解读特殊背景中三角函数的求法

Ｃ ． 三
４
Ｄ．— ４
— 一
图 ３
图 ５
３
【 分析 】 图中的背 景 比较 多 ， 是前 三种
１ ４
Ｔ ｎ ｔ ｅ ｌ Ｉ ｉ ｇ ｅ ｎ ｔ ｍａ ｔ ｈ ｅ ｍａ ｔ ｉ ｃ ｓ
１ ■ ■敦 掌
Ｃ Ｈ Ｕ ＺＨ ｏ Ｉ 、 Ｉ Ｇ Ｓ ＨＥＮ Ｇ Ｓ Ｈ ｌ ＪＩ Ｅ
３
三 、以 圆 为 背景
３ ． （ ２ ０ ０ ７ ・ 山 东烟 台 ） 吹 图 ４ ， 已知 ４Ｂ 是 半 圆 Ｄ的 直 径 ， 弦 Ａ Ｄ， Ｂ Ｃ相 交 于 点 Ｐ， 若
、
以 网 格 为 背 景
） ．
Ｂ．
１ ． 正 方 形 网格 中 ， 厶４ ０ Ｂ如 图 １放 置 ，
晰， 因 此 常 常 犯 以下 错 误 ．
一
ｓ ｉ ｎ ｃ ￣ ．
、
忽视 正 弦 、 余 弦 的有 界 性
例１计 算 ｌ ２ 一 ｃ 。 ｓ ４ ０ ｏ ｌ ＋ 、 ／
【 错解】 原式＝ ÷一 ｃ ０ ｓ ４ ０ 。 ＋ ｓ ｉ ｎ ５ ０ 。 － １
：ｓ ｉ ｎ５ ０￣ －ｓ ｉ ｎ５ ０。 一 ２ １
２
．
【 正解 】 原式＝ ｃ ｏ ｓ ４ ０ 。ｌ ２ ＋ｌ －ｓ ｉ ｎ５ ０。
：ｓ ｉ ｎ ５０ ￣ －ｓ ｉ ｎ ５０ 。 ＋
２
１ ２
二 、函 数 值 与 边 长 大 小 无 关
例２ 在Ｒ ｔ ＡＡＢ Ｃ中 ， 如 果各 边 长 度 都
类 型 的综 合 ． 仔 细 观 察 图形 发 现 ： １ 是 圆
则 Ｃ Ｏ Ｓ ＡＯＢ的 值 为 （
Ａ ． ～
＾
ＬＤ Ｐ Ｂ ： ， 那 么
等于（
） ．
、 ／ １ ０
１ ０
１ ０
Ｄ．
， 、
Ｌ Ｊ． ～
、 ／５
２
互
２
图 ４
Ａ．ｓ ｉ ｎ
Ｂ．ｃ 。 ｓ
Ｃ．ｔ ａ ｎ
Ｄ．
ｔ ａ ｎｃ ￣
【 分析】 题 中所 求 的是 两条线 段 的 比值 ， 选项 中给 出的却都 与三角 函数有关 ， 自然
想 到 将 厶 放 到直 角 三 角 形 中 ， 结 合 题 中的 【 分析 】 图形 中有 直角 三角 形 吗 ？能 将 背 景 — — 圆 ， 连接Ｂ Ｄ后 ， 构 造 厶４ Ｄ Ｂ＝ ９ ０ 。 ， Ｌ Ａ ０ 瞰 到直角三角形 中吗 ？ 利用 网格容易构 利用 相似 三角形 对应 边成 比例 ， 得 ＝ ， 造出 Ｒ ｔ ＡＡ Ｃ Ｏ， 如 图 ２设 网格 的长 度 为 单 位 １ ， 则 可 求 出 ＯＣ ＝ Ａ ｃ ＝ 、 ／ １ ０， 即Ｃ Ｏ Ｓ ＬＡ Ｏ Ｂ ＝
角之 间 的关 系 ， 换句 话 说 ， 研究 三 角 函数 在 Ｒ ｔ △Ｏ Ｂ Ｐ中 ， 根 据坐标 的含义可知 ， Ｐ Ｂ ＝
举 几 例 解 读 如 何 在 特 殊 背 景 中 构 造 直 角 三 角形 求 三 角 函数 值 ．
一
４ ， Ｏ Ｂ ＝ ３ ， 求出斜边Ｏ Ｐ － ＝ ５ ， 即ｓ ｉ ｎ ｃ ｘ ＝ ÷， 故选 Ｂ ．
（ ） ．
Ａ ．—
在 ＱＡ上 ， 日 Ｅ是ｏ４的一条 弦 ，则 ｔ ａ ｎ ／Ｏ Ｂ Ｅ ＝
、 ／５ —
５ １
解直 角三角形不可忽视 的问题
陈 学
解 直 角 三 角 形 是 初 中 数 学 的 重 要 内
【 分析 】 应 注 意 锐 角 三 角 函数 的 取 值 范
容， 是联 系代数 和 几何 的桥 梁 ， 也 是 为 高 围 ， 即： 中进 一 步 学 习 三 角 函数 打 好 基 础 ， 但 不 少 ０ ＜ ｓ ｉ ｎ ｏ ｔ ＜ １ ， ０ ＜ ｃ ｏ ｓ ｏ ￣ ＜ １ ， ｔ ａ ｎ ｓ＞ ０ ． 且在 ０ ＜ 同学初 学 某些 性 质 、 概念 ， 因 为 理 解 不 清 ｏ ｔ ＜ ４ ５ 。 内， ｃ ｏ ｓ ｏ ｔ ＞ ｓ ｉ ｎ ｏ ｔ ； 在 ４ ５ 。 ＜ ａ ＜ ９ ０ 。 内， ｃ ｏ ｓ ｏ ｔ ＜
＾
图 １
图 ２
在 Ｒ ｔ Ａ Ｐ Ｄ Ｂ ｄ ￣ ， Ｃ Ｏ Ｓ Ｏ ／ ． － 嚣， 故 选 Ｂ ．
四 、综 合 型 ，Leabharlann 故 选 Ｄ． ２
聪 明 的你 还 有 其 他 的构 造 方 法 吗 ？ 二 、以 平 面直 角 坐标 系 为 背 景
２ ． （ ２ ０ ０ ７ ・ 甘肃） 女ｒ
图 ３， Ｐ是 Ｏ ｌ 的 边 ＯＡ上
一
４ ． 如图 ５ ， １的 正 切 值 等 于 — — ．
ｙ・ １
。
点 ． 且 点 Ｐ的 坐 标 为
．
（ ３ ， ４ ） ， 则 ｓ ｉ ｎ ｏ ￣ ＝ （
４
） ．
●
Ｂ．— ４
— 一
Ｄ
＿
／ １
Ｂ Ｘ
放 在 直 角 三 角 形 中来 处 理 ．
小 试 身 手
０
Ｃ
图６
图７
２ ． 女， 图 ７ ， 点 Ｅ（ ０ ， ３ ） ， Ｄ（ ０ ， Ｏ ） ， Ｃ（ ４ ， ０ ）
１ ． （ ２ ０ ０ ７・ 江 苏扬 州 ） 正 方 形 网格 中 ，
ＡＤ 如 图 ６放 置 ， 则 Ｃ Ｏ Ｓ ＡＯＢ的 值 为
周角， 根据“ 同弧 所 对 的 圆周 角 相 等 ” 可 得 １ ＝ ，而 Ａ可 以 放 到 Ｒ ｔ ＡＡ Ｃ Ｂ中 ， 由
１
ｙ
网格可知Ｂ Ｃ ＝ Ｉ ， Ａ Ｃ ＝ ３ ， 故ｔ ａ ｎ １ ＝ ÷．
ｊ
． ～
【 总结 】 无 论 以何种 背景 呈现 ， 都 要 充 分挖 掘 特殊 图形 中 隐藏 的信 息 ， 将角 、 边
ＣＨ Ｕ ＺＨｏ Ｎ Ｇ ＳＨ ＥＮ Ｇ ＳＨ ｌ ＪＩ Ｅ
解 读特殊 背景 中三角 函数 的求法
张 家谱
三 角 函数 揭 示 的是 直 角 三 角 形 中边 与 必须 把边 、 角放 到 直角 三 角形 中 ， 下 面 略
【 分析 】 过 点Ｐ 作船 上 轴 于 点 Ｂ， Ｏ ｔ