2021年四川省眉山市中考数学真题试卷(学生版+解析版)

2021年四川省眉山市中考数学试卷
一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把答题卡上相应题目的正确选项涂黑.
1．（4分）6的相反数是（ ）
A ．−16
B ．16
C ．﹣6
D ．6
2．（4分）2020年7月23日，中国首次火星探测任务“天问一号”探测器在海南文昌航天
发射场由长征五号遥四运载火箭发射升空，每天基本飞行200万千米，并于2021年5月15日成功着陆预选区，火星上首次留下了中国的足迹．将200万用科学记数法表示为（ ）
A ．2×102
B ．2×106
C ．2×109
D ．0.2×107
3．（4分）下列计算中，正确的是（ ）
A ．a 5×a 3＝a 15
B ．a 5÷a 3＝a
C ．（﹣a 2b 3）4＝a 8b 12
D ．（a +b ）2＝a 2+b 2
4．（4分）如图，将直角三角板放置在矩形纸片上，若∠1＝48°，则∠2的度数为（ ）
A ．42°
B ．48°
C ．52°
D ．60°
5．（4分）正八边形中，每个内角与每个外角的度数之比为（ ）
A ．1：3
B ．1：2
C ．2：1
D ．3：1 6．（4分）化简（1+
1a−1）÷a 2a 2−1的结果是（ ） A ．a +1 B ．a+1a C ．a−1a D ．a+1
a 2
7．（4分）全民反诈，刻不容缓！陈科同学参加学校举行的“防诈骗”主题演讲比赛，五位
评委给出的分数分别为90，80，86，90，94，则这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A ．80，90
B ．90，90
C ．86，90
D ．90，94
8．（4分）我国某型号运载火箭的整流罩的三视图如图所示，根据图中数据（单位：米）计
算该整流罩的侧面积（单位：平方米）是（ ）
A．7.2πB．11.52πC．12πD．13.44π
9．（4分）已知一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两根为x1，x2，则x12﹣5x1﹣2x2的值为（）
A．﹣7B．﹣3C．2D．5
̂=3AĈ，弦CD⊥AB 10．（4分）如图，在以AB为直径的⊙O中，点C为圆上的一点，BC
于点E，弦AF交CE于点H，交BC于点G．若点H是AG的中点，则∠CBF的度数为（）
A．18°B．21°C．22.5°D．30°
11．（4分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣4x+5与y轴交于点C，则该抛物线关于点
C成中心对称的抛物线的表达式为（）
A．y＝﹣x2﹣4x+5B．y＝x2+4x+5C．y＝﹣x2+4x﹣5D．y＝﹣x2﹣4x﹣5
12．（4分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝6，∠DAC＝60°，
点F在线段AO上从点A至点O运动，连接DF，以DF为边作等边三角形DFE，点E 和点A分别位于DF两侧，下列结论：①∠BDE＝∠EFC；②ED＝EC；③∠ADF＝∠ECF；
④点E运动的路程是2√3，其中正确结论的序号为（）
A ．①④
B ．①②③
C ．②③④
D ．①②③④
二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分.请将正确答案直接填写在答题卡相应的位置上.
13．（4分）分解因式：x 3y ﹣xy ＝ ．
14．（4分）一次函数y ＝（2a +3）x +2的值随x 值的增大而减少，则常数a 的取值范围
是 ．
15．（4分）如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，分别以
点A 和点C 为圆心，大于12AC 的长为半径作弧，两弧相交于点M 和点N ，作直线MN ，交AD 于点E ，则DE 的长为 ．
16．（4分）若关于x 的不等式x +m ＜1只有3个正整数解，则m 的取值范围是 ．
17．（4分）观察下列等式：x 1=√1+
112+122=32=1+11×2； x 2=√1+
122+132=76=1+12×3； x 3=√1+
132+142=1312=1+13×4； …
根据以上规律，计算x 1+x 2+x 3+…+x 2020﹣2021＝ ．
18．（4分）如图，在菱形ABCD 中，AB ＝AC ＝10，对角线AC 、BD 相交于点O ，点M 在
线段AC 上，且AM ＝3，点P 为线段BD 上的一个动点，则MP +12PB 的最小值是 ．
三、解答题：本大题共8个小题，共78分，请把解答过程写在答题卡相应的位置上.
19．（8分）计算：（4−√3）0﹣3tan60°﹣（−12）﹣1+√12． 20．（8分）解方程组：{3x −2y +20=0①2x +15y −3=0②
． 21．（10分）吸食毒品极易上瘾，不但对人的健康危害极大，而且严重影响家庭和社会的稳
定．为了解同学们对禁毒知识的掌握情况，从我市某校1000名学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，调查评价结果分为：“了解较少”，“基本了解”，“了解较多”，“非常了解”四类，并根据调查结果绘制出如图所示的两幅不完整的统计图．
请根据统计图回答下列问题：
（1）本次抽取调查的学生共有 人，其中“了解较多”的占 %；
（2）请补全条形统计图；
（3）估计此校“非常了解”和“了解较多”的学生共有 人；
（4）“了解较少”的四名学生中，有3名学生A 1，A 2，A 3是初一学生，1名学生B 为初二学生，为了提高学生对禁毒知识的认识，对这4人进行了培训，然后从中随机抽取2人对禁毒知识的掌握情况进行检测．请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到初一、初二学生各1名的概率．
22．（10分）“眉山水街”走红网络，成为全国各地不少游客新的打卡地！游客小何用无人
机对该地一标志建筑物进行拍摄和观测，如图，无人机从A 处测得该建筑物顶端C 的俯角为24°，继续向该建筑物方向水平飞行20米到达B 处，测得顶端C 的俯角为45°，已知无人机的飞行高度为60米，则这栋建筑物的高度是多少米？（精确到0.1米，参考数据：sin24°≈25，cos24°≈910，tan24°≈920）
23．（10分）为进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，某中学以体育为突破口，准备从体育用品商场一次性购买若干个足球和篮球，用于学校球类比赛活动．每个足球的价格都相同，每个篮球的价格也相同．已知篮球的单价比足球单价的2倍少30元，用1200元购买足球的数量是用900元购买篮球数量的2倍．
（1）足球和篮球的单价各是多少元？
（2）根据学校实际情况，需一次性购买足球和篮球共200个，但要求足球和篮球的总费用不超过15500元，学校最多可以购买多少个篮球？
24．（10分）如图，直线y=3
4x+6与x轴交于点A，与y轴交于点B．直线MN∥AB，且与
△AOB的外接圆⊙P相切，与双曲线y=−30
x在第二象限内的图象交于C、D两点．
（1）求点A，B的坐标和⊙P的半径；
（2）求直线MN所对应的函数表达式；
（3）求△BCN的面积．
25．（10分）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2√5，边长为2的正方形DEFG的对角线交点与点C重合，连接AD，BE．
（1）求证：△ACD≌△BCE；
（2）当点D在△ABC内部，且∠ADC＝90°时，设AC与DG相交于点M，求AM的长；
（3）将正方形DEFG绕点C旋转一周，当点A、D、E三点在同一直线上时，请直接写
出AD的长．
26．（12分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）经过点A（﹣2，0）和点B（4，0）．
（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；
（2）点P为该抛物线上一点（不与点C重合），直线CP将△ABC的面积分成2：1两部分，求点P的坐标；
（3）点M从点C出发，以每秒1个单位的速度沿y轴移动，运动时间为t秒，当∠OCA ＝∠OCB﹣∠OMA时，求t的值．
2021年四川省眉山市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把答题卡上相应题目的正确选项涂黑.
1．（4分）6的相反数是（）
A．−1
6B．
1
6
C．﹣6D．6
【解答】解：相反数指的是两个数符号不同但绝对值相同，所以6的相反数为﹣6．故选：C．
2．（4分）2020年7月23日，中国首次火星探测任务“天问一号”探测器在海南文昌航天发射场由长征五号遥四运载火箭发射升空，每天基本飞行200万千米，并于2021年5月15日成功着陆预选区，火星上首次留下了中国的足迹．将200万用科学记数法表示为（）
A．2×102B．2×106C．2×109D．0.2×107
【解答】解：200万＝2000000＝2×106，
故选：B．
3．（4分）下列计算中，正确的是（）
A．a5×a3＝a15B．a5÷a3＝a
C．（﹣a2b3）4＝a8b12D．（a+b）2＝a2+b2
【解答】解:a5•a3＝a8，故A项不符合题意；
a5÷a3＝a2，故B项不符合题意；
（﹣a2b3）4＝a8b12，故C项符合题意；
（a+b）2＝a2+2ab+b2，故D项不符合题意；
故选：C．
4．（4分）如图，将直角三角板放置在矩形纸片上，若∠1＝48°，则∠2的度数为（）
A ．42°
B ．48°
C ．52°
D ．60°
【解答】解：如图，延长AB 交矩形纸片于D ，
∴∠3＝∠1＝48°，
∴∠2＝180°﹣90°﹣48°＝42°．
故选：A ．
5．（4分）正八边形中，每个内角与每个外角的度数之比为（ ）
A ．1：3
B ．1：2
C ．2：1
D ．3：1
【解答】解：这个八边形的内角和为：
（8﹣2）×180°＝1080°；
这个八边形的每个内角的度数为：
1080°÷8＝135°；
这个八边形的每个外角的度数为：
360°÷8＝45°；
∴这个八边形每个内角与每个外角的度数之比为：
135:45＝3:1．
故选：D ．
6．（4分）化简（1+
1a−1）÷a 22的结果是（ ） A ．a +1 B ．a+1a C ．a−1a D ．a+1
a 2
【解答】解：原式=a−1+1a−1⋅
(a+1)(a−1)a 2
=a+1a ，
故选：B ． 7．（4分）全民反诈，刻不容缓！陈科同学参加学校举行的“防诈骗”主题演讲比赛，五位
评委给出的分数分别为90，80，86，90，94，则这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A．80，90B．90，90C．86，90D．90，94
【解答】解：将数据重新排列为80，86，90，90，94，
所以这组数据的中位数是90，众数为90，
故选：B．
8．（4分）我国某型号运载火箭的整流罩的三视图如图所示，根据图中数据（单位：米）计算该整流罩的侧面积（单位：平方米）是（）
A．7.2πB．11.52πC．12πD．13.44π
【解答】解：观察图形可知：
圆锥母线长为：√(2.4
2
)2+1．62=2（米），
所以该整流罩的侧面积为：π×2.4×4+π×(2.4÷2)×2＝12π（平方米）．
答：该整流罩的侧面积是12π平方米．
故选：C．
9．（4分）已知一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两根为x1，x2，则x12﹣5x1﹣2x2的值为（）A．﹣7B．﹣3C．2D．5
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两根为x1，x2，
∴x12﹣3x1＝﹣1，x1+x2＝3，
∴x12﹣5x1﹣2x2＝x12﹣3x1﹣2（x1+x2）＝﹣1﹣2×3＝﹣7．
故选：A．
10．（4分）如图，在以AB为直径的⊙O中，点C为圆上的一点，BC
̂=3AĈ，弦CD⊥AB 于点E，弦AF交CE于点H，交BC于点G．若点H是AG的中点，则∠CBF的度数为（）
A．18°B．21°C．22.5°D．30°
【解答】解：∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ABC+∠CAB＝90°，
̂=3AĈ，
∵BC
∴∠CAB＝3∠ABC，
∴∠ABC＝22.5°，∠CAB＝67.5°，
∵CD⊥AB，
∴∠ACE＝22.5°，
∵点H是AG的中点，∠ACB＝90°，
∴AH＝CH＝HG，
∴∠CAH＝∠ACE＝22.5°，
∵∠CAF＝∠CBF，
∴∠CBF＝22.5°，
故选：C．
11．（4分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣4x+5与y轴交于点C，则该抛物线关于点C成中心对称的抛物线的表达式为（）
A．y＝﹣x2﹣4x+5B．y＝x2+4x+5C．y＝﹣x2+4x﹣5D．y＝﹣x2﹣4x﹣5【解答】解：由抛物线y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）²+1知，抛物线顶点坐标是（2，1）．由抛物线y＝x2﹣4x+5知，C（0，5）．
∴抛物线y＝x2﹣4x+5的顶点坐标是（﹣2，9）．
∴该抛物线关于点C成中心对称的抛物线的表达式为：y＝﹣（x+2）²+9＝﹣x²﹣4x+5．故选：A．
12．（4分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝6，∠DAC＝60°，点F在线段AO上从点A至点O运动，连接DF，以DF为边作等边三角形DFE，点E
和点A 分别位于DF 两侧，下列结论：①∠BDE ＝∠EFC ；②ED ＝EC ；③∠ADF ＝∠ECF ；④点E 运动的路程是2√3，其中正确结论的序号为（ ）
A ．①④
B ．①②③
C ．②③④
D ．①②③④
【解答】解：①∵∠DAC ＝60°，OD ＝OA ， ∴△OAD 为等边三角形，
∴∠DOA ＝∠DAO ＝∠ODA ＝60°，AD ＝OD ， ∵△DFE 为等边三角形，
∴∠EDF ＝∠EFD ＝∠DEF ＝60°，DF ＝DE ， ∵∠BDE +∠FDO ＝∠ADF +∠FDO ＝60°， ∴∠BDE ＝∠ADF ，
∵∠ADF +∠AFD +∠DAF ＝180°， ∴∠ADF +∠AFD ＝180°﹣∠DAF ＝120°， ∵∠EFC +∠AFD +∠DFE ＝180°， ∴∠EFC +∠AFD ＝180°﹣∠DFE ＝120°， ∴∠ADF ＝∠EFC ， ∴∠BDE ＝∠EFC ， 故结论①正确； ②如图，连接OE ， 在△DAF 和△DOE 中， {AD =OD
∠ADF =∠ODE DF =DE
， ∴△DAF ≌△DOE (SAS )， ∴∠DOE ＝∠DAF ＝60°，
∵∠COD ＝180°﹣∠AOD ＝120°，
∴∠COE ＝∠COD ﹣∠DOE ＝120°﹣60°＝60°， ∴∠COE ＝∠DOE ，
在△ODE 和△OCE 中， {OD =OC
∠DOE =∠COE OE =OE
， ∴△ODE ≌△OCE (SAS )， ∴ED ＝EC ，∠OCE ＝∠ODE ， 故结论②正确； ③∵∠ODE ＝∠ADF ，
∴∠ADF ＝∠OCE ，即∠ADF ＝∠ECF ， 故结论③正确；
④如图，延长OE 至E ′，使OE ′＝OD ，连接DE ′， ∵△DAF ≌△DOE ，∠DOE ＝60°，
∴点F 在线段AO 上从点A 至点O 运动时，点E 从点O 沿线段OE ′运动到E ′， ∵OE ′＝OD ＝AD ＝AB •tan ∠ABD ＝6•tan30°＝2√3， ∴点E 运动的路程是2√3， 故结论④正确； 故选：D ．
二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分.请将正确答案直接填写在答题卡相应的位置上.
13．（4分）分解因式：x 3y ﹣xy ＝ xy （x +1）（x ﹣1） ． 【解答】解：原式＝xy （x 2﹣1）＝xy （x +1）（x ﹣1）， 故答案为：xy （x +1）（x ﹣1）
14．（4分）一次函数y ＝（2a +3）x +2的值随x 值的增大而减少，则常数a 的取值范围是 a ＜−
3
2
． 【解答】解：∵一次函数y ＝（2a +3）x +2的值随x 值的增大而减少，
∴2a +3＜0，解得a ＜−32
． 故答案为：a ＜−3
2
．
15．（4分）如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，分别以点A 和点C 为圆心，大于1
2AC 的长为半径作弧，两弧相交于点M 和点N ，作直线MN ，
交AD 于点E ，则DE 的长为
78
．
【解答】解：如图所示：连接EC , 由作图方法可得：MN 垂直平分AC , 则AE ＝EC ,
∵AB ＝AC ＝5，BC ＝6，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ， ∴BD ＝DC ＝3,AD ⊥BC ,
在Rt △ABD 中，AD =√AB 2−BD 2=√52−32=4, 设DE ＝x ,则AE ＝EC ＝4﹣x , 在Rt △EDC 中， DE 2+DC 2＝EC 2, 即x 2+32＝(4﹣x )2, 解得：x =7
8, 故DE 的长为78．
故答案为：7
8
．
16．（4分）若关于x的不等式x+m＜1只有3个正整数解，则m的取值范围是﹣3≤m＜2．
【解答】解：解不等式x+m＜1得：x＜1﹣m，
根据题意得：3＜1﹣m≤4，
即﹣3≤m＜2,
故答案是：﹣3≤m＜2．
17．（4分）观察下列等式：x1=√1+1
12
+1
22
=32=1+11×2；
x2=√1+1
22
+1
32
=76=1+12×3；
x3=√1+1
32
+1
42
=1312=1+13×4；
…
根据以上规律，计算x1+x2+x3+…+x2020﹣2021＝−
1 2021．
【解答】解：∵x1=√1+1
12
+1
22
=32=1+11×2；
x2=√1+1
22
+1
32
=76=1+12×3；
x3=√1+1
32
+1
42
=1312=1+13×4；
…
∴x1+x2+x3+…+x2020﹣2021＝1+
1
1×2
+1+12×3+1+13×4+⋯+1+1
2020×2021
−2021＝
2020+1−1
2
+12−13+13−14+⋯1
2020
−1
2021
−2021=−1
2021，
故答案为：−
1 2021．
18．（4分）如图，在菱形ABCD中，AB＝AC＝10，对角线AC、BD相交于点O，点M在
线段AC上，且AM＝3，点P为线段BD上的一个动点，则MP+1
2PB的最小值是
7√3
2
．
【解答】解：如图，过点P 作PE ⊥BC 于E ，
∵四边形ABCD 是菱形，AB ＝AC ＝10， ∴AB ＝BC ＝AC ＝10，∠ABD ＝∠CBD ， ∴△ABC 是等边三角形， ∴∠ABC ＝∠ACB ＝60°， ∴∠CBD ＝30°， ∵PE ⊥BC ， ∴PE =1
2PB ，
∴MP +1
2PB ＝PM +PE ，
∴当点M ，点P ，点E 共线且ME ⊥BC 时，PM +PE 有最小值为ME ， ∵AM ＝3， ∴MC ＝7，
∵sin ∠ACB =ME
MC =√3
2， ∴ME =
7√3
2， ∴MP +12
PB 的最小值为7√3
2
， 故答案为
7√3
2
． 三、解答题：本大题共8个小题，共78分，请把解答过程写在答题卡相应的位置上. 19．（8分）计算：（4−√3）0﹣3tan60°﹣（−1
2）﹣
1+√12．
【解答】解：原式＝1﹣3×√3−（﹣2）+2√3 ＝1−3√3+2+2√3 ＝3−√3．
20．（8分）解方程组：{3x −2y +20=0①
2x +15y −3=0②
．
【解答】解：方程组整理得：{3x −2y =−20①
2x +15y =3②，
①×15+②×2得：49x ＝﹣294， 解得：x ＝﹣6，
把x ＝﹣6代入②得：y ＝1， 则方程组的解为{x =−6
y =1
．
21．（10分）吸食毒品极易上瘾，不但对人的健康危害极大，而且严重影响家庭和社会的稳定．为了解同学们对禁毒知识的掌握情况，从我市某校1000名学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，调查评价结果分为：“了解较少”，“基本了解”，“了解较多”，“非常了解”四类，并根据调查结果绘制出如图所示的两幅不完整的统计图．
请根据统计图回答下列问题：
（1）本次抽取调查的学生共有 50 人，其中“了解较多”的占 30 %； （2）请补全条形统计图；
（3）估计此校“非常了解”和“了解较多”的学生共有 780 人；
（4）“了解较少”的四名学生中，有3名学生A 1，A 2，A 3是初一学生，1名学生B 为初二学生，为了提高学生对禁毒知识的认识，对这4人进行了培训，然后从中随机抽取2人对禁毒知识的掌握情况进行检测．请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到初一、初二学生各1名的概率．
【解答】解：（1）本次抽取调查的学生共有4÷8%＝50（人）， “了解较多”的所占的百分比是：1550
×100%＝30%．
故答案为：50，30；
（2）“基本了解”的人数为50﹣（24+15+4）＝7（人）， 补全图形如下：
（3）1000×
24+15
50
=780（人）， 答：估计此校“非常了解”和“了解较多”的学生共有780人． 故答案为：780；
（4）列表如下： A 1 A 2 A 3 B A 1 （A 2，A 1）
（A 3，A 1） （B ，A 1） A 2 （A 1，A 2） （A 3，A 2）
（B ，A 2） A 3 （A 1，A 3） （A 2，A 3） （B ，A 3）
B
（A 1，B ）
（A 2，B ）
（A 3，B ）
共有12种可能的结果，恰好抽到初一、初二学生各1名的有6种， 则恰好抽到初一、初二学生各1名的概率为
612
=1
2
．
22．（10分）“眉山水街”走红网络，成为全国各地不少游客新的打卡地！游客小何用无人机对该地一标志建筑物进行拍摄和观测，如图，无人机从A 处测得该建筑物顶端C 的俯
角为24°，继续向该建筑物方向水平飞行20米到达B 处，测得顶端C 的俯角为45°，已知无人机的飞行高度为60米，则这栋建筑物的高度是多少米？（精确到0.1米，参考数据：sin24°≈2
5，cos24°≈9
10，tan24°≈9
20）
【解答】解：过C 作CF ⊥AD 于F ，如图所示： 则AF ＝CE ，
由题意得：AB ＝20米，∠AEC ＝90°，∠CAE ＝24°，∠CBE ＝45°， ∴△BCE 是等腰直角三角形， ∴BE ＝CE ，
设BE ＝CE ＝x 米，则AF ＝x 米，
在Rt △ACE 中，tan ∠CAE =CE
AE =tan24°≈9
20， ∴AE =20
9x 米， ∵AE ﹣BE ＝AB ， ∴
209
x ﹣x ＝20，
解得：x ≈16.4， ∴AF ≈16.4（米），
∴DF ＝AD ﹣AF ＝60﹣16.4＝43.6（米）， 即这栋建筑物的高度为43.6米．
23．（10分）为进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，某中学以体育为突破口，准备从体育用品商场一次性购买若干个足球和篮球，用于学校球类比赛活动．每个足球的价格都相同，每个篮球的价格也相同．已知篮球的单价比足球单价的2倍少30元，用1200元购买足球的数量是用900元购买篮球数量的2倍． （1）足球和篮球的单价各是多少元？
（2）根据学校实际情况，需一次性购买足球和篮球共200个，但要求足球和篮球的总费用不超过15500元，学校最多可以购买多少个篮球？
【解答】解：（1）设足球的单价是x 元，则篮球的单价是（2x ﹣30）元， 依题意得：
1200x
=2×
900
2x−30
， 解得：x ＝60，
经检验，x ＝60是原方程的解，且符合题意， ∴2x ﹣30＝90．
答：足球的单价是60元，篮球的单价是90元．
（2）设学校可以购买m 个篮球，则可以购买（200﹣m ）个足球， 依题意得：90m +60(200﹣m )≤15500， 解得：m ≤350
3． 又∵m 为正整数，
∴m 可以取的最大值为116． 答：学校最多可以购买116个篮球．
24．（10分）如图，直线y =3
4x +6与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ．直线MN ∥AB ，且与△AOB 的外接圆⊙P 相切，与双曲线y =−30
x 在第二象限内的图象交于C 、D 两点． （1）求点A ，B 的坐标和⊙P 的半径；
（2）求直线MN所对应的函数表达式；（3）求△BCN的面积．
【解答】解：（1）对于y=3
4x+6，令y=
3
4x+6＝0，解得x＝﹣8，令x＝0，则y＝6，
故点A、B的坐标分别为（﹣8,0）、（0,6），∵∠AOB为直角，则AB是圆P的直径，由点A、B的坐标得：AB=√62+82=10，
故圆的半径=1
2AB＝5；
（2）过点N作HN⊥AN于点H，设直线MN与圆P切于点G，
连接PG，则HN＝PG＝5，
则sin∠NBH＝sin∠ABO=AO
AB
=810=45,
在Rt△NHB中，NB=
NH
sin∠NBH
=54
5
=254，
即直线AB 向上平移254个单位得到MN ，
故MN 的表达式为y =34x +6+254=34x +494；
（3）联立MN 的表达式和反比例函数表达式并整理得：3x 2+49x +120＝0，
解得：x ＝﹣3或−403，
故点C 的坐标为（﹣3,10），
由点C 、N 的坐标得：CN =√(−3)2+(10−6)2=5，
则△BCN 的面积=12CN •NH =12×5×5=252． 25．（10分）如图，在等腰直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝2√5，边长为2
的正方形DEFG 的对角线交点与点C 重合，连接AD ，BE ．
（1）求证：△ACD ≌△BCE ；
（2）当点D 在△ABC 内部，且∠ADC ＝90°时，设AC 与DG 相交于点M ，求AM 的长；
（3）将正方形DEFG 绕点C 旋转一周，当点A 、D 、E 三点在同一直线上时，请直接写出AD 的长．
【解答】解：（1）如图1，∵四边形DEFG 是正方形，
∴∠DCE ＝90°，CD ＝CE ；
∵∠ACB ＝90°，
∴∠ACD ＝∠BCE ＝90°﹣∠BCD ，
在△ACD 和△BCE 中，
{AC =BC ∠ACD =∠BCE CD =CE
，
∴△ACD ≌△BCE （SAS ）．
（2）如图1，过点M 作MH ⊥AD 于点H ，则∠AHM ＝∠DHM ＝90°．
∵∠DCG ＝90°，CD ＝CG ，
∴∠CDG ＝∠CGD ＝45°，
∴∠ADC ＝90°，
∴∠MDH ＝90°﹣45°＝45°，
∴MH ＝DH •tan45°＝DH ；
∵CD ＝DG •sin45°＝2×√22=√2，AC ＝2√5，
∴AD =√(2√5)2−(√2)2=3√2，
∴MH AH =CD AD =tan ∠CAD =√2
32=13
， ∴AH ＝3MH ＝3DH ，
∴3DH +DH ＝3√2；
∴MH ＝DH =3√24，
∵MH AM =CD
AC =sin ∠CAD =√2
25=110， ∴AM =√10MH =√10×3√24=3√5
2．
（3）如图3，A 、D 、E 三点在同一直线上，且点D 在点A 和点E 之间．
∵CD ＝CE ＝CF ，∠DCE ＝∠ECF ＝90°，
∴∠CDE ＝∠CED ＝∠CEF ＝∠CFE ＝45°；
由△ACD ≌△BCE ，得∠BEC ＝∠ADC ＝135°，
∴∠BEC +∠CEF ＝180°，
∴点B 、E 、F 在同一条直线上，
∴∠AEB ＝90°，
∵AE 2+BE 2＝AB 2，且DE ＝2，AD ＝BE ，
∴（AD +2）2+AD 2＝（2√5）2+（2√5）2，
解得AD =√19−1或AD =−√19−1（不符合题意，舍去）；
如图4，A 、D 、E 三点在同一直线上，且点D 在AE 的延长线上．
∵∠BCF ＝∠ACE ＝90°﹣∠ACF ，BC ＝AC ，CF ＝CE ，
∴△BCF ≌△ACE （SAS ），
∴∠BFC ＝∠AEC ，
∵∠CFE ＝∠CED ＝45°，
∴∠BFC+∠CFE＝∠AEC+∠CED＝180°，
∴点B、F、E在同一条直线上；
∵AC＝BC，∠ACD＝∠BCE＝90°+∠ACE，CD＝CE，∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE；
∵AE2+BE2＝AB2，
∴（AD﹣2）2+AD2＝（2√5）2+（2√5）2，
解得AD=√19+1或AD=√19−1（不符合题意，舍去）．综上所述，AD的长为√19−1或√19+1．
26．（12分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）经过点A（﹣2，0）和点B（4，0）．
（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；
（2）点P为该抛物线上一点（不与点C重合），直线CP将△ABC的面积分成2：1两部分，求点P的坐标；
（3）点M从点C出发，以每秒1个单位的速度沿y轴移动，运动时间为t秒，当∠OCA ＝∠OCB﹣∠OMA时，求t的值．
【解答】解：（1）设抛物线的表达式为y＝a（x﹣x1）（x﹣x2），
则y ＝a （x +2）（x ﹣4）＝ax 2﹣2ax ﹣8a ，
即﹣8a ＝4，解得a =−12，
故抛物线的表达式为y =−12x 2+x +4①；
（2）由点A 、B 的坐标知，OB ＝2OA ,
故CO 将△ABC 的面积分成2：1两部分，此时，点P 不在抛物线上；
如图1，当BH =13AB ＝2时，CH 将△ABC 将△ABC 的面积分成2：1两部分， 即点H 的坐标为（2,0），
则CH 和抛物线的交点即为点P ，
由点C 、H 的坐标得，直线CH 的表达式为y ＝﹣2x +4②，
联立①②并解得{x =6y =−8
（不合题意的值已舍去）， 故点P 的坐标为（6，﹣8）；
（3）在点OB 上取点E （2,0），则∠ACO ＝∠OCE ，
∵∠OCA ＝∠OCB ﹣∠OMA ，故∠AMO ＝∠ECB ，
过点E 作EH ⊥BC 于点H ，
在△BCE中，由OB＝OC知，∠OBC＝45°，
则EH=√2
2EB=
√2
2（4﹣2）=√2=BH，
由点B、C的坐标知，BC＝4√2，
则CH＝BC＝BH＝4√2−√2=3√2，
则tan∠ECB=EH
CH
=√2
32
=13=tan∠AMO，
则tan∠AMO=AO
OM
=2OM=13,
则OM＝6,
故CM＝OM﹣OC＝6﹣4＝2,则t＝2÷1＝2．。