河南省南阳市六校2018-2019学年高二下学期第一次联考数学(理)试题(解析版)

南阳市六校2019年春期第一次联考
高二数学（理科）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.（）
A. 4
B. 2
C. 1
D. 0
【答案】A
【解析】
分析：直接利用微积分基本定理求解即可.
详解：，故选A.
点睛：本题主要考查定积分的求法，意在考查对基本定理的掌握情况，属于简单题.
2.复数（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据复数除法法则运算即可.
【详解】因为，所以选D.
【点睛】本题考查复数运算，考查基本求解能力，属基础题.
3.平面直角坐标系中任意一条直线可以用一次方程：来表示，若轴，则
；若轴，则.类似地，空间直角坐标系中任意一个平面可以用一次方程
来表示，若平面，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
分析：根据类比推理可得时，平面.
详解：平面直角坐标系中任意一条直线可以用一次方程：来表示，若轴，
则；若轴，则.类似地，空间直角坐标系中任意一个平面可以用一次方程
来表示，若平面，利用类比推理可得，故选C.
点睛：本题主要考查类比推理，属于中档题.类比推理问题，常见的类型有：（1）等差数列与等比数列的类比；（2）平面与空间的类比；（3）椭圆与双曲线的类比；（4）复数与实数的类比；（5）向量与实数的类比.
4.用反证法证明“实数中至少有一个不小于”时，反设正确的是（）
A. 三式都小于
B. 三式都不小于
C. 三式中有一个小于
D. 三式中有一个不小于
【答案】A
【解析】
【分析】
根据对结论的否定进行反设.
【详解】因为“至少有一个不小于”的否定是“都小于”，选A.
【点睛】本题考查反证法，考查基本分析判断能力，属基础题.
5.电脑上显示，按这种规律往下排，那么第个图形应该是（）
A. 三角形
B. 圆形
C. 三角形可能性大
D. 圆形可能性大
【答案】A
【解析】
【分析】
根据规律确定选项.
【详解】这列图形的规律是和交替出现，每次出现的个数递增一个，每次出现一个，因为
，所以第个图形是.选A.
【点睛】本题考查数列规律与等差数列求和，考查基本分析求解能力，属基础题.
6.某质点的运动方程（位移和时间的关系）为，则该质点运动的加速度的大小为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据加速度为速度的导数，速度为位移的导数，即可得结果.
【详解】由得所以选C.
【点睛】本题考查导数在物理上应用，考查基本分析求解能力，属基础题.
7.对于函数，下列说法正确的是（）
A. 有极小值
B. 有最大值
C. 有最小值
D. 有最大值
【答案】D
【解析】
【分析】
先求导数，再根据导函数零点讨论函数单调性，最后根据单调性确定极值与最值.
【详解】由题意得，由得，由得，故在上递增，在上递减，所以有极大值，也是最大值，最大值为,无极小值和最小值，选 D.
【点睛】本题考查利用导数求极值与最值，考查基本分析求解能力，属基础题.
8.已知复数满足，则其共轭复数在复平面内对应的点的坐标为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先根据复数的模的定义化简，再根据共轭复数概念以及复数几何意义得结果.
【详解】因为，所以，故在复平面内对应的点为,选B.
【点睛】本题考查复数的模、共轭复数概念与复数几何意义，考查基本分析求解能力，属基础题.
9.已知为实数，若，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先根据复数除法法则化简，再根据复数相等得结果.
【详解】因为，所以，即选B. 【点睛】本题考查复数除法法则与复数相等，考查基本分析求解能力，属基础题.
10.曲线上的点到直线的最短距离是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先求与平行且与相切的切线切点，再根据点到直线距离公式得结果.
【详解】设与平行的直线与相切，则切线斜率
，由得，当时，，即切点坐标为，则点到直线的距离是曲线上的点到直线的最短距离，
点到直线的距离为
曲线上的点到直线的距离的最小值为选C.
【点睛】本题考查导数几何意义与点到直线距离公式，考查基本分析求解能力，属基础题.
11.已知函数的图象与直线相切于点，则（）
A. 16
B. 8
C. 4
D. 2
【答案】B
【解析】
分析：求出导函数，由导数的几何意义求解.
详解：，∴，消去得.
故选B.
点睛：函数的图象上在点处的切线方程是，要注意若是过点的切线，则方法是可设切点为，求出切线方程为，利用切线过点求出切点，得切线方程.
12.设函数是上可导的偶函数，且，当，满足，则的解集为（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先构造函数，再利用函数单调性解不等式.
【详解】令，因为函数在上是可导的偶函数，所以在上也是偶函数
又当时，在上是增函数
由得
选B.
【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性以及利用函数性质解不等式，考查综合分析求解能力，属中档题.
二、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分.
13.复数的虚部为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据复数除法法则化简即得结果.
【详解】因为，所以虚部为.
【点睛】本题考查复数除法法则与虚部概念，考查基本分析求解能力，属基础题.
14.一次月考数学测验结束后，四位同学对完答案后估计分数，甲：我没有得满分；乙：丙得了满分；丙：丁得了满分；丁：我没有得满分.以上四位同学中只有一个人说的是真话，只有一个人数学得到满分，据此判断，得了满分的同学是_________．
【答案】甲
【解析】
分析：本题考查推理，解题时可假设其中1人说真话，然后逐个推理其他人说的话是否都是假话以及满分的是否是只有1人，从而得出结论．
详解：分析四人说的话，丙、丁两人一定是一真一假，若丙是真话，则甲也是真话，矛盾，只有丁是真话，此时甲、乙、丙都是假话，甲是满分．
故答案为甲．
点睛：本题考查推理问题，我们常用的推理有合情和演绎推理，其中合情推理包含归纳类比推理两种．
⑴合情推理:归纳推理和类比推理都是根据已有事实,经过观察、分析、比较、联想,在进行归纳、类比,然后提出猜想的推理,我们把它们称为合情推理。

①归纳推理:由某类食物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者有个别事实概括出一般结论的推理,称为归纳推理,简称归纳。

注:归纳推理是由部分到整体,由个别到一般的推理。

②类比推理:由两类对象具有类似和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理,称为类比推理,简称类比。

注:类比推理是特殊到特殊的推理。

⑵演绎推理:从一般的原理出发,推出某个特殊情况下的结论,这种推理叫演绎推理。

注:演绎推理是由一般到特殊的推理。

"三段论"是演绎推理的一般模式,包括:⑴大前提---------已知的一般结论;⑵小前提---------所研究的特殊情
况;⑶结论---------根据一般原理,对特殊情况得出的判断
15.以曲线为曲边的曲变形（如下图阴影部分）的面积为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
先确定可积区间，再利用定积分求解.
【详解】由图可知可积区间分为，
由定积分的几何意义知，曲边形面积.
【点睛】本题考查利用定积分求面积，考查基本分析求解能力，属基础题.
16.设，有，，，根据
以上规律，则函数，的极小值之积为__________．
【答案】
【解析】
分析：的极小值为；，的极小值为
；…，由此归纳可得的极小值,从而可得结果.
详解：，
，
，
时，为负，时，为正,
所以的极小值为；
，
时，为负，时，为正,
所以的极小值为；
由此归纳可得的极小值，
所以函数的极小值之积为：
，故答案为.
点睛：求函数极值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数；(3) 解方程求出函数定义域内的所有根；(4) 判断在的根左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么在处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么在处取极小值.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知，复数.
（1）若为实数，求的最小值；
（2）若在复平面内对应的点在第三象限，求的取值范围.
【答案】（1）12；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据复数为实数列式求解得，再根据模的定义分别求解，取最大值.（2）根据复数对应点在第三象限列不等式，解得结果.
【详解】（1）因为为实数，及，解得或
若，；若，故的最小值为
（2）由得或
所以的取值范围是
【点睛】本题考查复数有关概念以及复数几何意义，考查基本分析求解能力，属基础题.
18.观察下列等式：
，
，
，
，
……
（1）依照上述4个式子的规律，归纳出第个等式；
（2）用数学归纳法证明上述第个等式.
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
分析：(1)根据归纳推理，找出前个式子的共同规律，可得第个等式为
；（2）直接根据数学归纳基本原理证明即可，证明过程注意利用归纳假设.
详解： (1)第个等式为
（2）要证明的等式即
（i）当时，等号显然成立
（ii）假设时，等号成立，
则当时，
所以假设成立，
综上，.
点睛：本题主要考查归纳推理的应用以及数学归纳法证明等式，属于难题.利用数学归纳法证明结论的步骤是:(1)验证时结论成立；（2）假设时结论正确，证明时结论正确（证明过程一定要用假设结论）；（3）得出结论.
19.已知函数在区间上为减函数.
（1）求的取值范围；
（2）当时，方程有几个不同的实根？说明理由.
【答案】（1）；（2）3
【解析】
分析：（1）求出导函数，题意说明在上恒成立，利用二次函数的性质可得的范围；
（2）求出，得出的极值，画出函数的大致图象可得零点个数．
详解：（1），因为在区间上为减函数，
所以在区间上恒成立，
所以即
解之得，所以的取值范围是
（2）因为，所以
令，得或
，随的变化情况如下表：
画出函数的大致图象（略）易知方程有3个不同的实根.
点睛：对函数而言，解不等式可得增区间，解不等式得减区间，在两侧的区间是一增一减时，是的极值点．
20.在平行六面体中，,。

求证：（1）；
（2）．
【答案】（1）见解析（2）见解析
【解析】
分析：（1）先根据平行六面体得线线平行，再根据线面平行判定定理得结论；（2）先根据条件得菱形ABB1A1，再根据菱形对角线相互垂直，以及已知垂直条件，利用线面垂直判定定理得线面垂直，最后根据面面垂直判定定理得结论.
详解：
证明：（1）在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB∥A1B1．
因为AB平面A1B1C，A1B1平面A1B1C，
所以AB∥平面A1B1C．
（2）在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，四边形ABB1A1为平行四边形．
又因为AA1=AB，所以四边形ABB1A1为菱形，
因此AB1⊥A1B．
又因为AB1⊥B1C1，BC∥B1C1，
所以AB1⊥BC．
又因为A1B∩BC=B，A1B平面A1BC，BC平面A1BC，
所以AB1⊥平面A1BC．
因为AB1平面ABB1A1，
所以平面ABB1A1⊥平面A1BC．
点睛：本题可能会出现对常见几何体的结构不熟悉导致几何体中的位置关系无法得到运用或者运用错误，如柱体的概念中包含“两个底面是全等的多边形，且对应边互相平行，侧面都是平行四边形”，再如菱形对角线互相垂直的条件，这些条件在解题中都是已知条件，缺少对这些条件的应用可导致无法证明.
21.已知函数.
（1）求的单调区间；
（2）证明：.
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）先求导数，再按导函数零点讨论单独区间，（2）先利用导数研究单调性，得其最小值，根据最小值证得；再由（1）得，即得.
【详解】（1）
因为，所以，所以当时，；当时，.
所以的单调递减区间为，单调递增区间为.
（2）令，则.
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
所以.
故.
由（1）知在上单调递减，在上单调递增，
所以，即.
因为，所以上述不等式可化为.
综上，.
【点睛】本题考查利用导数求函数单调区间与证不等式，考查综合分析求解能力，属中档题.
22.设，函数，函数.
（1）讨论的单调性；
（2）当时，不等式恒成立，求的最小值.
【答案】（1）见解析；（2）2
【解析】
分析：（1）求出，分三种情况讨论的范围，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（2）令，利用导数研究函数的单调性，可得当时，关于的不等式不能恒成立，当时，函数的最大值为
，因为，又易知在是减函数,所以当时，,从而可得结果.
详解：（1）函数的定义域是，，
当时，，所以在区间上为减函数，
当时，令，则，当时，，为减函数，
当时，，为增函数，
所以当时，在区间上为减函数；当时，在区间上为减函数，在区间为增函数.
（2）令，
所以
当时，因为，所以，
所以在上是增函数，又因为
所以关于的不等式不能恒成立
当时，
令，得
当时，；当时，
因此函数在是增函数，在是减函数.
故函数的最大值为
令（），因为，
又易知在是减函数
所以当时，
所以整数的最小值为2.
点睛：本题是以导数的运用为背景的函数综合题，主要考查了函数思想，化归思想，抽象概括能力，综合分析问题和解决问题的能力，属于较难题，近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一定有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合。