拔的意志，实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神
重点：向量加法的三角形法则和平行四边形法则，作两个向量的和向量 难点：对向量加法的定义的理解. 过程:一、复习引入
物理中怎样求两个力的合力，遵循什么法则？（平行四边形法则） 如果两个力在同一直线上呢？ 二、新课：
由以上引出向量的加法的定义（求两个向量和的运算），与向量求和的平行四边形法则 1．平行四边形法则：
由同一点A 为起点的两个已知向量b a
,为邻边作平行四边形ABCD ，则以A 为起点的向
量就是向量b a
,的和。

这种作两个向量和的方法叫做平行四边形
法则，如右图
注意：平行四边形法则对于两个向量共线时不适用。

由以上“两个力在同一直线上的合力”及“飞机从A 到B ，再改变方向从B 到C ，则两次位移的和→
→
+BC AB 应该是”引出：
2．向量和的定义：
已知向量b a ,，在平面内任取一点A ，作b a
==,，则向量叫做向量b a ,的
和。

记作：b a +;即AC BC AB b a =+=+
这种求两个向量的和向量的作法称为向量加法的三角形法则:
两个向量相加时，把一个向量的终点作为另一个向量的起点，这时前一个向量的起点到后一个向量终点的向量就是这两个向量的和向量，AC BC AB =+（两个向量“首尾”相接）
注意：1°三角形法则对于两个向量共线时也适用；
推广：①可将向量加法的三角形法则推广为多个向量相加的多边形法则：
②任何一个向量均可以写成两个任意向量之和，只要注意到这个向量的起点、终点便可，如：OB AO AB +=
练习：课本99页1、2、3、4.
由练习1让学生讨论和向量与原向量间的关系：（方向与模） 3.两向量的和向量与原向量之间的关系
⑴ a a a =+=+00
⑵ +=
⑶ 当向量b a ,不共线时，b a +的方向与b a
,不同向，且||||||b a b a +<+
⑷当向量b a ,同向时，b a +的方向与b a
,同向，且||||||b a b a +=+
当向量b a
,反向时，若||||b a >，则b a +的方向与,a 同向，且||||||b a b a -=+；
若||||b a
<，则b a +的方向与,a 反向，且||||||a b b a -=+；
4．向量的运算律：
⑴交换律：a b b a
+=+
证明：当向量b a
,不共线时,如上图，作平行四边形ABCD ，使a AB =，b AD =则b =,a =因为b a
+=+=，a b +=+=
所以a b b a +=+
当向量b a
,共线时，若a 与b 同向，由向量加法的定义知：
b a +与a 同向，且||||||b a b a
+=+
a b +与a 同向，且||||||a b a b
+=+，所以a b b a +=+
若a 与b 反向，不妨设||||b a
>，同样由向量加法的定义知：
b a +与a 同向，且||||||b a b a
-=+
a b + 与a 同向，且||||||b a b a
-=+，所以a b b a +=+ 综上，a b b a +=+
⑵结合律：)()(c b a c b a
++=++
学生自己验证。

由于向量的加法满足交换律和结合律，对于多个向量的加法运算就可以按照任意的次序与任意的组合来进行了
例如：)()()()(c a d b d c b a
+++=+++ )()]([e b c a d e d c b a
++++=++++
例1．如图，一艘船从A 点出发以h km /32的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时喝水的流速为h km /2，求船实际航行的速度的大小与方向。

解：设AD 表示船垂直于对岸的速度，表示水流的速度，以AD,AB 为邻边作平行四边形ABCD ，则就是船实际航行的速度
在ABC Rt ∆中，2||=，32||=
所以4||==
因为 6032
3
2tan =∠⇒==
∠CBA CAB 例2.已知四边形ABCD 的对角线相交于O 点，且OB DO OC AO ==,
求证：四边形ABCD是平行四边形。

证：本题主要考查向量的加法运算和用向量解决几何问题的方法。

三、小结：
⑴向量的加法的定义，向量加法的三角形法则和向量加法的平行四边形法则作两个向量的和向量；
⑵向量加法的交换律和结合律，用它们进行计算
四、作业：
课本P104 2.3.4：6（1）（2）（3）
补充：证明：对于任意给定的向量.。